(1)简谐运动的图象并非振动质点的运动轨迹． (2)做简谐运动的质点经过平衡位置时，回复力一定为零，但所受合 外力不一定为零． (3)由于简谐运动具有周期性和对称性，因此涉及简谐运动时往往出 现多解，分析时应特别注意．位移相同时回复力、加速度、动能和势 能等可以确定，但速度可能有两个方向，由于周期性运动时间也不能 确定．
• ①二者都表示振动的快慢；
• ②二者互为倒数；T=1/f；③当T和f由振动系统本身的 性质决定时
2、简谐振动：物体所受的回复力跟位移大小成正比时， 物体的振动是简偕振动．
• ①受力特征：回复力F=—KX。②运动特征：加速度a= 一kx／m，方向与位移方向相反，总指向平衡位置。
• 简谐运动是一种变加速运动，在平衡位置时，速度最大 ，加速度为零；在最大位移处，速度为零，加速度最大 。
• 3.特点：简谐运动的图象是正弦（或余弦）曲线．
• 4.应用：①可直观地读取振幅A、周期T以及各时刻的 位移x；
• ②判定各时内位移、回复力、加速度、速度、动能 、势能、等物理量的变化情况
• 注意：①振动图象不是质点的运动轨迹．
• ②计时点一旦确定，形状不变，仅随时间向后延伸。
三、实验：用单摆测定重力加速度
方法一：计算法
根据公式T＝2π
l g
，g＝
4π2l T2
.将测得的几次周期T和摆长l代入公式g
＝
4π2l T2
中算出重力加速度g的值，再算出g的平均值，即为当地的重力加速
度的值．
方法二：图象法
由单摆的周期公式T＝2π
l g
可得l＝
g 4π2
T2，因此以摆长l为纵轴，以
[思路点拨] 解答本题可按以下思路进行：
小球的运动可视
(1) O′P ≪R →
→ 由单摆周期求t
为单摆振动
带电小球在 等效重力
(2)
→
→ 周期T
复合场中 加速度
[解析] (1)由于 O′P ≪R，故满足单摆摆角较小的条件，则小
球的运动可视为简谐运动，其摆长l相当于绝缘半圆形槽的半径R，由
单摆周期公式得：
T2为横轴作出的l－T2图象是一条过原点的直线，如图所示，求出斜率k，
即可求出g值．g＝4π2k，k＝Tl2＝ΔΔTl2.
(1)实验时要注意对细线、小球的具体要求，以及操作中应注意的问题． (2)对不同类型的单摆应注意等效摆长与等效重力加速度．
简谐运动的规律
[例1] (2010年高考全国Ⅰ卷)一简谐振子沿x轴振动，平衡位置
二、简谐振动及其描述物理量
1、振动描述的物理量
• (1)位移：由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线 段．
• ①是矢量,其最大值等于振幅；②始点是平衡位置,所以 跟回复力方向永远相反；③位移随时间的变化图线就是 振动图象．
• (2)振幅：离开平衡位置的最大距离．①是标量； ②表 示振动的强弱；
• (3)周期和频率：完成一次全变化所用的时间为周期T， 每秒钟完成全变化的次数为频率f．
• 2、弹簧振子振动周期：T=2πsqr（m/k），只由振子质 量和弹簧的劲度决定，与振幅无关，也与弹簧振动情况 无关。
(如水平方向振动或竖直方向振动或在光滑的斜面上振动 或在地球上或在月球上或在绕地球运转的人造卫星上)
• 3、可以证明，竖直放置的弹簧振子的振动也是简谐运 动，周期公式也是。这个结论可以直接使用。
5．对称性特征 (1)如图所示，振子经过关于平衡位置 O对称的两点P、P′(OP＝OP′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对 于平衡位置的位移大小相等．
(2)振子由P到O所用时间等于由O到P′所用时间，即tPO＝tOP′. (3)振子往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等， 即tOP＝tPO.
• 说明：①判断一个振动是否为简谐运动的依据是看该振 动中是否满足上述受力特征或运动特征。
• ②简谐运动中涉及的位移、速率、加速度的参考点，都 是平衡位置.
三、弹簧振子：
• 1、一个可作为质点的小球与一根弹性很好且不计质量 的弹簧相连组成一个弹簧振子．一般来讲，弹簧振子的 回复力是弹力(水平的弹簧振子)或弹力和重力的合力(竖 直的弹簧振子)提供的．弹簧振子与质点一样，是一个 理想的物理模型．
得x＝12.5sin (2πt) cm. 振动图象为
[答案] (1)1 s (2)200 cm (3)12.5sin (2πt) cm 图象见解析
单摆周期公式的应用
[例3] 如图所示，处于竖直平面内的光滑 绝缘半圆形槽的半径为R，一质量为m的小
球置于槽中P点释放，且 O′P ≪R.求：
(1)小球滑至最低点O′所经历的时间t. (2)若使小球带一定量的正电荷并将整个装置放在水平向右的匀强电 场中，且小球所受电场力大小等于小球所受重力大小，把该小球从某点 由静止释放使其做简谐运动则其周期T为多少？
[答案] AD
简谐运动的图象
[例2] (2012年泉州模拟)弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间 做简谐运动，在t＝0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在 t＝0.20 s时，振子速度第一次变为－v；在t＝0.50 s时，振子速度第二次 变为－v.
(1)求弹簧振子振动周期T. (2)若B、C之间的距离为25 cm，求振子在4.00 s内通过的路程． (3)若B、C之间的距离为25 cm.从平衡位置计时，写出弹簧振子位移 表达式，并画出弹簧振子的振动图象． [思路点拨] 解答本题关键把握以下三点： (1)根据简谐运动的对称性特点确定周期． (2)若时间t＝nT，则路程s＝4nA. (3)从平衡位置计时，x＝Asin ωt，其图象为正弦曲线．
• ①回复力时刻指向平衡位置;
• ②回复力是按效果命名的, 可由任意性质的力提供．可 以是几个力的合力也可以是一个力的分力;
• ③合外力：指振动方向上的合外力，而不一定是物体受 到的合外力．
• ④在平衡位置处：回复力为零，而物体所受合外力不一 定为零．如单摆运动，当小球在最低点处，回复力为零 ，而物体所受的合外力不为零．
[解析] (1)画出弹簧振子简谐运动示意图如图 由对称性可得：T＝0.5×2 s＝1 s (2)若B、C之间距离为25 cm， 则振幅A＝12×25 cm＝12.5 cm 振子4.00 s内通过的路程 s＝4×4×12.5 cm＝200 cm (3)根据x＝Asin ωt，A＝12.5 cm，ω＝2Tπ＝2π.
• 4、在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧的弹 力；在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧弹力 和重力的合力。
四、振动过程中各物理量的变化情况
• 简谐运动的位移,回复力,加速度,速度都随时间做周期性 变化(正弦或余弦函数)变化周期为T,振子的动能、势能 也做周期性变化,周期为T/2
• ①凡离开平衡位置的过程，v、Ek均减小，x、F、a、 EP均增大；凡向平衡位置移动时，v、Ek均增大, x、F 、a、EP均减小.
在坐标原点．t＝0时刻振子的位移x＝－0.1 m；t＝43s时刻x＝0.1 m；t
＝4 s时刻x＝0.1 m．该振子的振幅和周期可能为( )
A．0.1 m，83s
B．0.1 m,8 s
C．0.2 m，83s
D．0.2 m,8 s
[思路点拨] 解答本题时可按以下思路分析：
说明：要求对振动方程的表达式及符号代表的物理量有一个清楚的认识．
• ②振子运动至平衡位置时，x、F、a为零，EP最小，v 、Ek最大；当在最大位移时，x、F、a、EP最大，v、 Ek最为零；
• ③在平衡位置两侧的对称点上,x、F、a、v、Ek、EP的 大小均相同．
五、简谐运动图象
• 1.物理意义：表示振动物体（或质点）的位移随时间变 化的规律．
• 2.坐标系：以横轴表示时间，纵轴表示位移，用平滑曲 线连接各时刻对应的位移末端即得
• 5、小球在光滑圆弧上的往复滚动和单摆完全等同。只要摆角足够 小，这个振动就是简谐运动。这时周期公式中的l应该是圆弧半径 R和小球半径r的差。
• 6、秒摆：周期为2s的单摆．其摆长约为lm.
一、简谐运动的规律 1．简谐运动的两种模型
2.简谐运动的表达式 (1)动力学表达式：F＝－kx其中“－”表示回复力与位移的方向相反． (2)运动学表达式：x＝Asin(ωt＋φ)，其中A代表振幅，ω＝2πf表示简谐运 动的快慢，(ωt＋φ)代表简谐运动的相位，φ叫做初相． 3．简谐运动的图象 (1)从平衡位置开始计时，函数表达式为x＝Asin ωt，图象如图甲所示．
3、平衡位置：是振动物体受回复力等于零的位置；也是 振动停止后，振动物体所在位置；平衡位置通常在振动 轨迹的中点。“平衡位置”不等于“平衡状态”。平衡 位置是指回复力为零的位置，物体在该位置所受的合外 力不一定为零。(如单摆摆到最低点时，沿振动方向的 合力为零，但在指向悬点方向上的合力却不等于零，所 以并不处于平衡状态)
(2)从最大位移处开始计时，函数表达式为x＝Acos ωt，图象如图乙所示．
4．简谐运动的几个重要特征 (1)受力特征：简谐运动的回复力满足 F＝－kx，位移 x 与回复力的 方向相反，由牛顿第二定律知，加速度 a 与位移大小成正比，方向相反． (2)运动特征：当物体靠近平衡位置时，x 、F、 a 都减小，v 增大； 当物体远离平衡位置时，x 、F、 a 都增大，v 减小． (3)能量特征：对单摆和弹簧振子来说，振幅越大，能量越大．在运 动过程中，动能和势能相互转化，机械能守恒． (4)周期性特征：物体做简谐运动时，其位移、回复力、加速度、 速 度、动量等矢量都是随时间做周期性变化， 它们的变化周期就是简谐运 动的周期(T)； 物体的动能和势能也随时间做周期性变化， 其变化周期 为T2.
R 2g.
[答案]
π (1)2
R g
(2)2π
R 2g
T＝2π R/g 所以t＝T4＝π2 R/g.