第2讲 磁场对运动电荷的作用板块一 主干梳理·夯实基础【知识点1】 洛伦兹力、洛伦兹力的方向 Ⅰ洛伦兹力公式 Ⅱ1.定义：运动电荷在磁场中所受的力。

2.方向(1)判定方法：应用左手定则，注意四指应指向正电荷运动方向或负电荷运动的反方向。

(2)方向特点：F ⊥B ，F ⊥v 。

即F 垂直于B 和v 所决定的平面。

(注意B 和v 可以有任意夹角)。

由于F 始终垂直于v 的方向，故洛伦兹力永不做功。

3.洛伦兹力的大小：F ＝q v B sin θ其中θ为电荷运动方向与磁场方向之间的夹角。

(1)当电荷运动方向与磁场方向垂直时，F ＝q v B 。

(2)当电荷运动方向与磁场方向平行时，F ＝0。

(3)当电荷在磁场中静止时，F ＝0。

【知识点2】 带电粒子在匀强磁场中的运动 Ⅱ 1.若v ∥B ，带电粒子以入射速度v 做匀速直线运动。

2.若v ⊥B ，带电粒子在垂直于磁感线的平面内，以入射速度v 做匀速圆周运动。

3.基本公式(1)向心力公式：q v B ＝m v 2r 。

(2)轨道半径公式：r ＝m vBq 。

(3)周期公式：T ＝2πr v ＝2πm qB ；f ＝1T ＝qB 2πm ；ω＝2πT ＝2πf ＝qB m 。

(4)T 、f 和ω的特点：T 、f 和ω的大小与轨道半径r 和运行速率v 无关，只与磁场的磁感应强度B 和粒子的比荷q m 有关。

比荷q m 相同的带电粒子，在同样的匀强磁场中T 、f 、ω相同。

板块二 考点细研·悟法培优考点1 洛伦兹力的特点及应用 [对比分析]1.洛伦兹力的特点(1)洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷速度方向和磁场方向确定的平面。

(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。

(3)运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用。

(4)用左手定则判断洛伦兹力方向，注意四指指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向。

(5)洛伦兹力一定不做功。

2.洛伦兹力与电场力的比较例1(多选)一个带正电的小球沿光滑绝缘的桌面向右运动，速度方向垂直于一个水平向里的匀强磁场，如图所示，小球飞离桌面后落到地板上，设飞行时间为t1，水平射程为x1，着地速度为v1。

撤去磁场，其余的条件不变，小球飞行时间为t2，水平射程为x2，着地速度为v2，则下列说法正确的是()A.x1>x2B．t1>t2C.v1和v2大小相等D．v1和v2方向相同洛伦兹力对带电小球做功吗？提示：不做功。

(2)洛伦兹力的方向与速度方向有何关系？提示：垂直。

尝试解答选ABC。

当桌面右边存在磁场时，由左手定则可知，带正电的小球在飞行过程中受到斜向右上方的洛伦兹力作用，此力在水平方向上的分量向右，竖直分量向上，因此小球水平方向上存在加速度，竖直方向上的加速度a′<g，由h＝12a′t2知t1>t2；由x1＝v0t1＋12at21，x2＝v0t2知x1>x2，A、B正确；又因为洛伦兹力不做功，故C正确；两次小球着地时速度方向不同，D 错误。

总结升华洛伦兹力与安培力的联系及区别(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力，都是磁场力。

(2)安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功。

[跟踪训练](多选)如图所示，两个倾角分别为30°和60°的光滑绝缘斜面固定于水平地面上，并处于方向垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场中，两个质量为m、带电荷量为＋q 的小滑块甲和乙分别从两个斜面顶端由静止释放，运动一段时间后，两小滑块都将飞离斜面，在此过程中()A ．甲滑块飞离斜面瞬间的速度比乙滑块飞离斜面瞬间的速度大 B.甲滑块在斜面上运动的时间比乙滑块在斜面上运动的时间短 C.两滑块在斜面上运动的位移大小相同D.两滑块在斜面上运动的过程中，重力的平均功率相等 答案 AD解析 小滑块飞离斜面时，洛伦兹力与重力垂直斜面的分力平衡，故：mg cos θ＝q v m B ，解得v m ＝mg cos θqB，所以斜面倾角越小，飞离斜面瞬间的速度越大，故甲滑块飞离时速度较大，故A 正确；滑块在斜面上运动的加速度恒定不变，由受力分析和牛顿第二定律可得加速度a ＝g sin θ，所以甲的加速度小于乙的加速度，因为甲飞离的最大速度大于乙的最大速度，由v m ＝at 得，甲在斜面上运动的时间大于乙在斜面上运动的时间，故B 错误；由以上分析和x ＝v 2m2a ，甲在斜面上的位移大于乙在斜面上的位移，故C 错误；由平均功率的公式P ＝F v＝mg ·v m 2sin θ＝m 2g 2sin θ·cos θ2qB ，因sin30°＝cos60°，sin60°＝cos30°，故重力的平均功率一定相等，故D 正确。

考点2 带电粒子在匀强磁场中的运动问题 [解题技巧]1.圆心的确定(1)基本思路：与速度方向垂直的直线和轨迹圆中弦的中垂线一定过圆心。

(2)两种常见情形①已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图a 所示，图中P 为入射点，M 为出射点)。

②已知入射点和出射点的位置时，可以先通过入射点作入射方向的垂线，再连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图b所示，图中P为入射点，M为出射点)。

2.半径的确定和计算利用几何知识求出该圆的可能半径(或圆心角)，并注意以下两个重要的几何特点：(1)粒子速度的偏向角φ等于圆心角α，并等于AB弦与切线的夹角(弦切角θ)的2倍(如图所示)，即φ＝α＝2θ＝ωt。

(2)相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ′互补，即θ＋θ′＝180°。

3.运动时间的确定粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧轨迹所对应的圆心角为α时，其运动时间由下式表示：t＝α360°T(或t＝α2πT)。

4.带电粒子在不同边界磁场中的运动(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)。

(2)平行边界(存在临界条件，如图所示)。

(3)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图所示)。

例2如图所示，在边长为L的正方形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，有一带正电的电荷，从D点以v0的速度沿DB方向射入磁场，恰好从A点射出，已知电荷的质量为m，带电量为q，不计电荷的重力，则下列说法正确的是()A.匀强磁场的磁感应强度为m v0 qLB.电荷在磁场中运动的时间为πL v0C.若减小电荷的入射速度，使电荷从CD边界射出，电荷在磁场中运动的时间会减小D.若电荷的入射速度变为2v0，则粒子会从AB边的中点射出粒子从D点沿DB方向射入磁场，恰好从A点射出，粒子的轨道半径为多少？提示：R＝L。

(2)带电粒子在磁场中运动的时间如何确定？提示：t＝θ2πT，其中θ为轨迹所对圆心角。

尝试解答选A。

带正电的电荷从D点射入，恰好从A点射出，在磁场中的轨迹半径R＝L，由牛顿第二定律Bq v0＝m v20R得B＝m v0qL，A选项正确。

电荷在磁场中运动的时间为t＝14T＝14×2πRv0＝πL2v0，B选项错误。

若减小电荷的入射速度，使电荷从CD边界射出，轨迹所对的圆心角将变大，在磁场中运动的时间会变长，C选项错误。

若v＝2v0，则由Bq v＝m v2r得r＝2L，如图从F点射出，设BF＝x，由几何关系知r2＝(r－x)2＋L2，则x＝(2－3)L，D选项错误。

总结升华1.带电粒子在磁场中的匀速圆周运动的分析方法2.作带电粒子运动轨迹时需注意的问题(1)四个点：分别是入射点、出射点、轨迹圆心和入射速度直线与出射速度直线的交点。

(2)六条线：圆弧两端点所在的轨迹半径，入射速度所在直线和出射速度所在直线，入射点与出射点的连线，圆心与两条速度所在直线交点的连线。

前面四条边构成一个四边形，后面两条为对角线。

(3)三个角：速度偏转角、圆心角、弦切角，其中偏转角等于圆心角，也等于弦切角的两倍。

[跟踪训练] 如图，半径为R 的圆是圆柱形匀强磁场区域的横截面(纸面)，磁感应强度大小为B ，方向垂直纸面向外，一电荷量为q (q >0)、质量为m 的粒子沿平行于直径ab 的方向射入磁场区域，射入点与ab 的距离为R2。

已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为90°，则粒子的速率为(不计重力)( )A.qBR 2mB.(3－1)qBR 2mC.qBR mD.(3＋1)qBR 2m答案 B解析 如图，设粒子射入点为P ，射出点为Q ，已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为90°，则∠QPO ′＝∠PQO ′＝45°，PQ 为公共弦长，连接OO ′，则OO ′⊥PQ ，则∠OO ′P ＝45°，延长O ′P 交ab 于M ，连接OP ，OP ＝R ，MP ＝R 2，则OM ＝32R ，MO ′＝OM ＝32R ，由几何关系得32R ＝R 2＋r ，那么r ＝3－12R ，由Bq v ＝m v 2r 得v ＝(3－1)BqR 2m ，故B 选项正确。

考点3 带电粒子在磁场中运动的多解问题 [解题技巧]1.带电粒子电性不确定形成多解受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度条件下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解。

如图甲，带电粒子以速率v 垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a ，如带负电，其轨迹为b 。

2．磁场方向不确定形成多解有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，此时由于磁感应强度方向不确定形成多解。

如图乙，带正电粒子以速率v 垂直进入匀强磁场，如B 垂直纸面向里，其轨迹为a ，如B 垂直纸面向外，其轨迹为b 。

3.临界状态不唯一形成多解带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，于是形成了多解，如图丙所示。

4.运动的周期性形成多解带电粒子在电场和磁场的组合场空间运动时，运动往往具有往复性，从而形成多解。

如图丁所示。

例3[2017·哈三中模拟]如图所示，边界PQ以上和MN以下空间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度均为4B，PQ、MN间距离为23d，绝缘板EF、GH厚度不计，间距为d，板长略小于PQ、MN间距离，EF、GH之间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。

有一个质量为m的带正电的粒子，电量为q，从EF的中点S射出，速度与水平方向成30°角，直接到达PQ边界并垂直于边界射入上部场区，轨迹如图所示，以后的运动过程中与绝缘板相碰时无能量损失且遵循反射定律，经过一段时间后该粒子能再回到S点。