X q ( AT qA)1 AT q
E(X q ) X
D(
X
q
)
0
2
(
AT
qA)
1
AT
qP1q(
AT
qA)1
D(X q ) D(X )
E(
0
2
)
E(
vT qv fq
)
2 0
3)随机模型误差对函数模型的影响
函数模型
L AX GY
H 0 : E(Y ) 0; H1 : E(Y ) Y
Xˆ 1 ( AT PA) 1 AT PL
10、AR（P）模型误差的补偿最小二乘法
AR（P）模型 xt 1 xt1 2 xt2 n xtn at
vt xt1ˆ1 xt2ˆ2 xt pˆ p xt
其中时间序列数据为： x1 x1, x2, , xn ,t p 1, , n
L AX
n1 nu u 1 n1
D
2 0
Q
2 0
P
1
R（A）=U R（Q）=n X为非随机参数
V T PV ( AXˆ L)T P( AXˆ L) min
经典平差公式
Xˆ (AT PA)1 AT P N 1AT P
V AXˆ ( L - AXo )
Lˆ L V
QXˆ Xˆ N 1
解为所建模型的参数个数过多或不足。当参数
个数选得过多时
L AX GY
tr
(DX
yX
y
)
tr
(DXX
)
E(X y ) X
E(
0
2
)
2 0
当参数个数选得不足时，所估参数有偏，单位
权方差有偏，而且偏大。
2）随机模型不完善参数估计性质
• 随机模型不完善可归结为定权不正确。 权的正确值应为p，现定权为q
19.62
1994 18.91 18.89 19.39 19.46 19.99 20.01 19.86 19.89 18.99 19.23 20.03
19.96
• 不同α值的计算
α
xˆ(ˆ1,ˆ2 )
1
(0.2812,-0.2116)
0.8
(0.2513,-0.2144)
0.6
(0.2134-0.2180)
• 当 F F F 0 时
F F F
• 用统计 F 检验，参数Y不显著，实际上 F F 参数Y显著，使函数模型少选了参数Y。
• 因此，在实际平差系统中，虽然存在随机模型 误差 △P，但往往并不知道，上述的检验统计
量采用了 F 致使所选函数模型产生了模型误
差，影响了平差函数的最优无偏估计性质。
• 3. 对上式作模型误差识别存在模型误差，按半 参数法对AR（2）模型误差进行补偿，按分别 进行补偿最小二乘平差求得参数和以及，由于 时的最接近已知值，故采用的结果。
• 4. 预报方程为 xt 0.2812 xt1 0.2116 xt2
谢 谢！
数模型和随机模型误差的。平差系统模型误差的识别和补偿应 综合考虑。
5、估计和识别模型误差的理论基础公式
实际模型
L AX
理论模型
X→ X
L AX GY
模型偏差 A( X Xˆ ) GY
AX AN 1 AT P( AX GY ) GY
J AN 1 AT P
R I - J (Q - AN 1 AT )P QVV P
4）函数模型误差和随机模型误差相互转化
误差方程
V1
V2
A1
A2
Xˆ
l1
l
2
P
P1
P2
V1
V2
A1
A2
Xˆ
l1 l2
P
P1
P2 P
V1
P
P1
P2
V1 V2
V1 V2
L
定权如果不正确，相当于该观测值存在模型误差是综合函
具有奇异协方差的平差模型
R（Q）=g<n R(A)=u X非随机
V T PV min
P Q-
V T Q V min
Xˆ N 1 AT P
(N ATQ-A或N ATQ A)
Q Xˆ Xˆ N 1 V AXˆ
ˆ
2 0
V T Q V g u
V T Q V R(n) u
D Xˆ
L AX
n1
u1
D
2 0
Q
R（A）=t R(D)=g n≥g>t u≥t X非随机
最小二乘统一理论
Rao在文中提出的最小二小乘准则是
V T (Q AUA T ) V min
陶本藻、刘大杰[5]（[5]1990）从奇异正态分布的密度函数
f
(l,
x)
(2
g
)2
(1, 2
g
1
)2
exp
1 2
(l
l
但在实际平差系统中，由于种种原因的建模近似， 例如非线性观测方程的线性化；未顾及或近似 考虑某种系统误差影响；观测值的先验协方差 阵不尽合理等原因都会造成函数模型和随机模 型产生误差。模型近似在回归拟合模型中则更 为突出。
4、模型误差若干理论问题
1）函数模型不完善参数估计性质
函数模型不完善或者说存在函数模型误差，可理
ˆ
2 0
V T PV nu
DXˆ
Q2
0 XˆXˆ
秩亏自由网平差
R（A）=t<u
d=u-t R(Q)=n X非随机
V T PV min
XT X min
Xˆ
N
m
AT
P
V AXˆ
ˆ
2 0
V T PV n R( A)
V T PV nt
Q Xˆ Xˆ N
D Xˆ
2 0
Q
Xˆ Xˆ
-1 1
T
N 1,N
-1 1
, 1 1
R TTT
NN
ST RS
St1 st 2
• 实例，某台站定点沉降观测数据分析
年/月
1990
1991
1992
1 月2
3
19.29 19.42 19.42
18.99 19.04 19.03
20.12 20.13 19.75
4
19.32
19.08
19.36
)T
D (l
l
)
V T DV min
V T Q V min
Xˆ ( AT QU A) AT QU L QU Q AUAT
ˆ
2 0
V T PV f
3、平差系统的模型误差
模型误差分为函数模型误差和随机模型误差两类
最小二乘平差参数X的估值具有最优无偏性，单位 权方差的估值具有无偏性和渐进最优性。这些 良好的统计性质都是基于模型误差不显著的情 况。
D(
x
)
2 0
PX1
D( x ) 0
V T PV
V
T X
PX
V
X
min
Xˆ
X
1
APL
1
QXX N
Xˆ
Xˆ
Yˆ
N
A
T P GT
A PX P A
A G
T T
P P
G G
P
P
PX
L
L L X
ˆ
2 0
V T PV VXT PX VX nu
2、广义高斯—马尔柯夫模型，最小二乘统一理论
2V T P 2K T 0
V
Xˆ
2K T A 0
K PV
AT K 0
Sˆ
2SˆT R 2K T
0
K RSˆ
AT PAXˆ AT PSˆ AT PL
PAXˆ ( p R)Sˆ PL
Sˆ (P R)1 P(L AXˆ )
Xˆ Xˆ 1 ( AT PA)1 AT PSˆ
现代测量平差原理及其模型误差分析
陶本藻教授
武汉大学测绘学院 地球空间环境与大地测量教育部重点实验室
1、测量平差数学模型
函数模型是描述观测量与待求参数间的
数学函数关系的模型，是确定客观实际的本 质或特征的模型。
随机模型是描述平差问题中的随机量
（如观测量）及其相互间统计相关性质的模 型。
经典平差模型
R
F
uy
~ F(uy ,muuy , 2 )
(n u uy )
P P P
R R R F F F
当 F F F 0 时
F F F
此时的统计量 F 因 F F 判定参数y显著，但实际上 F F 参数y不显著。按统计量F 检验，函数模型中列入了参数Y
权的误差△P造成了函数模型参数的过渡化。
02tr(PQVV ) 02 (n t)
Y
T
GT
PQVV
PGY
V
T
PV
2 0
(n
t
)
7、模型误差的识别
k y Y T GT PQVV PGY t 02
检验Y=0 KY 可取4-9
8、平差系统最优模型的选取及应用
例1，测边网坐标平差。数据及平差结果见 （误差理论与测量平差基础[1]P131§7--
0.4
(0.1630,-0.2231)
0.2
(0.0906,-0.2308)
V TV
1.6138 1.3576 1.0566 0.7015 0.2982
ˆ 2
0.0288 0.0242 0.0189 0.0125 0.0053
• 1. 采用AR（P）模型（4—1—54），经定阶检 验，确定。
• 2. 平差求得方程。