相似中的“射影定理”1.射影定理直角三角形射影定理（又叫欧几里德（Euclid）定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

R t ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：如图，△（1）AD2=BD⋅DC（2）AB2=BD⋅BC（3）AC2=CD⋅BC△ABC∽△ABD∽△DAC注意：R t ABC中，A D为斜边BC上的高，图中共有6条线段：AC、BC、CD、AD、DB、AB，已知任意两条，便（1）在△可求出其余四条；（2）射影定理的每个乘积式中含三条线段，若已知两条线段，可求第三条；（3）平方项一定是两相似三角形的公共边。

2.定理推论在△ABC中，D是BC边上的一点，且满足∠BAD=∠C，则有AB2=BD⋅BC。

△ABD∽△CBAC B，求证：CEF∽△CBA。

例题1已知CD是△ABC的高，DE⊥CA，DF⊥△解析：根据△CDE∽△CAD和△CDB∽△CFD得CD2=CE CA和CD2=CF⋅C B利用等量代换和变形，即可证明△CEF∽△CBA。

答案：证明：在△R t ADC中，由射影定律得，C D2=CE⋅C A，R t BCD中，CD2=CF⋅C B在△（ （ ∴ AC∴ CE ⋅ C A = CF ⋅ C B∴ CE CF =CB CA∵ ∠ECF = ∠BCA∴△CEF ∽△CBA点拨：本题主要考察了相似三角形的基本模型射影定理的应用。

做题时要善于发现相似，找出等量关系，进行 适当的变形。

例题 2 已知：如图，AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，CD ⊥AB 于 D 。

若 AE ＝AC ，BE 交⊙O 于点 F ，连接 CF 、 DE 。

求证：（1） AE 2 = AD • AB（2） ∠ACF = ∠AED解析： 1）根据 AE ＝AC ，可以把结论转化为证明 AC 2 = AD • AB ，只需连接 △B C ，证明 ACD ∽△ABC 即可。

（2） 根据（1）中的结论，即可证明三角形 ADE 相似于三角形 AEB ，得到∠AED ＝∠B ，再根据同弧所对的圆周角相等即可证明。

答案： 1）连接 B C ，∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90° ∵CD ⊥AB ，∴△ACD ∽△ABC ，AB=AD AC∵AC ＝AE ，∴ AE 2 = AD • AB（2）∵ AE 2 = AD • AB ，∠EAD ＝∠BAE ， ∴△ADE ∽△AEB ， ∴∠AED ＝∠B∵∠ACF ＝∠B ，∴∠ACF ＝∠AED点拨：本题主要考查了对相似三角形的判定和性质的掌握和应用，注意转化思想的应用是解决本题的关键。

a 2 +b 2 2 a 2 + b 2 = a 2 + b 2a 2 +b 2 - = 1， ab【要点总结】射影定理是相似三角形中的特殊形式，经常结合圆、矩形、平面直角坐标系和函数考查，因此要善于在复杂的 图形中发现满足射影定理的模型，并对其进行代数式的变形，以及等量代换，从而达到解题目的。

例题 如图，在 △R t ABC 中，CD ，CE 分别是斜边 AB 上的高和中线，BC ＝a ，AC ＝b （b ＞a ），若 t an ∠DCE = 1 3，求 a b的值。

解析： 在 △R t ABC 中，利用射影定理得到 BC 2 = BD • BA ，进而得到 BD 的表达式，由面积法可求出 CD 的长， 根据 CE 为中线，建立关系式 DE ＝BE ﹣BD ，再根据正切函数的定义，建立关于 a 、b 的关系式。

答案：在 △R t ABC 中，∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ∴ BC 2 = BD • BA ，BC 2 a 2 1 1ab 即： BD = 。

由等面积法知： ab = AB ⋅ C D ，∴ CD =BA 2 2 a 2 + b 2 1 a 2 b 2 - a 2又因为 CE 是中线，则 DE = BE - BD = 。

2b 2 - a 2。

在 △R t CDE 中， tan ∠DCE = 2 a 2 + b 2 = 13 3a 2 +b 2得： 3a 2 + 2ab - 3b 2 = 0 ，解得 a = -1 ± 10 a 10 - 1 a - 10 - 1b ，于是有 = 或 = （舍负值）。

3 b 3 b 3点拨：本题考查了射影定理、勾股定理、解直角三角形，综合性较强，要认真对待。

（答题时间：30 分钟）一、选择题1. 在 △R t ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为点 D ，若 AD ：BD ＝9：4，则 AC ：BC 的值为（）A. 9：4B. 3：2C. 4：9D. 2：3*2. 在 △R t ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点 D ，若 AC 3 BD = ，则 ＝（ ）AB 4 CDA. 4 3B. 3 4 16 9C.D.9 16*3. 已知：在△ABC 中，∠BAC ＝90 °，AD ⊥BC 于 D ，M 为 BC 中点。

下列关系式中正确的是（ ）A. AC 2 - AB 2 = 2DM ⋅ BCB. AC 2 - BC 2 = 2DM ⋅ ACC. AC 2 + AB 2 = 2DM ⋅ ACD. BC 2 - AB 2 = 2 A D ⋅ ACC **4. 若正实数 x ，y ，z 满足① x 2 + y 2 = z 2 ， ② z x 2 - r 2 = r 2 。

则下列关系式中正确的是（ ）A. xy > zrB. xy = zrC. xy < zrD. 无法确定二、填空题*5. 如图，△ABC 中 AB = AC ，点 D 在 BC 上，以 BD = 8 为直径作⊙O ， 恰过 A 点，若 AC 与⊙O 相切，则 AB 的 长为 。

*6. 如图，矩形 ABCD 中， 则 AG ：GE ＝。

AB 5 1 3= ，点 E 在 BC 上，点 F 在 CD 上，且 EC = BC ， FC = CD ，FG ⊥AE 于 G ， BC 6 6 5*7. 两个任意大小的正方形，都可以适当剪开，拼成一个较大的正方形，如用两个边长分别为a ，b 的正方形拼成 一个大正方形。

图中 △R t ABC 的斜边 AB 的长等于 （用 a ，b 的代数式表示）。

*8. △R t ABC 中 ， ∠BAC ＝ 90° ， AD 是 斜 边 BC 上 的 高 ， 则 AB 2 , AC 2 , AD 2 三者之间的等量关系式为。

三、解答题*9. 如图，AB 为⊙O 的直径，为⊙O 上一点，CD ⊥AB 于点 D ，交 AE 于点 G ，弦 CE 交 AB 于点 F ，求证：AC 2 = AG • AE 。

*10. （沈阳模拟）已知 △R t ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，垂足为 D ，DF ⊥AC ，垂足为 F ，DE ⊥AB ，垂足为 E 。

求证：（Ⅰ） AB • AC = AD • BC （Ⅱ） AD 3 = BC • BE • CF直线 AC 于点 F 。

若AB**11. 已知：如图，BD 、CE 是△ABC 的高，DG ⊥BC 与 CE 交于 F ，GD 的延长线与 BA 的延长线交于点 H 。

求证： GD 2 = GF • GH 。

**12. （莆田）（1）如图 1，在 △R t ABC 中，∠ABC ＝90°，BD ⊥AC 于点 D 。

求证： AB 2 = AD • AC ； ABBD （2）如图 2，在 △R t ABC 中，∠ABC ＝90°，点 D 为 BC 边上的点，BE ⊥AD 于点 E ，延长 BE 交 AC 于点 F 。

== 1 ，BC DC求 AF FC的值；（3）在 △R t ABC 中，∠ ABC ＝90°，点 D 为直线 BC 上的动点（点 D 不与 B 、C 重合），直线 BE ⊥AD 于点 E ，交BDAF== n ，请探究并直接写出的所有可能的值（用含 n 的式子表示），不必证明。

BCDCFC=BC===，选C。

xy=zr，即xy=zr。

z D B1.B解析：由射影定理得C D2=AD⋅BD，又∵AD:BD=9:4，∴AD:BD:CD=9:4:6，∴AC:BC=AD:CD=3:2，故选B。

2.C解析：由勾股定理得：AC:AB:BC=3:4:5∵AD⊥BC，可得：△ABC∽△DBA∽△DAC∴AB2=BD⋅BC，AC2=CD⋅BCAB2BD AB24216CD AC2AC2329BC3.A解析：由∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴△ABC∽△DBA∽△DAC，可得AC2=CD⋅BC，AB2=BD⋅BC。

又∵M为BC中点，可得AM=BM=CM=12 BC，∴AC2-AB2=BC⋅(CD-BD)=BC⋅⎡⎣CM+DM-(BM-DM)⎤⎦=2BC⋅DM。

4.B解析：如图，由条件①x2+y2=z2可构造△R t ABC，由条件②z x2-r2=r2联想到射影定理，作斜边z上的高r，由三角形的面积可得：1122Cy xrA x2-r25.43解析：连接AD，作AH⊥BC于H点，设AB=AC=x，CD=y，由CAD∽≥?CBA得：x2=y y+8)①由射影定理得：AB2=BH⋅BD，故BH=AB2x2=，BD8又知H为BC中点，故BC=2BH，即8+y=2⨯由①、②解得：x=43。

x2x2=②846.4∶1解析：矩形ABCD中，AB513 =，点E在BC上，点F在CD上，且EC=BC，FC=CD，FG⊥AE BC665于 G ，∴ DF = 2 ∴ AF9. 证明：延长 CG ，交⊙O 于点 M ，∵AB ⊥CM ，∴ AC = AM ，∴∠ACG ＝∠E = , = , = = + = , = 又 ∵∠A ＝∠ ，∴△A A DB ∽△ABC ，∴ABAD DF AD DFCD ，∴ = 2 ， = 2 ，∴ = ，5 CF CE CF CE 又∵∠ECF ＝∠FDA ，∴△CEF ∽△DFA ，∴ AD DF= = 2 ，∠AFD ＝∠FEC ，CF CE∴∠AFD ＋∠CFE ＝∠FEC ＋∠CFE ＝90°，∴∠AFE ＝90° 又∵FG ⊥△A E ，∴ AFE ∽△AGF ，△AFG ∽△FEG ，AG FG AF FG 1 = = = 2 ，则 AG ＝2FG ， = ＝2，∴ EG = FG ，EF FG EG EF EG 2∴AG ＝4EG ，AG ：GE ＝4：1。