§8.1.2 运动学研究的问题
Where is my hand?
Direct Kinematics HERE!
运动学正问题
运动学逆问题
How do I put my hand here?
Inverse Kinematics: Choose these angles!
研究的两类问题:
运动学正问题---已知杆件几何参数和关节位移量，求操作 机末端执行器相对于固定参考坐标系的位置和姿态（齐次 变换问题）。
由运动学的观点来看，杆件形态由两个参数决定：杆
件长度 li 和杆件扭转角 αi。杆件的相对位置关系，由另
外两个参数决定：杆件的距离 di 和杆件的回转角 θi 。
li — 关节 Ai 轴和 Ai+1 轴线公法线的长度。
li —
αi— 关节Ai 轴线与Ai+1 轴线在垂直于li 平面内的夹—角a。i
移动关节，怎么建立坐标系？
¾ 先建立 ∑Oi-1 ¾ 然后建立∑Oi+1 ¾ 最后建立 ∑Oi
Ai+1 Ai
杆件 i-1
杆件 i
Ai-1
Oi
Oi-1
注意： • 定义Oi 在 li+1和 Ai+1 轴的交点上，这样使ai=0，计算简便。
§8.4 相邻关节坐标系间的齐次变换过程
——机器人运动学正解
z4
O4
x3
A3
A2
x2
z5
y5
x4
O5
y4
z2
y2
A1
O2
x5
o3 , o4 , o5重合
∴d4 = d5 = 0
O1
z1
y1
x1 d2
li —沿 xi 轴， zi-1 轴与 xi 轴交点到Oi 的距离
αi — 绕 xi 轴，由 zi-1 转向zi di — 沿 zi-1 轴，zi-1 轴和 xi 交点至∑Oi –1 坐标
¾ 相邻坐标系间变换过程
Ai+1
将xi-1轴绕 zi-1 轴转 θi 角度，将其与xi轴平行；
沿 zi-1轴平移距离 di ，使 xi-1 轴与 xi 轴重合；
沿 xi 轴平移距离 li， 使两坐标系原点及
Ai-1
Ai
αi zi
yi
x 轴重合；
绕 xi 轴转 αi 角度，
1
⋅
1A2
⋅⋅⋅
A i−1 i
例：Stanford 机器人运动学方程
• 为右手坐标系
A5
A6
y6
z6
• 原点Oi： Ai与Ai+1关节轴 线的交点
O6
x6
A4
y3
• zi轴：与Ai+1关节轴重 合，指向任意
• xi轴： Zi和Zi-1构成的面 的法线
• yi轴：按右手定则
d6
z3
O3
d3
zi轴： 与Ai+1 关节轴 Ai-1 重合，指向任意
Ai
杆件 i-1
杆件 i
αi zi
yi
xi轴：与公法线 li 重
θ
合，指向沿li 由Ai 轴
线指向 Ai+1 轴线
yi轴：按右手定则
li
xi oi
li−1 di
zi−1 oi−1
yi−1
θi
xi−1
z 杆件长度li — zi-1 轴与 xi 轴交点到 Oi 的距离（zi-1 与zi 轴公垂线长）
运动学逆问题的多解性
机器人运动问题为解三角方程，解反三角函数方程时 会产生多解.显然对于真实的机器人，只有一组解与 实际情况相对应，因此必须作出判断，以选择合适的 解。
通常采用如下方法剔除多余解：
1．根据关节运动空间合适的解。例如求得机器人某 关节角的两个解为
θ i1 = 40 0
θ i 2 = 40 0 + 180 0 = 220 0
第八章 机器人运动学
机器人运动学主要是把机器人相对于固定参考 系的运动作为时间的函数进行分析研究，而不 考虑引起这些运动的力和力矩
将机器人的空间位移解析地表示为时间的函 数，研究机器人关节变量和机器人末端执行器 位置和姿态之间的关系
§8.1 机器人运动学所讨论的问题
§8.1.1 研究的对象
原点Oi：设在 li 与Ai+1 轴线的交点上 zi轴： 与Ai+1 关节轴重合，指向任意 xi轴： 与公法线 li 重合，指向沿 li 由Ai 轴线指向Ai+1 轴线 yi轴： 按右手定则（右手坐标系）
§8.3.2 关节坐标系的建立方法
Ai+1
原点Oi：设在 li 与 Ai+1 轴线的交点上
Ai+1
di — li 和 li-1 在 Ai 轴线上的交点之间的距离。
θi — li 和 li-1 之间在垂直 Ai-1 杆件 i-1 Ai
于Ai 平面内的夹角。
杆件 i
αi
li
li−1 di
θi
总结：
上述 4 个参数，就确定了杆件的结构形态和相邻杆件 相对位置关系。

在转动关节中，li
合。
空腔
空洞
空洞：在 zi轴周围，参考点Pn沿z的全长均不能达到的空间。 空腔：参考点不能达到的被完全封闭在工作空间之内的空
间。
示例: 平面 3连杆机器人
θ3
θ2
l3
l2
l1
θ1
x = l1 cosθ1 + l2 cos (θ1 +θ2 ) + l3 cos (θ1 +θ2 +θ3 ) y = l1 sinθ1 + l2 sin (θ1 +θ2 ) + l3 sin (θ1 +θ2 +θ3 )
,
α i
,
di
是固定值，θi
是变量。
在移动关节中，li , αi , θi 是固定值， d i 是变量。
角度的度量均按右手定则由小号线转向大号线， 逆时针为正。
§8.3 机器人关节坐标系的建立
对于每个杆件 i 都可以在关节轴处建立一个笛卡儿坐 标系∑ Oi (xi, yi, zi）,（i=1, 2, …, n），n 是自由度数， 再加上基座坐标系，一共有（n+1）个坐标系。
z 杆件扭转角αi — 绕 xi 轴由 zi-1 转向 zi 的角度
z 杆件偏移量di —zi-1 轴和 xi 交点至 Oi –1 的距离（xi-1与xi 轴公垂线长）
z 杆件回转角θi — 绕 zi-1 轴，由 xi-1转向 xi 的角度
两轴平行，怎么建立坐标系(Ai与Ai+1平行)？
¾ 先建立 ∑Oi-1 ¾ 然后建立∑Oi+1 ¾ 最后建立 ∑Oi
φ = θ1 +θ2 +θ3
l1 > l2 > l3, l1 > l2 + l3
如何确定可达空间?首先，令 θ3变化
然后 θ2变化
最终，变化θ1
§8.6 运动学逆问题
正运动学问题: 已知关节角度或位移，计算末端操作手
的对应位姿.
逆运动学问题: 已知末端操作手的位姿，求解对应的关
节变量.
¾ 逆运动学的定义
4．逐级剔除多余解
对于具有n个关节的机器人，其全部解将构成树形结构。 为简化起见，应逐级剔除多余解。这样可以避免在树形解中 选择合适的解。
Ai-1
Ai
Ai+1
Ai+2
注意：
z 由于Ai 和 Ai+1平行，所以公 法线位置任意，如A点位置。
yi-1 zi-1
li-1
Oi-1xi-1
di
A
D
zi
yi
di+1 B yi xi C Oi xi
zi+1 li+1
yi+1 Oi+x1 i+1
z 按照先前的定义，di 为Oi-1点和A点之间的距离，di+1为B点和C点间 的距离，这样设定可以的，但我们可以变更一下，将Oi点放在C 点时d，i=定Ouu义iu-1uDuvOi。在li+1和Ai+1轴的交点上，这样使di+1=0使计算简便，此
¾ 逆运动学的存在性 ¾ 逆运动学的可解性
How do I put my hand here?
¾ 逆运动学的多解性（剔除办法）
¾ 逆运动学解法（数值解、解析解）
Inverse Kinematics: Choose these angles!
运动学逆问题
解的存在性
目标点应位于工作空间内 工作空间的计算通常较困难，通过机器人结构设
两坐标系完全重合。 —以上组合变换描述如下：
li−1 di
zi−1
yi−1
θi
xi−1 Oi−1
A i−1 i
=
R(zi−1,θi )Trans(zi−1, di )Trans(xi , li )R(xi ,αi )
¾ D-H变换矩阵
A i−1 i
⎡cos θ i
=
⎢ ⎢
sin
θi
⎢0
⎢ ⎣
0
− sinθi cos θ i
0⎤ 0⎥⎥ 0⎥ 1⎥⎦
⎡cos θ i
=
⎢ ⎢
sin
θ
i
⎢0
⎢ ⎣
0
− cosα i sinθi cosα i cosθi
sin α i
0
sin α i sinθi − sin α i cosθi
cosα i
0
ai cosθi ⎤
ai