对于逆压电效应，其应变 x与电场强度 E （V/m）的关系为： x = d E
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压电效应与压电常数
对于正和逆压电效应，压电常数d在数值 上是相同的，
D x d X E
D, E
为矢量，
为张量 x, X
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标量、矢量和张量
标量：与方向无关，如密度、质量、温度 等； 矢量：既有大小又有方向，如力、速度、 电场强度等； 张量：简单的说，张量概念是矢量概念和 矩阵概念的推广，标量是零阶张量，矢量是一 阶张量，矩阵（方阵）是二阶张量，而三阶张 量则好比立体矩阵，更高阶的张量用图形无法 表达。
和媒质的介电常数和导磁率
（2）色散现象
晶体的折射率与光的频率(波长)有关，这就 是色散现象 由于电子的质量比原子核的质量小得多，因此， 可以近似地把原于核看成是固定不动的。此外， 又由于电子运动的速度比光速小得多，所以电 磁波对原子的主要作用表现为电磁波的电场E 对原子中电子的作用。
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色散现象
一. 压电效应 对于不存在对称中心的晶体，加在晶体 上的外力除了使晶体发生形变以外，同时， 还将改变晶体的极化状态，在晶体内部建立 电场，这种由于机械力的作用而使介质发生 极化的现象称为正压电效应。反之，如果把 外电场加在这种晶体上，改变其极化状态， 晶体的形状也将发生变化，这就是逆压电效 应。二者统称为压电效应。
晶体的热释电效应实际上是一种热-电耦合效 应，进一步分析热释电效应可以像压电效应 一样列出晶体的热释电方程：
T Di ij E j pi T
S pi Ei C E T T


p i 为热释电常数
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热释电效应与弹性边界条件
如果晶体是在机械夹持状态下加热的，即晶体的 体积和外形被强制地保持不变，这时所观察到的 热释电效应为第一类热释电效应 如果晶体在机械自由状态下加热，那么晶体将因 受热膨胀而产生应变，这种应变将通过压电效应 产生电位移而叠加在第一类效应上，这种由于热 膨胀通过压电效应耦合而产生的附加热释电效应 称为第二类热释电效应 自由晶体受热时的热释电效应是第一类效应和第 二类效应之和 25
D D D x T X , E T X , E x T , E T X , E
第一部分为恒应变和恒电场下的热释电常 数，即第一类热释电常数 第二部分 e和a的乘积就是热膨胀通过压电 效应的耦合对热释电效应的贡献，即第二 类热释电常数。
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3、电光效应
外加电场所造成的晶体折射率的变化称为电 光效应。一般情况下，电场对晶体折射率的 影响可用一个幂级数表示：
n n aE0 bE
0 2 0
式中 n 0 是外电场 E0 0 时晶体的折射率， a和b是常数
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由电场的一次线性项 aE0 造成的折射率的 变化称为一次电光效应、线性电光效应或 普克尔（Pockels）效应。 由电场的二次平方项 造成的折射率的 变化称为二次电光效应或克尔（Kerr）效 应
晶体压电效应的示意图
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对于有对称中心的晶体,无论有无外力 作用，晶体中的正负电荷中心总是重合在 一起的,因此不具有压电效应。 如果将一块压电晶体置于外电场中， 由于电场的作用，晶体内部正负电荷重心 发生位移，这一位移又导致晶体发生形变， 这个效应叫逆压电效应。
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压电效应与压电常数
在压电效应中，电荷与应力是成正比例的， 用介质电位移 D（单位面积的电荷）和应力 X 表达式如下： D = d X
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压电效应的方程式
正压电效应，根据定义可写出方程式：
D1=d11X1+d12X2+d13X3+d14X4+d15X5+d16X6 D2=d21X1+d22X2+d23X3+d24X4+d25X5+d26X6 D3=d31X1+d32X2+d33X3+d34X4+d35X5+d36X6
式中d的第一个下标代表电的方向，第二 个下标代表机械力（力或形变）方向。
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图7-35 压电振子的阻抗特性曲线示意图
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根据谐振理论，压电振子在最小阻抗频率 fm附近，存在一个使信号电压与电流同位相的 频率，这个频率就是压电振子的谐振频率fr， 同样在fn附近存在另一个使信号电压与电流同 位相的频率，这个频率叫压电振子的反谐振频 率fa。只有压电振子在机械损耗为零的条件下 fm=fr，fn=fa。
第七章 铁电物理
本章提要
铁电体物理学研究的核心问题是自发极 化。本章主要介绍有关铁电体物理学的一些 基本概念；自发极化产生的机制；铁电相变 与晶体的结构变化；极化状态在各种外界条 件下的变化，即介电响应、压电、热释电、 电致伸缩、光学效应等；最后适当介绍铁电 物理效应的实验研究。
1
7.5 铁电体物理效应
T
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压电振子及其参数
１.谐振频率与反谐振频率
若压电振子是具有固有振动频率fr的弹性 体，当施加于压电振子上的激励信号频率等于 fr时，压电振子由于逆压电效应产生机械谐振， 这种机械谐振又借助正压电效应而输出电信号。 压电振子谐振时，输出电流达到最大值， 此时的频率为最小阻抗频率fm。当信号频率 继续增大时到fn，输出电流值达最小值，fn叫 最大阻抗频率。
• A)在氧化铝衬底上 生长的氧化锌纳米 线的扫描电子显微 镜图像。 • (B)在导电的原子力 显微镜针尖作用下， 纳米线利用压电效 应发电的示意图。 • (C)当原子力显微镜 探针扫过纳米线阵 列时，压电电荷释 放的三维电压/电流 信号图.
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纳米孔阵列阳极氧化铝膜是在酸性溶液中由高纯 金属铝片经过电化学阳极氧化制备而成。通过改变 阳极氧化工艺参数，孔径大小可变范围为10～200 nm、孔密度可达109 ～1012 个/cm2 ，该纳米孔阵列 具有孔径大小一致、排列有序、分布均匀、呈柱状 形态等特征。 由于阳极氧化铝膜的孔径、孔密度及孔的深度都 是可控的，同时又具有较好的热稳定性和化学稳定 性，因此，纳米孔阵列阳极氧化铝膜是一种理想的 模板材料,已经在纳米材料的制备、功能材料及器件 的研发等领域中得到了广泛的应用。
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在非均匀加热，晶体内部会出现温度和应力梯 度。应力梯度通过压电效应的耦合也将引入附 加的热释电效应，称为第三类热释电效应
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三、电致伸缩
介质受电场作用的力
2 1 1 2 f 0 E 0 E . 2 2
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任何电介质在外电场E 的作用下都会出现应力， 这种应力的大小与E 的二次项成线性关系，称 这种效应为电致伸缩（electro striction） 电致伸缩效应与压电效应的区别在于：前者是 二次效应，在任何电介质中均存在；而后者是 一次效应，只可能出现于没有中心对称的电介 质中。 对于压电体，在外电场作用下一次的压电效应 和二次的电致伸缩效应同时出现。一般说来， 一次效应比二次效应显著，但两者有时可以具 29 有相同的数量级。
E1 E2 ,
1 2
Pi
nijk 2
E [1 cos 21t ]
2 1
第一项相当于光学非线性效应产生的恒定 极化分量，可称为光整流； 第二项就是通过二阶光学非线性效应产生 的二次谐波分量(SHG)。
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为了获得最高的二次谐波转换效率，要求基 频光和倍频光在晶体中的传播速率相同，即 晶体在ω和2ω下的折射率相等，否则基频光 在晶体中传播时，沿途所诱发出的倍频光将 因相位不同发生干涉作用而削弱，甚至抵消。
2
晶体是否具有压电效应，取决于晶体 构造的对称性 在晶体的32种点群中，具有对称中心 的11个点群不会有压电效应。在21种不存 在对称中心的点群中，除了432点群因为 对称性很高，压电效应退化以外，其余20 个点群都有可能产生压电效应。 晶体构造上不存在对称中心是产生压电 效应的必要条件
3
图7.23
在逆压电效应中常数d的第一下标也是“电” 的分量，而第二个下标是机械形变或应力的分 13 量。
如果同时考虑力学参量（X，x）和电学参量 （E，D）的复合作用，可用简式表示如下
D = dX= E x =SEX =dE
T
式中 是在恒定应力（或零应力）下测量出 的机械自由介电常数，SE为电短路情况下的弹 性常数
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2.频率常数 压电元件的谐振频率与沿振动方向的长度的 乘积为一常数，称为频率常数Ni （kHz· m）。 例如陶瓷薄长片沿长度方向伸缩振动的频率 常数Ni为：Ni = frl fr =
1 2l 1 E S11
由此可见，频率常数只与材料的性质有关。 若知道材料的频率常数即可根据所要求的 18 频率来设计元件的外形尺寸。
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二、热释电效应 当晶体的温度T 均匀变化时，晶体的自发极化 强度矢量 Pi 也随着发生变化。晶体的热释电效 应可用以下关系给出： i 1,2,3 dPi pi dT 其中 p i 称为热释电常数，其单位为C/m2· K 如果晶体在加热时压电轴正端产生正电荷，则规 定该晶体沿着这一轴向的热释电常数为正。大多 数晶体的自发极化随着温度的增加下降，因而热 释电常数为负值。 23
这样就可利用寻常光和异常光折射率的不同， 补偿了色散所造成的折射率变化。对于有些双 折射材料，有时还需加热来获得基频光和倍频 光之间精确的相位匹配条件。外加直流电场和 机械应力是另外两种获得相位匹配的方法。
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许多有希望的非线性光学材料都是铁电体。 这是由于这类材料双折射的特点及双折射受 温度影响强烈的缘故
3.机电耦合系数
机电耦合系数k是综合反映压电材料性能 的参数。它表示压电材料的机械能与电能 的耦合效应，定义为：
由机械能转换的电能 k 输入的总机械能
2
或
由电能转换的机械能 k 输入的总电能