我们看到a bn的二项式共有n 1项,其中各项的系 数Ckn(k 0,1,2, ,n)叫做二项式系数 (binomial coef
fient ),式中的Cknankbk叫做二项展开式的通项,用Tk1
表示,即通项为展开式的第k 1项 : Tk1 Cknankbk.
x
1
6



2x

16
x x

1 x3
2x
16

1 x3
2x6
C16 2x5

C26 2x4
C36 2x3
C64 2x2 C56 2x C66
1
x3
64x6 6 32x5 15 16x4 20 8x3
n N .如何证明这个猜想呢?
证明 由于a bn是n个a b相乘,每个a b在相乘 时有两种选择,选取a或b,而且每个a b中的a或b都选
定后,才能得到展开式的一项,因此 ,由分步乘法计数原
理可知,在合并同类项之前,a bn的展开式共有 2n 项,
35 8x3 280x3,
所以展开式的第4项的系数是280.
1 2x7 的展开式的第4 项的二项式系数是
C37 35.一个二项式展开式的某一项的二项 式系数与这一项的系数是两个不同的概念.
2求
x

1
9
的展开式中x3的系数.
x
2
x

1
9
的展开式的通项是
其中每一项都是ankbk (k 0,1, ,n)的形式.
对某个kk 0,1,2, n ,对应的项ankbk 是由n k 个a b中选a,k个a b中选b得到的.由于b选定
后,a的选法也随之确定,因此,ankbk 出现的次数相
当于从n个a b中取k个b的组合数Ckn.这样,a bn
展开式的一项.于是,由分步乘法计数原理,在合并同
类项之前,a b2的展开式共有 2 2 项,而且每一项 都是a2k bk k 0,1,2的形式.
下面我们再来分析一下形如a2kbk的同类项的个数.
当k 0时,a2k bk a2,是由2个 a b中都不选 b, 得到的,相当于从2个a b中取0个b(即都取a)的
组合数C02,因此a2只有一个;
当k 1时,a2k bk ab,是由1个 a b中选 a,另一个 a b中选b得到的.由于b选取定后,a的选定也随之 确定,因此,ab出现的次数相当于从2个a b中取1个
b的组合数,即ab共有C12个;
当k 2 到的,相当于从2个a b中取2个b的组合数C22,因
15 4x2 6 2x 1

64x3
192x2

240x
160

60 x

12 x2

1 x3
.
例2 1求1 2x7的展开式的第4项的系数; 解 11 2x7的展开式的第4项是 T31 C37 173 2x 3 C37 23 x3
此b2只有一个.
由上述分析可以得到: a b2 C02a2 C12ab C22b2.
探究 你能仿照上述过程,自己推导出a b3,a b4
的展开式吗? 从上述对具体问题的分析得到启发,对于任意正整数
n,我们有如下猜想:
a b n Cn0an C1nan1b1 Cknankbk Cnnbn
二项式定理
二项式定理研究的是a bn的展开式. 那么,a bn的展开式是什么呢? 我们
在 计 数 原 理 这 一 章 来 学习 它, 说 明 它 的 展开式与分类加法计数原理、分步乘 法计数 原理以及排列、组合的知识有 关.那么,如何把二项展开式与这些知识 联系起来呢?
探究 如何利用两个计数原理得到a b2,a b3, a b4的展开式?你能由此猜想一下a bn的展开
的展开式中,ankbk共有Ckn个,将它们合并同类项,就 可以得到二项展开式 :
a b n Cn0an C1nan1b1 Cknankbk Cnnbn
a b n Cn0an C1nan1b1 Cknankbk Cnnbn 上述公式叫做二项式定理binomial theorem.
式是什么吗?
在初中,我们用多项式乘法法则得到了a b2的展开 式 a b2 a ba b a a a b b a b b
a2 2ab b2.
从上述过程可看到,a b2是 2个a b相乘,根据多 项式乘法法则,每个 a b 在相乘时有两种选择,选 a或选b,而且每个 a b中的a或b选定后,才能得到
x
Cr9x9r

1
r


x

1 r Cr9x92r .
依题意,得9 2r 3,r 3.
因此,x3的系数是13C39 84.
谢谢
在二项式定理中,如果设a 1,b x,则得到公式:
1 x n Cn0 C1nx Cn2x2 Cknxk Cnnxn.
例1
求 2
x
1
6
的展开式.

x
分析 为了方便,可以先化简后展开
解 先将原式化简,再展开,得
2