50
U
B(50)=0.04
2.模糊集的运算
（1）相等：A = B A(x) = B(x)； （2）包含：AB A(x)≤B(x)； （3）交：A∩B的隶属函数为 (A∩B)(x)=A(x)∧B(x)；
（4）并：A∪B的隶属函数为： (A∪B)(x)=A(x)∨B(x)； （5）余：Ac的隶属函数为： Ac (x) = 1-A(x). 图例如下：
注：模糊集的运算性质基本上与经典集合一致， 但对于模糊集而言，排中律不成立，即 A∪Ac U， A∩Ac .
A(x3)=0.4, A(x4)=0.6,
A(x5)=0.8, A(x6)=1
Zadeh对模糊集的表示法： A=A(x1)/x1+A(x2)/x2+…+A(xn)/xn
例1中的模糊集A用Zadeh表示法表示如下：
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 A x1 x2 x3 x4 x5 x6
例3 B= “年轻”也是年龄集U=[0,100] 的一个模糊子集， Zadeh给出它的隶属函数为：
1, 0 u 25 u 25 2 1 B(u) (1 ( ) ) , 25 u 100 5
如：B(25)=1
1 B（u） 0 25
B(30)=0.5 B(40)=0.1
例4 设U={x1,x2,x3,x4},A和B是U上的两个模糊子集，且：
A=0.3/x1+0.5/x2+0.7/x3+0.4/x4
B=0.5/x1+1/x2+0.8/x3
则：
Ac=0.7/x1+0.5/x2+0.3/x3+0.6/x4 Bc=0.5/x1+0/x2+0.2/x3+1/x4 A∩B=0.3/x1+0.5/x2+0.7/x3
《模糊数学及其应用》教学大纲：
课程学时：32 课程学分：2 课程性质：公共选修课 适用专业：全校各专业 预修课程：高等数学、线性代数
教学内容及学时安排：
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 模糊集的基本概念 模糊聚类分析 模糊综合评价 模糊模式识别 层次分析法和TOPSIS方法 模糊数学在数学建模中的应用
教材及主要参考书：
谢季坚，刘承平编著，《模糊数学方法 及其应用》(第三版) ，华中科技：
考勤占30分 上课笔记占30分（注：每人必须有一个笔记本） 课程论文40分
课程目标：
模糊数学已在科技、工程等领域显示出了强大的生命 力，并在人文科学（经济、管理、社会等）领域里，也 已获得了相当多的应用。该课程主要介绍模糊数学的基 本内容：模糊集合、模糊关系、模糊综合评价、模糊聚 类分析以及模糊数学在数学建模中的应用。 通过本课程的学习，使学生了解并初步掌握模糊数学 的基本思想，基础理论和方法，并能够运用所学的知识 解决实际问题，同时，通过介绍模糊数学在数学建模中 的应用以培养和提高学生应用数学的思维、知识、方法 解决实际问题的意识和能力。
一. 经典集合(Cantor集合)
经典集合具有两条基本属性：元素彼此相异， 即无重复性；范围边界分明,即一个元素x要么属于 集合A(记作xA),要么不属于集合(记作xA)，二 者必居其一.
-------------“非此即彼”
1.集合的表示法： (1)枚举法，A={x1 , x2 ,…, xn}； (2)描述法，A={x | P(x)}. 2.集合间的关系： AB 若xA，则xB； AB 若xB，则xA； A=B AB且 AB.
最后，不要认为自己数学基础不好而垂头丧气。其实： 数学不好的8个好处：
/health/2011/03/09/3218 44.html
1. 数学不好的人都比较爱笑，因为没有数学就没有烦 恼。 2. 数学不好的人都比较天真烂漫，比较感性。 3. 数学不好的人都比较幽默，生活充满乐趣，感情和 想象力都比较丰富。 4. 数学不好的人都比较直爽、实在，不会拐弯抹角。
则n=k+1 亦为秃子
综上知对所有的 n 结论成立
出现这类问题的原因：
“秃顶”是 模糊概念
模糊概念：是指从属于该概念到不属于该概 念之间无明显分界线的概念
（2）我们所处的生活中处处存在模糊
例如：要你到火车站去接一个“大胡子高个子长头发戴宽 边黑色眼镜的中年男人”. 尽管这里只提供了一个精确信息――男人，而其他信息 ――大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等都 是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头脑的综合 分析判断，就可以接到这个人.
A B A ( x) B ( x);
A B A ( x) B ( x)
AB ( x) A ( x) B ( x)
AB ( x) A ( x) B ( x)
A ( x) 1 A ( x)
c
∧表示：“取小”，∨表示：“取大”
L. A. Zadeh, Fuzzy sets, Information and Control 8(3) (1965) 338-353. 提供了一种分析复杂系统的新方法 ，标志 着模糊数学的诞生。
5.模糊数学的应用 利用模糊数学和模糊逻辑，能很好地处理各种 模糊问题。 如计算机使用模糊数学，便能大大提高模式识 别能力，可模拟人类神经系统的活动。在工业 控制领域中，应用模糊数学，可使空调器的温 度控制更为合理，洗衣机可节电、节水、提高 效率 等等。
模糊数学及其应用
Fuzzy Mathematics and Its Applications
授课教师：史战红
为什么要学习这门课？
1.进一步了解和掌握数学的应用
2.较好的完成SRTP（大学生科研训练）项目
3.为写好一篇优秀的毕业论文做好准备
4.参加全国大学生数学建模竞赛
5.为研究生阶段写学术论文打下基础
此外，模糊数学在气象、农业、军事等领域 都有着广泛的应用
6.模糊数学在中国 在美国，日本，法国等世界数学强国相继 研究模糊数学，并取得一些阶段性的进展 的同时，1976年中国开始注意模糊数学的 研究 。
1980年成立了中国模糊集与系统协会。1981年， 创办《模糊数学》杂志，1987年，创办了《模 糊系统与数学》杂志。还出版过大量的颇有价 值的论著。例如：汪培庄教授所著《模糊集合 论及其应用》，张文修教授编著的《模糊数学 基础》等。
例2 考虑年龄集U=[0,100]，A=“年老”，A也是一个 年龄集，u = 20 ∉ A，40 呢？…扎德给出了 “年老” 模糊集的隶属函数: 0, 0 u 50 u 50 2 1 A(u) (1 ( ) ) , 50 u 100 5
1 如：A(70) =(1+1/16)-1 0 50 U 100 =16/17=0.94
还可用向量表示法： A = (0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1).
另外，对例1还可以在U上建立一个“矮个 子”、“中等个子”等模糊子集. 从上例可看出： (1) 一个有限论域可以有无限个模糊子集, 而经典子集是有限的； (2) 一个模糊子集的隶属函数的确定方法是 主观的. 隶属函数是模糊数学中最重要的概念之一， 模糊数学方法是在客观的基础上，特别强调主观 的方法.
例1 设论域U = {x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)} (单位：cm)表示人的身高，那么U上的一个模糊集“高 个子”(A)的隶属函数A(x)可定义为：
x 140 A( x) 190 140
此即： A(x1)=0, A(x2)=0.2,
模糊数学简介
1.什么是模糊？
年轻、热、美、厚、薄、快、慢、大、 小、高、低、长、短、强、弱、软、 硬……
（1）用传统数学（经典集合）解决实际问题时往往会 出现一些悖论 如：“秃顶悖论”
2.为什么要研究模糊问题？
秃顶悖论: 天下所有的人都是秃顶 证明如下：
设头发根数为 n n=1 显然
若n=k 为秃子
5. 数学不好的人通常长得比较好看。 6. 数学不好的人抗挫折能力都比较强。 7. 数学不好的人比较喜欢付出,不求回报， 因为他们不会用数学方法去计算今天的付 出会不会给日后带来较大的收益。 8. 数学不好的人对于数字不敏感，不会 对人民币的面值斤斤计较。
第一章 模糊集的基本概念
二. 模糊集合(Fuzzy sets)
1.定义 设U是论域，称映射 A(x)：U→[0,1] 确定了一个U上的模糊子集A，映射A(x)称为 A的隶属函数，它表示x对A的隶属程度.
注： （1）使A(x) = 0.5的点x称为A的过渡点，此点 最具模糊性. （2）当映射A(x)只取0或1时，模糊子集A就是 经典子集，而A(x)就是它的特征函数. 可见经典 集合是模糊集合的特殊情形.
U 为全集， 为空集.
5.集合的特征函数：
集合 A 的特征函数为
0, x A A ( x) 1, x A
φA(x)：U→{0,1}
注：集合 A 的特征函数为一个映射：
特征函数与集合间的关系如下：
A U A ( x) 1,
A A ( x) 0;
3.模糊集的运算律
（6）0-1律： A∪U = U，A∩U = A； A∪ = A ， A∩ = ； （7）还原律： (Ac)c = A ； （8）对偶律：(A∪B)c = Ac∩Bc， (A∩B)c = Ac∪Bc。 证明：（8）对偶律的证明：对于任意的 xU (论域)， (A∪B)c(x) = 1 - (A∪B)(x) = 1 - (A(x)∨B(x)) = (1 - A(x))∧(1 - B(x)) = Ac(x)∧Bc(x) = Ac∩Bc (x) 从而有： (A∪B)c = Ac∩Bc