＝ 0 , = 0
MT MT dt 0 t 0 方程的解: J J t t MT 1 MT 2 dt (0 t )dt 0t t 0 0 0 J 2 J 旋转机械
动力学方程的求解
电磁铁机构
M a kl12 a b
e
e
+ 2u2(Sq2e1 Cq2 e2
( 0) ( 0)
2. 用广义坐标表达主动力和惯性力
( e20)
( 主动力：F1= m 1g e20,)
( F2= m 2g e20 ) ，
B
c1 A
MB c2
q2
F2
M1= M1 e3
( 0)
M2= M2 e3
( 0)
F1
q1
e1( 0)
MA e 惯性力： 将速度对时间微分后得出: 2 ( 2 ( F1* m11 (u1Sq1 u1 Cq1 )e1 0) m1 (u1Cq1 u1 Sq1 )e20)
B
MB c2
Vc2
广义坐标：q1
、
q2
q2
c1
e
( 0) 1
ur qr ,
x
r = 1,2
A
MA
q1
质心速度和构件角速度矢量表达式
e
( 0) 3
( 0) ( Vc1= 1u1Sq1 e1 Cq1 e20 ) ( 0) ( 0) Vc2=r1u1Sq1 1 Cq1 2
( 1 u1e30 ) ( 2 u2e30 )
机械动力学分析与设计
刚性机械系统动力学(1) ---单自由度系统
刚性机械系统
实际问题的简化：
1 不考虑弹性变形，认为构件是绝对刚体 2 不考虑运动副中的间隙，认为运动副中 密切接触 3 不考虑运动副中的摩擦力影响 4 不计构件尺寸的加工误差
单自由度系统
一个活动构件
多个构件
构件通过运 动副约束
自由度=1
机械动力学分析与设计
第二讲 刚性机械系统动力学分析(2)
---多自由度系统
刚性机械系统动力学
多自由度 系统
开式运动链
闭式运动链
运动学关系复杂
需和运动约束方 程一起求解
一、用达朗伯原理建立动力学方程
(例) 用离合器联 接的传动系统
不同步阶段－－同步阶段－－稳定运转 离合器
J1
Md Mj
J2
Mr
2自由度 系统
l2
l1
k
情况2.
Je=常数 Me=Me( )
1 1 2 dJ e d d J ( M e 2 d ) e d dt
动力学方程的求解
情况2. Je=常数 Me=Me( ) 电磁铁机构 动 力 学 方 程 k
dJ e 1 1 d (M e 2 ) d J e 2 d d dt
动力学方程的建立
用达朗伯原理
例：平面四杆机构： N=3 方程数: n=9 未知数：8个约束反 力＋1个角加速度 构件运动 主动力 约束反力 动力学方程 3N个方程
未知量中 有约束反 力
分为若干个隔离体，建立每一个构件的动力学方程 质心
xi , yi 转角 i
动力学方程的建立
用达朗伯原理
例：平面四杆机构： N=3 方程数: n=9 未知数：8个约束反 力＋1个角加速度 3N个方程 未知量中 有约束反 力
2 v 2 i 1 J e 12 mi i J i 2 dt J ( M e 2 d ) e d dt
d E E U ( . ) Qr dt q qr qr
r
r 1,2... N
此处 N=1
v 2 2 1 2 2 1 2 E mi vi J ii 1 mi i J i i 2 i 1 2 i 1 1 i 1 1
a Mr b aMj b
t
二. 用凯恩方法建立动力学方程 凯恩(Kane)方程:
F
p
(r) p
F
n
*( r ) n
0
r=1,2…
广义坐标中的达朗伯原理
惯性力和 外力平衡
(例) 两自由度机械臂
y
( e20)
几何尺寸和质量特性：
B
MB c2
q2
c1
e
( 0) 3
c1、c2—质心位置 AB= r Ac1= 1 1 x Bc2= 2 m1,m2—质量 J1, J2—绕质心转动惯量
( 0) 3
2 F2* [m2 r1 (u1Sq1 u12Cq1 ) m2 2 (u2 Sq2 u2 Cq2 )]e1( 0) 2 ( [m2 r1 (u1Cq1 u12 Sq1 ) m2 2 ( u2Cq2 u2 Sq2 )]e20)
惯性力矩:
n
广义力
n ri xi yi zi Qr Fi ( Fix Fiy Fiz ) qr i 1 qr qr qr i 1
n
ri ri qr qr
M e Fi (
i 1
p
1
Vi
) cos i M i (
( M 1* J c1u1e30)
* ( M 2 J c 2u2e30)
将主动力、惯性力转换到广义坐标中去
单自由度系统动力学方程
等效力矩（广义力）
M 1 1 FiVi cos i M ii
e
( 0) 1
A
MA
q1
系统坐标
1. 用广义坐标表示各构件速度
y
( e20)
Vc1
B c1
MB c2
Vc2
q2
选取构件1、2的转角为 广义坐标：q1 、 q2 x
e
( 0) 3
e
( 0) 1
A
MA
q1
取广义速率：
ur qr ,
r = 1,2
1. 用广义坐标表示各构件速度
y
( e20)
Vc1
转动构件为等效构件
1. Je=常数 Me= 常数 2 J =常数 M =M ( )
e e e
3. Je=常数 M e=M () 4.
J e J e ( ) M e M e ( , )
Je=Je( )
M e M e ( , t )
5.
动力学方程的求解
情况1. Je=常数
Me= 常数

n

n
n
可用一个构件等效— —动能不变原则
等效转动惯量—Je
用拉氏方程建立动力学方程
d E E U ( . ) Qr dt q qr qr
r
r 1,2... N
此处 N=1
•在动能相等的前提下，将系统的惯性参数等效为一个构件
2 v 2 i 1 2 J e 1 mi i J i 等效转动惯量—Je 2 i 1 1 1 n
可能情况:
J( Md ( ， ) , ) Mr( ) , M j( )
简单情况可得解析解
J1 Md 例如: Md=a-b1 Mj=常数 (摩擦力矩) Mr=常数 Mj 第 一 阶 段 J2
用达朗伯原理建 立动力学方程
Mr 不同步运转 动力学方程:
启动
Mj=常数,可分别求解 当 t=0,1 10 , 2 0 时,
dJ e 1 1 d (M e 2 ) d J e 2 d 或 d dt
常见的动力学 方程类型
1 2 dJ e d 1 dt J ( M e 2 d ) e d dt
单自由度机械系统动力学微分 方程的解法：取决于等效力 （矩）和等效转动惯量（等效 质量）的变化与否。 解法：解析法和数值法
b a t) J b
2 b 2 b 2a (a ) ( 2) J 2 J b
课外练习一：
D 已知: M =2000-0.36 -0.0201 2 Nm d Md
D=300 mm
Je
m
Je=0.1 kg-m2 m=1000 kg
1. 试写出启动过程(初始速度 0=0)的 动力学方程. 2. 计算速度达到稳定速度95%时所 需的时间.
d1 J1 Md M j dt d 2 J2 M j Mr dt
aMj 1 10 e b
b t J1
aMj , M j Mr 2 t b J2
J1 第二阶段 同步运转 Md 当 1 Mj
J2
Mr
2时, t t0 , 0
p
Vi
q
动力学方程
拉氏方程
E － E U d Qr ( . ) qr qr dt q r
M e Fi (
i 1 p
广义坐标
1
q
等效力矩（广义力）
1
Vi
) cos i M i (
i 1
i ) 1
1 E J e12 等效转动惯量 2
动力学方程：
Md
Mj
稳定运转
J1 t a M j e b
b
Mr
,
b
2
M j Mr J2
t
同步阶段:

0
a Mr J t a Mr 0 e b b J J1 J 2
2
不同步阶段－－同步阶段－－稳定运转
1

t0