北京市石景山区 年 高 三 统 一 测 试数学试题（文科）考生须知： 1．本试卷为闭卷考试，满分150分，考试时间为120分钟。
2．本试卷各题答案均答在本题规定的位置。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数21i +等于 （ ）A ．2i -B ．2iC ．1i -D ．1i + 2．已知命题:,2p x R x ∀∈≥，那么命题p ⌝为（ ）A ．,2x R x ∀∈≤B ．,2x R x ∀∈≤C ．2,-≤∈∀x R xD ．2,-<∈∀x R x3．已知平面向量)2,1(=a ，m b a m b 则且,//),,2(-=的值为（ ）A ．1B ．-1C ．4D ．-44．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：㎝2）为 （ ）A ．80B ．60C ．40D ．205．经过点P （2，-3）作圆25)1(22=++y x 的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则弦AB所在直线方程为（ ）A ．05=--y xB ．05=+-y xC ．05=++y xD ．05=-+y x6．已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能 是 （ ） A ．求数列}1{n 的前10项和)(*N n ∈B ．求数列}21{n 的前10项和)(*N n ∈C ．求数列}1{n 的前11项和)(*N n ∈D ．求数列}21{n的前11项和)(*N n ∈7．已知函数)(x f 的导函数)(x f '的图象如图所示，那么函数)(x f 的图象最有可能的是（ ）8．已知函数x x f x 2log )31()(-=，正实数c b a ,,是公差为正数的等差数列，且满足0)()()(<⋅⋅c f b f a f 。
若实数d 是方程0)(=x f 的一个解，那么下列四个判断：①a d <;②;b d <③;c d >④c d >中有可能成立的个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
把答案填在题中横线上。
9．函数)2lg(1x x y -++=的定义域是 。
10．若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+-≥+30030x y x y x ，则y x z -=2的最大值为 。
11．函数x x y 2cos 2sin =的最小正周期是 ，最大值是 。
12．等差数列}{n a 中，1,563=-=a a ，此数列的通项公式为 ，设n S 是数列}{n a 的前n 项和，则8S 等于 。
13．某校从参加高三年级期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的历史成绩（成绩 均为整数且满分为100分），把其中不低于 50分的成绩分成五段[)[)]100,90[70,60,60,50 后，画出部分频率分布直方图（如图），那么历史成绩在[)80,70的学生人数为 。
14．在数列}{n a 中，若),,2(,*212为常数p N n n p a a n n ∈≥=--，则称}{n a 为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断； ①若}{n a 是等方差数列，则}{2n a 是等差数列； ②})1{(n-是等方差数列；③若}{n a 是等方差数列，则),}({*为常数k N k a kn ∈也是等方差数列；④若}{n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列。
其中正确命题序号为 。
（将所有正确的命题序号填在横线上）三、解答题：本大题共6小题，共80分。
解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（本题满分13分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分虽为c b a ,,，且。
C c a 43cos ,2,1===（1）求)sin(B A +的值； （2）求A sin 的值； （3）求⋅的值。
16．（本题满分13分） 为援助汶川灾后重建，对某项工程进行竞标，共有6家企业参与竞标，其中A 企业来自辽宁省，B 、C 两家企业来自福建省，D 、E 、F 三家企业来自河南省，此项工程需要两家企业联合施工，假设每家企业中标的概率相同。
（1）企业E 中标的概率是多少？（2）在中标的企业中，至少有一家来自河南省的概率是多少？ 17．（本题满分14分）如图，已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，4,2,901===︒=∠AA BC AC ACB 。
E 、F 分别是棱CC 1、AB 中点。
（1）求证：1BB CF ⊥；（2）求四棱锥A —ECBB 1的体积；（3）判断直线CF 和平面AEB 1的位置关系，并加以证明。
18．（本题满分13分）在数列}{n a 中，),2(22,3*11N n n n a a a n n ∈≥-+==-且（1）求32,a a 的值；（2）证明：数列}{n a n +是等比数列，并求}{n a 的通项公式； （3）求数列n n S n a 项和的前}{。
19．（本题满分14分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为36，长轴长为32，直线mkx y l +=:交椭圆于不同的两点A 、B 。
（1）求椭圆的方程；（2）求k m 求且,0,1=⋅=的值（O 点为坐标原点）； （3）若坐标原点O 到直线l 的距离为23，求AOB ∆面积的最大值。
20．（本题满分13分）已知函数),(3)(23R b a x bx ax x f ∈-+=，在点))1(,1(f 处的切线方程为.02=+y（1）求函数)(x f 的解析式；（2）若对于区间]2,2[-上任意两个自变量的值21,x x ，都有c x f x f ≤-|)()(|21，求实数c 的最小值。
（3）若过点)2)(,2(≠m m M ，可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围。
参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1—5CBDAA 6—8BAC二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
把答案填在题中横线上。
9．[)21，- 10．9 11．212，π 12．112-=n a n ，-1613．1814．①②③④ 注：一题两空的第1个空3分，第2个空2分。
三、解答题：本大题共6小题，共80分。
解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本题满分13分） 解：（1）ABC ∆在 中，C B A -=+πC C B A sin )sin()sin(=-=+∴π又43cos =C ，20π<<∴C ，.47cos 1sin 2=-=∴C C.47)sin(=+∴B A 3分 （2）由正弦定得得.sin sin CcA a =.8142471sin sin =⨯==∴cCa A 8分（2）由余弦定理得C ab b a c cos 2222-+= 43121)2(222⨯⨯⨯-+=∴b b ，则02322=--b b解得212-==b b 或（舍） 11分.234321cos ||||=⨯⨯=⨯⋅=⋅∴C 13分 16．（本题满分13分）解：（1）从这6家企业中选出2家的选法有（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（A ，E ），（A ，F ），（B ，C ），（B ，D ），（B ，E ），（B ，F ），（C ，D ），（C ，E ），（C ，F ），（D ，E ），（D ，F ），（E ，F ），共有15种 4分 其中企业E 中标的选法有（A ，E ），（B ，E ），（C ，E ），（D ，E ），（E ，F ）共5种 7分则企业 E 中标的概率为31155= 8分 （2）解法一：在中标的企业中，至少有一家来自河南省选法有 （A ，D ），（A ，E ），（A ，F ），（B ，D ），（B ，E ），（B ，F ），（C ，D ），（C ，E ），（C ，F ），（D ，E ），（D ，F ），（E ，F ），共12种 12分 则“在中标的企业中，至少有一家来自河南省”的概率为 541512= 13分解法二：在中标的企业中，没有来自河南省选法有：（A ，B ），（A ，C ），（B ，C ）共3种 11分∴“在中标的企业中，没有来自河南省”概率为51153= 12分∴“在中标的企业中，至少有一家来自河南省”的概率为.54511=- 13分17．（本题满分14分）（1）证明： 三棱柱ABC —A 1B 1C 1是直棱柱， ⊥∴1BB 平面ABC 1分又⊂CF 平面ABC ， 2分1BB CF ⊥∴ 3分（2）解： 三棱柱ABC —A 1B 1C 1是直棱柱， ⊥∴1BB 平面ABC ，又⊂AC 平面ABC1BB AC ⊥∴︒=∠90ACB BC AC ⊥∴ .1B BC BB =⋂⊥∴AC 平面ECBB 1 6分AC S V SCBB ECBB A ⋅=∴-11317分E 是棱CC 1的中点，2211==∴AA EC62)42(21)(2111+⨯+⨯=⋅+=∴BC BB EC S ECBB 8分.426313111=⨯⨯=⋅=∴-AC S V ECBB ECBB A 9分 （3）解：CF//平面AEB 1，证明如下：取AB 1的中点G ，联结EG ，FG G F , 分别是棱AB 、AB 1中点.21,//11BB FG BB FG =∴ 又.21,//11BB EC BB EC =EC FG EC FG =∴,//∴四边形FGEC 是平行四边形 11分.//EG CF ∴ 12分 又⊄CF 平面AEB ，⊂EG 平面AEB 1， 13分 //CF ∴平面AEB 1。
18．（本题满分13分）（1）解：),2(22,3*11N n n n a a a n n ∈≥-+==-且.622212=-+=∴a a 2分.1323223=-+=a a 4分（2）证明：.212221)22()1(11111=-+-+=-++-+=-++-----n a n a n a n n a n a n a n n n n n n}{n a n +∴数列是首项为411=+a ，公比为2的等比数列。
7分11224+-=⋅=+∴n n n n a ，即,21n a n n -=+}{n a ∴的通项公式为)(2*1N n n a n n ∈-=+ 9分（3）解： }{n a 的通项公式为)(2*1N n n a n n ∈-=+)321()2222(1432n S n n ++++-+++=∴+ 11分.2822)1(21)21(2222++-=+⨯---⨯=+n n n n n n 13分19．（本题满分14分） 解：（1）设椭圆的半焦距为c ，依题意⎪⎩⎪⎨⎧==3,36a a c解得2=c由.1,222=+=b c b a 得 2分∴所求椭圆方程为.1322=+y x 3分（2）.1,1+=∴=kx y m设),(),,(2211y x B y x A ，其坐标满足方程⎪⎩⎪⎨⎧+==+11322kx y y x消去y 并整理得,06)31(22=++kx x k则00)31(4)6(22>⨯+-=∆k k ， 解得0≠k 5分 故0,31621221=⋅+-=+x x k kx x 6分0=⋅1)()1()1()1(2121221212121++++=+⋅++=+∴x x k x x k kx kx x x y y x x 7分0133113160)1(2222=+-=++-⋅+⨯+=k k k k k k33±=∴k 8分 （3）由已知231||2=+k m ，可得)1(4322+=k m 9分将y m kx +=代入椭圆方程，整理得.0336)31(222=-+++m kmkx x k(*)0)33)(31(4)6(222>-+-=∆m k km.3133,3162221221km x x k km x x +-=⋅+-=+∴ 10分]13)1(12)13(36)[1())(1(2|2222222122|+--+-=-+=∴k m k m k k x x k AB22222222)13()19)(1(3)13()13)(1(12+++=+-++=k k k k m k k 11分)0(463212361912316912322242≠=+⨯+≤+++=+++=k kk k k k 12分当且仅当2219k k =，即33±=k 时等号成立，经检验，33±=k 满足（*）式 当0=k 时，3|=AB 13分综上可知.2||max =AB∴当|AB 最大时，AOB ∆的面积最大值2323221=⨯⨯=S 14分 20．（本题满分13分）解：（1）323)(2-+='bx ax x f 1分根据题意，得⎩⎨⎧='-=,0)1(,2)1(f f即⎩⎨⎧=-+-=-+,0323,23b a b a解得⎩⎨⎧==.0,1b a 2分.3)(3x x x f -=∴ 3分（2）令33)(2-='x x f 即0332=-x ，解得1±=xx -2 )1,2(-- -1（-1，1） 1 （1，2） 2 ()f x ' + 0 - 0 + )(x f-2极大值极小值2(1)2,(1)2f f -==-[2,2]x ∴∈-当时，max min ()2,() 2.f x f x ==-则对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值12,x x ，都有12max min |()()||()()|4f x f x f x f x -≤-=所以 4.c ≥所以c 的最小值为4。