考研数学《概率论与数理统计》知识点总结第一章概率论的基本概念定义：随机试验E的每个结果样本点组成样本空间S，S的子集为E的随机事件，单个样本点为基本事件．事件关系：1．A⊂B，A发生必导致B发生．2．A Y B和事件，A，B至少一个发生，A Y B发生．3．A I B记AB积事件，A，B同时发生，AB发生．4．A－B差事件，A发生，B不发生，A－B发生．5．A I B=Ø，A与B互不相容(互斥)，A与B不能同时发生，基本事件两两互不相容．6．A Y B=S且A I B=Ø，A与B互为逆事件或对立事件，A与B中必有且仅有一个发生，记B=ASA-=．事件运算：交换律、结合律、分配率略．德摩根律：BABA IY=，BABA YI=．概率：概率就是n趋向无穷时的频率，记P(A)．概率性质: 1．P(Ø)=0．2．(有限可加性)P(A1Y A2Y…Y A n)=P(A1)+P(A2)+…+P(A n)，A i互不相容．3．若A⊂B，则P(B－A)=P(B)－P(A)．4．对任意事件A，有)A(1)A(PP-=．5．P(A Y B)=P(A)+P(B)－P(AB)．泊松分布：记X~π（λ），!}{kekXPkλλ-==，Λ,2,1,0=k．泊松定理：!)1(limkeppCkknkknnλλ--∞→=-，其中λ=np．当20≥n，05.0≤p应用泊松定理近似效果颇佳．随机变量分布函数：}{)(xXPxF≤=，+∞<<∞-x．)()(}{1221xFxFxXxP-=≤<．连续型随机变量：⎰∞-=x ttfxF d)()(，X为连续型随机变量，)(x f为X的概率密度函数，简称概率密度．概率密度性质：1．0)(≥xf；2．1d)(=⎰+∞∞-xxf；3．⎰=-=≤<21d)()()(}{1221xxxxfxFxFxXxP；4．)()(xfxF='，f(x)在x点连续；5．P{X=a}=0．均匀分布：记X~U(a，b)；⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它，，1)(bxaabxf；⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<=bxbxaabaxaxxF，，，1)(．性质：对a≤c<c+l≤b，有abllcXcP-=+≤<}{指数分布：⎪⎩⎪⎨⎧>=-其它，，1)(xexfxθθ；⎩⎨⎧>-=-其它，，1)(xexFxθ．无记忆性：}{}{tXPsXtsXP>=>+>．正态分布：记),(~2σμNX；]2)(ex p[21)(22σμσπ--=xxf；ttxF x d]2)(ex p[21)(22⎰∞---=σμσπ．性质：1．f(x)关于x=μ对称，且P{μ-h<X≤μ}=P{μ<X≤μ+h}；2．有最大值f(μ)=(σπ2)-1．标准正态分布：]2exp[21)(2xx-=πϕ；⎰∞--=Φx ttx d]2ex p[21)(2π．即μ=0，σ=1时的正态分布X~N(0，1)性质：)(1)(xxΦ-=-Φ．正态分布的线性转化：对),(~2σμNX有)1,0(~NXZσμ-=；且有)(}{}{)(σμσμσμ-Φ=-≤-=≤=xxXPxXPxF．正态分布概率转化：)()(}{1221σμσμ-Φ--Φ=≤<xxxXxP；1)(2)()(}{-Φ=-Φ-Φ=+<<-ttttXtPσμσμ．3σ法则：P=Φ(1)－Φ(-1)=68.26%；P=Φ(2)－Φ(-2)=95.44%；P=Φ(3)－Φ(-3)=99.74%，P多落在(μ-3σ，μ+3σ)内．上ɑ分位点：对X~N(0，1)，若zα满足条件P{X>zα}=α，0<α<1，则称点zα为标准正态分布的上α分位点．常用0.001 0.005 0.01 0.025 0.05 0.10上ɑ分位点：3.090 2.576 2.326 1.960 1.645 1.282Y服从自由度为1的χ2分布：设X密度函数f X(x)，+∞<<∞-x，若Y=X2，则⎪⎩⎪⎨⎧≤>-+=)]()([21)(yyyfyfyyf XXY，，若设X~N(0，1)，则有⎪⎩⎪⎨⎧≤>=--21)(221yyeyyfyY，，π定理：设X密度函数f X(x)，设g(x)处处可导且恒有g′(x)>0(或g′(x)<0)，则Y=g(X)是连续型随机变量，且有⎩⎨⎧<<'=其他，，)()]([)(βαyyhyhfyf XYh(y)是g(x)的反函数；①若+∞<<∞-x，则α=min{g(−∞)，g(+∞)}，β=max{g(−∞)，g(+∞)}；②若f X(x)在[a，b]外等于零，g(x)在[a，b]上单调，则α=min{g(a)，g(b)}，β=max{g(a)，g(b)}．应用：Y=aX+b~N(aμ+b，(|a|σ)2)．第二章多维随机变量及其分布二维随机变量的分布函数：分布函数(联合分布函数)：)}(){(),(yYxXPyxF≤≤=I，记作：},{yYxXP≤≤．),(),(),(),(},{112112222121yxFyxFyxFyxFyYyxXxP+--=≤<≤<．F（x，y）性质：1．F（x，y）是x和y的不减函数，即x2>x1时，F（x2，y）≥F（x1，y）；y2>y1时，F（x，y2）≥F（x，y1）．2．0≤F（x，y）≤1且F（−∞，y）=0，F（x，−∞）=0，F（−∞，−∞）=0，F（+∞，+∞）=1．3．F（x+0，y）=F（x，y），F（x，y+0）=F（x，y），即F（x，y）关于x右连续，关于y也右连续．4．对于任意的(x1，y1)，(x2，y2)，x2>x1，y2>y1，有P{x1<X≤x2，y1<Y≤y2}≥0．离散型（X，Y）：≥ijp，111=∑∑∞=∞=ijjip，ijyyxxpyxFii∑∑=≤≤),(．连续型（X，Y）：vuvufyxF y x dd),(),(⎰⎰∞-∞-=．f(x，y)性质：1．f(x，y)≥0．2．1),(dd),(=∞∞=⎰⎰∞∞-∞∞-Fyxyxf．3．yxyxfGYXPG⎰⎰=∈dd),(}),{(．4．若f(x，y)在点(x，y)连续，则有),(),(2yxfyxyxF=∂∂∂．n维：n维随机变量及其分布函数是在二维基础上的拓展，性质与二维类似．边缘分布：F x(x)，F y(y)依次称为二维随机变量（X，Y）关于X和Y的边缘分布函数，F X(x)=F(x，∞)，F Y(y)=F(∞，y)．离散型：*ip和j p*分别为（X，Y）关于X和Y的边缘分布律，记}{1iijjixXPpp==∑=∞=*，}{1jijijyYPpp==∑=∞=*．连续)(xfX ，)(yfY为（X，Y）关于X和Y的边缘密度函数，记型：⎰∞∞-=yy x f x f X d ),()(，⎰∞∞-=xy x f y fYd ),()(．二维正态分布：]})())((2)([)1(21exp{121),(2222212121212221σμσσμμρσμρρσπσ-+-------=y y x x y x f ．记(X ，Y )~N (μ1，μ2，σ12，σ22，ρ)]2)(exp[21)(21211σμσπ--=x x f X ，∞<<∞-x ．]2)(exp[21)(22222σμσπ--=y y f Y ，∞<<∞-y ．离散型条件分布律： jij j j i j i p p y Y P y Y x X P y Y x X P *=======}{},{}{．*=======i ij i j i i j p p x X P y Y x X P x X y Y P }{},{}{．连续型条件分布： 条件概率密度：)(),()(y f y x f y x f Y Y X =|| 条件分布函数：x y f y x f y Y x X P y x F xY Y X d )(),(}{)(⎰∞-==≤=||| )(),()(x f y x f x y f X X Y =||y x f y x f x X y Y P x y F yX X Y d )(),(}{)(⎰∞-==≤=|||含义：当0→ε时，)|(d )|(}|{||y x F x y x f y Y y x X P Y X xY X =≈+≤<≤⎰∞-ε．均匀分布：若⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他,0),(,1),(Gy x Ay x f ，则称(X ，Y)在G 上服从均匀分布．独立定若P {X ≤x ，Y ≤y }=P {X ≤x }P {Y ≤y }，即F (x ，y )=F x (x )F y (y )，则称随机变量X 和Y 是相互独立的．义：独立条件或可等价为：连续型：f(x，y)=f x(x)f y(y)；离散型：P{X=x i，Y=y j}=P{X=x i}P{Y=y j}．正态独立：对于二维正态随机变量（X，Y），X和Y相互对立的充要条件是：参数ρ=0．n维延伸：上述概念可推广至n维随机变量，要注意的是边缘函数或边缘密度也是多元(1~n-1元)的．定理：设（X1，X2，…，X m）和（Y1，Y2，…，Y n）相互独立，则X i和Y j相互独立．又若h，g是连续函数，则h（X1，X2，…，X m）和g（Y1，Y2，…，Y n）相互独立．Z=X +Y分布：若连续型(X，Y)概率密度为f(x，y)，则Z=X+Y为连续型且其概率密度为⎰∞∞-+-=yyyzfzfYXd),()(或⎰∞∞-+-=xxzxfzfYXd),()(．f X和f Y的卷积公式：记⎰∞∞-+-==yyfyzfzfffYXYXYXd)()()(*⎰∞∞--=xxzfxfYXd)()(，其中除继上述条件，且X和Y相互独立，边缘密度分别为f X(x)和f Y(y)．正态卷积：若X和Y相互独立且X~N(μ1，σ12)，记Y~N(μ2，σ22)，则对Z=X+Y有Z~N(μ1+μ2，σ12+σ22)．1．上述结论可推广至n个独立正态随机变量．2．有限个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布．伽马分布： 记),(~θαΓX ，0>α，0>θ．⎪⎩⎪⎨⎧>Γ=--其他，，00)(1)(1x e x x f x θαααθ，其中⎰+∞--=Γ01d )(te t t αα．若X 和Y 独立且X ~Γ(α，θ)，记Y ~Γ(β，θ)，则有X+Y~Γ(α+β，θ)．可推广到n 个独立Γ分布变量之和．XYZ =：⎰∞∞-=xxz x f x z f X Y d ),()(，若X 和Y 相互独立，则有⎰∞∞-=xxz f x f x z f Y X X Y d )()()(．XYZ =分布： ⎰∞∞-=x xzx f x z f XY d ),(1)(，若X 和Y 相互独立，则有⎰∞∞-=x xz f x f x z f Y X XY d )()(1)(．大小分布：若X 和Y 相互独立，且有M =max{X ，Y }及N =min{X ，Y }，则M 的分布函数：F max (z )=F X (z )F Y (z )，N 的分布函数：F min (z )=1－[1－F X (z )][1－F Y (z )]，以上结果可推广到n 个独立随机变量的情况．第四章 随机变量的数字特征数学期望：简称期望或均值，记为E (X )；离散型：kkk p x X E ∑=∞=1)(．连续型：⎰∞∞-=xx xf X E d )()(．定理： 设Y 是随机变量X 的函数：Y =g (X )(g 是连续函数)． 1．若X 是离散型，且分布律为kk k p x g Y E )()(1∑=∞=． 2．若X 是连续型，概率密度为⎰∞∞-=xx f x g Y E d )()()(．P{X=x k}=p k，则：f(x)，则：定理推广：设Z是随机变量X，Y的函数：Z=g(X，Y)(g是连续函数)．1．离散型：分布律为P{X=x i，Y=y j}=p ij，则：ijjiijpyxgZE),()(11∑∑=∞=∞=．2．连续型：⎰⎰∞∞-∞∞-=yxyxfyxgZE dd),(),()(期望性质：设C是常数，X和Y是随机变量，则：1．E(C)=C．2．E(CX)=CE(X)．3．E(X+Y)=E(X)+E(Y)．4．又若X和Y相互独立的，则E(XY)=E(X)E(Y)．方差：记D(X)或Var(X)，D(X)=Var(X)=E{[X－E(X)]2}．标准差(均方差)：记为σ(X)，σ(X)= ．通式：22)]([)()(XEXEXD-=．kkkpXExXD21)]([)(-∑=∞=，⎰∞∞--=xxfxExXD d)()]([)(2．标准化变量：记σμ-=xX*，其中μ=)(XE，2)(σ=XD，*X称为X的标准化变量．)(*=XE，1)(*=XD．方差性质：设C是常数，X和Y1．D(C)=0．2．D(CX)=C2D(X)，D(X+C)=D(X)．3．D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{(X－E(X))(Y－)(xD是随机变量，则：E(Y))}，若X，Y相互独立D(X+Y)=D(X)+D(Y)．4．D(X)=0的充要条件是P{X=E(X)}=1．正态线性变换：若),(~2iiiNXσμ，i C是不全为0的常数，则),(~22112211iiniiininnCCNXCXCXCσμ∑∑+++==Λ．切比雪夫不等式：22}{εσεμ≤≥-XP或221}{εσεμ-≥<-XP，其中)(X E=μ，)(2XD=σ，ε为任意正数．协方差：记)]}()][({[),Cov(YEYXEXEYX--=．X与Y的相关系数：)()(),Cov(YDXDYXXY=ρ．D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)，Cov(X，Y)=E(XY)－E(X)E(Y)．性质：1．Cov(aX，bY)=ab Cov(X，Y)，a，b是常数．2．Cov(X1+X2，Y)=Cov(X1，Y)+Cov(X2，Y)．系数性质：令e=E[(Y－(a+bX))2]，则e取最小值时有)()1(]))([(22minYDXbaYEeXYρ-=+-=，其中)()(XEbYEa-=，)(),Cov(0XDYXb=．1．|ρXY|≤1．2．|ρXY|=1的充要条件是：存在常数a，b使P{Y=a+bX}=1．|ρXY|越大e越小X和Y线性关系越明显，当|ρXY|=1时，Y=a+bX；反之亦然，当ρXY=0时，X和Y不相关．X和Y相互对立，则X和Y不相关；但X和Y不相关，X和Y不一定相互独立．定义：k阶矩(k阶原点矩)：E(X k )．n维随机变量X i的协方差矩阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nnnnnncccccccccΛMMMΛΛ212222111211C，),Cov(jiijXXc==E{[X i－E(X i)][X j－E(X j)]}．k+l阶混合矩：E(X k Y l )．k阶中心矩：E{[X－E(X)] k }．k+l阶混合中心矩：E{[X－E(X)]k[Y－E(Y)]l}．n维正态分布：)}()(21ex p{det)2(1),,,(1T221μXCμXC---=-nnxxxfπΛ，T21T21),,,(),,,(nnxxxμμμΛΛ==μX．性质：1．n维正态随机变量(X1，X2，…，X n)的每一个分量X i (i=1，2，…，n)都是正态随机变量，反之，亦成立．2．n维随机变量(X1，X2，…，X n)服从n维正态分布的充要条件是X1，X2，…，X n的任意线性组合l1X1+l2X2+…+l n X n服从一维正态分布(其中l1，l2，…，l n不全为零)．3．若(X1，X2，…，X n)服从n维正态分布，且Y1，Y2，…，Y k是X j (j=1，2，…，n)的线性函数，则(Y1，Y2，…，Y k)也服从多维正态分布．4．若(X1，X2，…，X n)服从n维正态分布，则“X i 相互独立”与“X i 两两不相关”等价．第五章大数定律及中心极限定理弱大数定理：若X1，X2，…是相互独立并服从同一分布的随机变量序列，且E(Xk)=μ，则对任意ε>0有11lim1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∑=∞→εμknknXnP或→μPX，knkXnX11=∑=．定义：Y1，Y2，…，Y n ，…是一个随机变量序列，a是一个常数．若对任意ε>0，有1}|{|lim=<-∞→εaYPnn则称序列Y1，Y2，…，Y n ，…依概率收敛于a．记aY Pn−→−伯努利大数定理：对任意ε>0有1lim=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∞→εpnfP An或lim=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-∞→εpnfP An．其中f A是n次独立重复实验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率．中心定理设X1,X2,…,Xn,…相互独立σμnnXknk)(1-∑=N(0，1)或nXσμ-~N(0，1)或X~N(μ，n2σ)．~近似的极限定理一：并服从同一分布，且E(Xk)=μ，D(Xk)=σ2 >0，则n→∞时有定理二：设X1,X2,…,Xn,…相互独立且E(X k)=μ k，D(X k)=σk2 >0，若存在δ>0使n→∞时，}|{|1212→-∑+=+δδμkknknXEB，则nknkknkBX)(11μ==∑-∑~N(0，1)，记212knknBσ=∑=．定理三：设),(~p n bnη，则n→∞时，Npnpnpn~)1()(--η(0，1)，knknX1=∑=η．第六章样本及抽样分布定义：总体：全部值；个体：一个值；容量：个体数；有限总体：容量有限；无限总体：容量无限．定义：样本：X1,X2,…,X n 相互独立并服从同一分布F的随机变量，称从F得到的容量为n的简单随机样本．频率直方图：图形：以横坐标小区间为横坐标：数据区间（大区间下限比最小数据值稍小，上限比最大数据值稍大；小区间：均分大区间，组图形特点：外轮廓接近宽，纵坐标为高的跨越横轴的几个小矩形．距Δ=大区间/小区间个数；小区间界限：精度比数据高一位）．于总体的概率密度曲线．纵坐标：频率/组距（总长度：<1/Δ；小区间长度：频率/组距）．定义：样本p分位数：记x p，有1．样本x i中有np个值≤x p．2．样本中有n(1－p)个值≥x p．箱线图：x p选择：记⎪⎩⎪⎨⎧∈+∉=++NnpxxNnpxxnpnpnpp当，当，][211)()()1]([．分位数x0.5，记为Q2或M，称为样本中位数．分位数x0.25，记为Q1，称为第一四分位数．分位数x0.75，记为Q3，称为第三四分位数．图形：图形特点：M为数据中心，区间[min，Q1]，[Q1，M]，[M，Q3]，[Q3，max]数据个数各占1/4，区间越短数据密集．四分位数间距：记IQR=Q3－Q1；若数据X<Q1－1.5IQR 或X>Q3+1.5IQR，就认为X是疑似异常值．抽样分布：样本平均值：iniXnX11=∑=样本方差：)(11)(11221212XnXnXXnSiniini-∑-=-∑-===样本标准2SS=样本k阶kinikXnA11=∑=，k≥1样本k阶kinikXXnB)(11-∑==，k≥2min Q1 M Q3 max差： (原点)矩：中心矩：经验分布函数： )(1)(x S nx F n =，∞<<∞-x ．)(x S 表示F 的一个样本X 1,X 2,…,X n 中不大于x 的随机变量的个数．自由度为n 的χ2分布： 记χ2~χ2（n ），222212nX X X +++=Λχ，其中X 1,X 2,…,X n 是来自总体N (0，1)的样本．E (χ2 )=n ，D (χ2 )=2n ． χ12+χ22~χ2（n 1+n 2）． ⎪⎩⎪⎨⎧>Γ=--其他，，00)2(21)(2122y e x n y f y n n ．χ2分布的分位点： 对于0<α<1，满足αχχαχα==>⎰∞y y f n P n )(222d )()}({，则称)(2n αχ为)(2n χ的上α分位点．当n 充分大时(n >40)，22)12(21)(-+≈n z n ααχ，其中αz 是标准正态分布的上α分位点．自由度为n 的t 分布：记t ~t (n )，n Y Xt /=， 其中X~N (0，1)，Y~χ2(n )，X ，Y 相互独立．2)1(2)1(]2[]2)1([)(+-+Γ+Γ=n n t n n n t h π h (t )图形关于t =0对称；当n充分大时，t 分布近似于N (0，1)分布．t 分布对于0<α<1，满足ααα==>⎰∞t t h n t t P n t )(d )()}({，则称)(n tα为)(n t 的上α的分位点：分位点．由h(t)对称性可知t1－α(n)=－tα(n)．当n>45时，tα(n)≈zα，zα是标准正态分布的上α分位点．自由度为(n1，n2)的F分布：记F~F(n1，n2)，21nVnUF=，其中U~χ2(n1)，V~χ2(n2)，X，Y相互独立．1/F~F(n2，n1)⎪⎩⎪⎨⎧>+ΓΓ+Γ=+-其他，，]1)[2()2()](2)([)(2)(21211)2(221212111xnynnnynnnny nnnnψF分布的分位点：对于0<α<1，满足αψαα==>⎰∞yynnFFPnnF),(2121d)()},({，则称),(21n nFα为),(21nnF的上α分位点．重要性质：F1－α(n1，n2)=1/Fα(n1，n2)．定理一：设X1,X2,…,X n 是来自N(μ，σ2)的样本，则有),(~2nNXσμ，其中X是样本均值．定理二：设X1,X2,…,X n 是来自N(μ，σ2)的样本，样本均值和样本方差分别记为X，2S，则有1．)1(~)1(222--nSnχσ；2．X与2S相互独立．定理三：设X1,X2,…,X n 是来自N(μ，σ2)的样本，样本均值和样本方差分别记为X，2S，则有)1(~--ntnSXμ．定理设X1,X2,…,X n1与X，Y，21S，22S，则有四： Y 1,Y 2,…,Y n 2分别是来自N (μ1，σ12)和N (μ2，σ22)的样本，且相互独立．设这两个样本的样本均值和样本方差分别记为 1．)1,1(~2122212221--n n F S Sσσ．2．当σ12=σ22=σ2时，)2(~)()(21121121-++-----n n t nn S Y X w μμ，其中2)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S w，2wwS S=．第七章 参数估计定义：估计量：),,,(ˆ21nX X X Λθ，估计值：),,,(ˆ21nx x x Λθ，统称为估计．矩估计法： 令)(llX E =μ=li n i l X n A 11=∑=(kl ,,2,1Λ=)(k 为未知数个数)联立方程组，求出估计θˆ． 设总体X均值μ及方差σ2都存在，则有X A ==1ˆμ，212212122)(11ˆX X n X X n A A i n i i n i -∑=-∑=-===σ．最大似然估计法：似然函数：离散：);()(1θθini x p L =∏=或连续：);()(1θθini x f L =∏=，)(θL 化简可去掉与θ无关的因式项． θˆ即为)(θL 最大值，可由方程0)(d d=θθL 或0)(ln d d=θθL 求得．当多个未知参数θ1，θ1，…，θk时：可由方程组0d d=L iθ或0ln d d=L iθ（k i ,,2,1Λ=）求得．最大似然估计的不变性：若u=u(θ)有单值反函数θ=θ(u)，则有)ˆ(ˆθuu=，其中θˆ为最大似然估计．截尾样本取样：定时截尾样本：抽样n件产品，固定时间段t0内记录产品个体失效时间(0≤t1≤t2≤…≤t m≤t0)和失效产品数量．定数截尾样本：抽样n件产品，固定失效产品数量数量m记录产品个体失效时间(0≤t1≤t2≤…≤t m)．结尾样本最大似然估计：定数截尾样本：设产品寿命服从指数分布X~e（θ），θ即产品平均寿命．产品t i时失效概率P{t=t i}≈f(t i)d t i，寿命超过t m的概率θm tmettF-=>}{，则)(}){()(1imimnmmntPttFCL=-∏>=θ，化简得)(1)(m t sm eL---=θθθ，由0)(lndd=θθL得：m t s m)(ˆ=θ，其中s(t m)=t1+t2+…+t m+(n－m)t m，称为实验总时间．定时截尾样本：与定数结尾样本讨论类似有s(t0)=t1+t2+…+t m+(n－m)t0，)(01)(t sm eL---=θθθ，m t s)(ˆ0=θ，．无偏性：估计量),,,(ˆ21nXXXΛθ的)ˆ(θE存在且θθ=)ˆ(E，则称θˆ是θ的无偏估计量．有效性：),,,(ˆ211nXXXΛθ与),,,(ˆ212nXXXΛθ都是θ的无偏估计量，若)ˆ()ˆ(21θθDD≤，则1ˆθ较2ˆθ有效．相合性：设),,,(ˆ21nXXXΛθθ的估计量，若对于任意0>ε有1}|ˆ{|lim=<-∞→εθθPn，则称θˆ是θ的相合估计量．置信区间：αθθθ-≥<<1)},,,(),,,({2121nnXXXXXXPΛΛ，θ和θ分别为置信下限和置信上限，则),(θθ是θ的一个置信水平为α-1置信区间，α-1称为置信水平，10<<α．正态设X1，枢轴量W W分布a，b不等其中样本置信区间：X2，…，X n是来自总体X~N(μ，σ2)的样本，则有μ的置信区间：式置信水平置信区间)1,0(~NnXσμ-⇒ασμα-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-12znXP⇒)(2ασznX±zα/2为上α分位点θ置信区间的求解：1．先求枢轴量：即函数W=W(X1，X2，…，X n；θ)，且函数W的分布不依赖未知参数．如上讨论标注2．对于给定置信水平α-1，定出两常数a，b使P{a<W<b}=α-1，从而得到置信区间．(0－1)分布p 的区间估计：样本容量n>50时，⇒--∞→)1,0(~)1()(lim NpnpnpXnn{}⇒-≈<--αα1)1()(2zpnpnpXnP)2()(222222<++-+XnpzXnpznαα⇒若令22αzna+=，)2(22αzXnb+-=，2X nc=，则有置信区间(aacbb2)4(2---，aacbb2)4(2-+-）．单侧置信区间：若αθθ-≥>1}{P或αθθ-≥<1}{P，称(θ，∞)或(∞-，θ)是θ的置信水平为α-1的单侧置信区间．正态总体均值、方差的置信区间与单侧置信限（置信水平为α-1）待估其他枢轴量W的分布置信区间单侧置信限一个正态总体μσ2已知)1,0(~NnXZσμ-=)(2ασznX±ασμznX+=，ασμznX-=μσ2未知)1(~--=ntnSXtμ⎪⎭⎫⎝⎛±2αtnSXαμtnSX+=，αμtnSX-=σ2μ未知)1(~)1(2222--=nSnχσχ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---2212222)1(,)1(ααχχSnSn2122)1(αχσ--=Sn，222)1(αχσSn-=两个正态总体μ1－μ2σ12，σ22已知)1,0(~)(22212121NnnYXZσσμμ+---=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+±-2221212nnzYXσσα2221212122212121nnzYXnnzYXσσμμσσμμαα+--=-++-=-μ1－μ2σ12=σ22=σ2未知)2(~)()(21121121-++---=--nntnnSYXtwμμ2)1()1(212222112-+-+-=nnSnSnSw()12112--+±-nnStYXwα2wwSS=121121121121----+--=-++-=-nnStYXnnStYXwwααμμμμσ12/σ22μ1，μ2未知)1,1(~2122212221--=nnFSSFσσ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-212221222211,1ααFSSFSSασσ-=1222122211FSS，ασσFSS122212221=单个总体X ~N (μ，σ2)，两个总体X ~N (μ1，σ12)，Y ~N (μ2，σ22)．第八章 假设实验定义： H 0：原假设或零假设，为理想结果假设；H 1：备择假设，原假设被拒绝后可供选择的假设．第Ⅰ类错误：H 0实际为真时，却拒绝H 0．第Ⅱ类错误：H 0实际为假时，却接受H 0．显著性检验：只对犯第第Ⅰ类错误的概率加以控制，而不考虑第Ⅱ类错误的概率的检验．P {当H 0为真拒绝H 0}≤α，α称为显著水平．拒绝域：取值拒绝H 0．临界点：拒绝域边界．双边假设检验：H 0：θ=θ0，H 1：θ≠θ0．右边检验：H 0：θ≤θ0，H 1：θ>θ0．左边检验：H 0：θ≥θ0，H 1：θ<θ0． 正态总体均值、方差的检验法(显著性水平为α)原假设H 0 备择假设H 1 检验统计量 拒绝域 1 σ2已知 μ≤μ0 μ>μ0 nX Z σμ0-=z ≥z αμ≥μ0 μ<μ0 z ≤－z α μ=μ0μ≠μ0 |z |≥z α/2 2 σ2未知 μ≤μ0 μ>μ0 nS X t 0μ-=t ≥t α(n －1)μ≥μ0μ<μ0 t ≤－t α(n －1) μ=μ0 μ≠μ0 |t |≥t α/2(n －1) 3σ1，σ2 已μ1－μ1－222121n n Y X Z σσδ+--=z ≥z α μ1－μ1－z ≤－z α μ1－μ1－|z |≥z α/2 4 σ12μ1－μ1－1211--+--=nn S Y X t w δt ≥t α(n 1+n 2－2)=σ22μ1－μ1－2)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S wt ≤－t α(n 1+n 2－2) μ1－μ1－|t |≥t α/2(n 1+n 2－2) 5 μ未知 σ2≤σ02 σ2>σ02 2022)1(σχSn -=χ2≥χα2(n －1) σ2≥σ02 σ2<σ02χ2≤χ21－α(n －1) σ2=σ02 σ2≠σ02χ2≥χ2α/2(n －1)或χ2≤χ21－α/2(n －1) 6 μ1，μ2 未知 σ12≤σ22σ12>σ22 2221S S F =F ≥F α(n 1－1，n 2－1) σ12≥σ22σ12<σ22F ≤F 1－α(n 1－1，n 2－1)σ12=σ22σ12≠σ22F ≥F α/2(n 1－1，n 2－1)或F ≤F 1－α/2(n 1－1，n 2－1) 7 成对 数据μD ≤0 μD >0 nS D t D 0-=t ≥t α(n －1)μD ≥0μD <0 t ≤－t α(n －1) μD =0μD ≠0|t |≥t α－2(n －1)检验方法选择： 主要是逐对比较法（成对数据）跟两个正态总体均值差的检验的区别，如上表即7跟3、4的区别，成对数据指两样本X 和Y 之间存在一一对应关系，而3和4一般指X 和Y 相互对立，但针对同一实体．关系： 置信区间与假设检验之间的关系：未知参数的置信水平为1－α的置信区间与显著水平为α的接受域相同．定义：施行特征函数(OC函数)：β(θ)=Pθ(接受H0)．功效函数：1－β(θ)．功效：当θ*∈H1时，1－β(θ*)的值．。