规律性例1．如图，已知ABC ∆为等边三角形，D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，且DEF ∆也是等边三角形．（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的；（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程． 分析：本题要求学生在掌握全等三角形的概念和性质的基础上，灵活运用三角形全等的判定及性质进行结论猜想。

求解这类问题，不能随意乱猜，要结合题目给出的条件，根据图形直观的找出结论后再进行合理的推理论证。

解：（1）图中还有相等的线段是：AE=BF=CD ，AF=BD=CE ， 事实上，∵△ABC 与△DEF 都是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∠EDF=∠DEF=∠EFD=60°,DE=EF=FD ， 又∵∠CED+∠AEF=120°，∠CDE+∠CED=120° ∴∠AEF=∠CDE ，同理，得∠CDE=∠BFD ， ∴△AEF ≌△BFD ≌△CDE （AAS ），所以AE=BF=CD ，AF=BD=CE 。

（2）线段AE 、BF 、CD 它们绕△ABC 的内心按顺时针（或按逆时针）方向旋转120°，可互相得到，线段AF 、BD 、CE 它们绕△ABC 的内心按顺时针（或按逆时针）方向旋转120°,可互相得到。

说明：1.本题考查的是在三角形全等的判定及应用及旋转变换，它立意考查学生的观察、分析问题的能力.2.因为几何直观是一种思维形式，它是人脑对客观事物及其关系的一种直接的识别或猜想的心理状态．它不仅拓展了学生的思维空间，考查了学生的能力，更因为几何直观具有发现的功能．这种思维既有形象思维的特点，又有抽象思维的特点，所以成为近几年中考试题的考点及热点问题。

练习一 1.已知：如图，四边形ABCD 是菱形，E 是BD 延长线上一点，F 是DB 延长线上一点，且DE=BF 。

请你以F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）。

（1）连结____________；（2）猜想：______=______； （3）证明：FE D C BA2．如图10－1－2（1），10－1－2（2），四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。

直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F。

⑴如图10－1－2（1），当点E在AB边的中点位置时：①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是；②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是；③请证明你的上述两猜想。

⑵如图10－1－2（2），当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系。

是等边三角形，C、D是以AB 3．空投物资用的某种降落伞的轴截面如图所示，ABG为直径的半圆O的两个三等分点，CG、DG分别交AB于点E、F，试判断点E、F 分别位于所在线段的什么位置？并证明你的结论（证明一种情况即可）4．如图，已知平行四边形ABCD 及四边形外一直线l ，四个顶点A 、B C 、、D 到直线l 的距离分别为a b c d 、、、．（1）观察图形，猜想得a b c d 、、、满足怎样的关系式？证明你的结论． (2)现将l 向上平移，你得到的结论还一定成立吗？请分情况写出你的结论．5.如图a ，△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C ，连接AF 和BE.(1)线段AF 和BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论；(2)将图a 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度，得到图b ，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；(3)若将图a 中的△ABC 绕点C 旋转一定的角度，请你画山一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由； (4)根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现.例题2．已知二次函数q px x y ++=2(q p ,为常数，△=042>-q p )的图象与x 轴相交于A ()0,1x ，B ()0,2x 两点，且A ，B 两点间的距离为d ，例如，通过研究其中一个函数652+-=x x y 及图象(如图)，可得出表中第2行的相交数据。

⑴在表内的空格中填上正确的数；⑵根据上述表内d 与△的值，猜想它们之间有什么关系？再举一个符合条件的二次函数，验证你的猜想； ⑶对于函数：q px x y ++=2(q p ,为常数，△=042>-q p )证明你的猜想。

分析：⑴用求根公式进行“两根差“的运算，也可以得到相应猜想的证明；⑵无论是先用⑶的证明，还是先用⑴的证明，只要两种证明都正确。

解：⑴第一行 0,01==x q ；21=d 第三行 1=p ，△=9，12=x ； ⑵猜想：=2d △例如：22--=x x y 中；9,2,1=∆-=-=q p ；由022=--x x 得9,3,1,2221==-==d d x x ，∴=2d △ …⑶证明。

令0=y ，得02=++q px x ，∵△>0 设02=++q px x 的两根为1x ，2x 则1x +2x p -=，q x x =∙21()()()2122122122124x x x x x xx x d ∙-+=-=-=()∆=-=--=q p q p 4422说明：这是一道设计新颖的猜想题目，它不仅考查学生的分析，观察能力，而且还考查了一元二次方程与函数的关系。

通过猜想，归纳结论，从而体现从特殊到一般的认识规律反映出从一般又回到特殊的思想的方法。

练习二1、已知：在Rt △ABC 中，∠C ＝900，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，设△ABC 的面积为S ，周长为l 。

⑴填表：⑵如果a ＋b －c ＝m ，观察上表猜想：Sl＝__________(用含有m 的代数式表示)。

⑶证明⑵中的结论。

2、如图1，平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC，O为坐标原点，A点坐标为(10，0)，C点坐标为(0，6)。

D是BC边上的动点(与点B、C不重合)，现将ΔCOD沿OD翻折，得到ΔFOD；再在AB边上选取适当的点E，将ΔBDE沿DE翻折，得到ΔGDE，并使直线DG、DF 重合。

(1)如图2，若翻折后点F落在OA边上，求直线DE的函数关系式；(2)设D(0，6)，E(10，b)，求b关于a的函数关系式，并求b的最小值；x2+6的公共点的个数，在图二的情形中(3)一般地，请你猜想直线DE与抛物线y=―124通过计算验证你的猜想；如果直线DE与抛物线y=―1x2+6始终有公共点，请在图一中作24出这样的公共点。

3、已知A 1、A 2、A 3是抛物线212y x =上的三点，A 1B 1、A 2B 2、A 3B 3分别垂直于x 轴，垂足为B 1、B 2、B 3，直线A 2B 2交线段A 1A 3于点C 。

（1） 如图，若A 1、A 2、A 3三点的横坐标依次为1、2、3，求线段CA 2的长。

（2）如图，若将抛物线212y x =改为抛物线2112y x x =-+，A 1、A 2、A 3三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，求线段CA 2的长。

（3）若将抛物线212y x =改为抛物线2y ax bx c =++，A 1、A 2、A 3三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，请猜想线段CA 2的长（用a 、b 、c 表示，并直接写出答案）。

4、△ABC 中，BC a =，AC b =，AB c =，若∠C=90°，如图1，根据勾股定理，则222c b a =+，若△ABC 不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想22b a +与2c 的关系，并证明你的结论。

能力训练1． 在中，，，将一块等腰直角三角板的直角顶点放∆ABC AC BC C ==∠=︒290 在斜边AB 的中点P 处，将三角板绕点P 旋转，三角板的两直角边分别交射线AC 、CB 于D 、E 两点。

图①，②，③是旋转三角板得到的图形中的3种情况。

研究：（1）三角板绕点P 旋转，观察线段PD 和PE 之间有什么数量关系？并结合图②加以证明。

（）三角板绕点旋转，是否能成为等腰三角形？若能，指出所有2P ∆PBE情况（即写出为等腰三角形时的长）；若不能，请说明理由。

∆PBE CE（3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB 上的M 处，且AM ：MB ＝1：3，和前面一样操作，试问线段MD 和ME 之间有什么数量关系？并结合图④加以证明。

2． (1)如图一，等边ΔABC 中，D 是AB 边上的动点，以CD 为一边，向上作等边ΔEDC ，连结AE 。

求证：AE ∥BC ；(2)如图二，将(1)中等边ΔABC 的形状改成以BC 为底边的等腰三角形，所作ΔEDC 改成相似于ΔABC 。

请问：是否仍有AE ∥BC ？证明你的结论。

3.如图，AB 是⊙O 的直径,BD 是⊙O 的弦，延长BD 到点C,使DC=BD,连接AC 交⊙O 与点F.（1）AB 与AC 的大小有什么关系?为什么?（2）按角的大小分类, 请你判断△ABC 属于哪一类三角形，并说明理由.4．如图(1)，AB 是⊙O 的直径，射线AT ⊥AB ，点P 是射线A T 上的一个动点(P 与A 不重合)，PC 与⊙O 相切于C ，过C 作CE ⊥AB 于E ，连结BC 并延长BC 交AT 于点D ，连结PB图1图2O FDC B A交CE 于F ．(1)请你写出PA 、PD 之间的关系式，并说明理由；(2)请你找出图中有哪些三角形的面积被PB 分成两等分，并加以证明； (3)设过A 、C 、D 三点的圆的半径是R ，当CF=41R 时，求∠APC 的度数，并在图(2)中作出点P(要求尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹)．5． E 、F 为□ABCD 的对角线DB 上三等分点，连AE 并延长交DC 于P ，连PF 并延长交AB 于Q ，如图① （1） 在备用图中，画出满足上述条件的图形，记为图②，试用刻度尺在图①、②中量得AQ 、BQ 的长度，估计AQ 、BQ 间的关系，并填入下表长度单位：cm由上表可猜测AQ （2） 上述（1）中的猜测AQ 、BQ 间的关系成立吗？为什么？ （3） 若将□ABCD 改为梯形（AB ∥CD ）其他条件不变，此时（1）中猜测AQ 、BQ 间的关系是否成立？（不必说明理由）6、（2005年黑龙江）已知矩形ABCD 和点P ，当点P 在图1中的位置时，则有结论：S △PBC =S △PAC +S △PCD 理由：过点P 作EF 垂直BC ，分别交AD 、BC 于E 、F 两点．图l∵ S △PBC +S △PAD =12BC ·PF+12AD ·PE=12BC （PF+PE ）=12BC ·EF=12S 矩形ABCD又∵ S △PAC +S △PCD +S △PAD =12S 矩形ABCD∴ S △PBC +S △PAD = S △PAC +S △PCD +S △PAD ． ∴ S △PB C =S △PA C +S △P CD ．请你参考上述信息，当点P 分别在图2、图3中的位置时，S △PB C 、S △PAC 、S PCD 又有怎样的.数量关系?请写出你对上述两种情况的猜想，并选择其中一种情况的猜想给予证明．答案： 练习一1、（1）略（2）。