1.2集合间的基本关系1.下列关系正确的是( )A.0=∅B.1∈{1}C. ∅={0}D.0⊆{0,1}【答案】B解析：对于A:0是一个元素, ∅是一个集合,元素与集合是属于(∈)或者不属于(∉)关系,二者必居其一,A不对.对于B:1是一个元素,{1}是一个集合,1∈{1},所以B对.对于C: ∅是一个集合,没有任何元素,{0}是一个集合,有一个元素0,所以C不对.对于D:0是一个元素,{0,1}是一个集合,元素与集合是属于(∈)或者不属于(∉)关系,二者必居其一,D不对.故选B.2．已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则( )A．A⊆B B．C⊆BC．D⊆C D．A⊆D【答案】B解析：由已知x是正方形，则x必是矩形，所以C⊆B，故选B.3.满足{1}⊆A⊆{1,2,3}的集合A的个数是( )A.2B.3C.4D.8【答案】C解析：满足{1}⊆A⊆{1,2,3}的集合A为:{1},{1,2},{1,3},{1,2,3},共4个.4．如果A＝{x|x>－1}，那么正确的结论是( )A．0⊆A B．{0}∈AC．{0}⊆A D．∅∈A【答案】C解析：∵0∈A，∴{0}⊆A.5．已知集合A＝{2，－1}，B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m的值为( ) A．2 B．－1C．2或－1 D．4【答案】C解析：∵A＝B，∴m2－m＝2，即m2－m－2＝0，∴m＝2或m＝－1.6.定义集合运算A⊕B={c|c=a+b,a∈A,b∈B},设A={0,1,2},B={3,4,5},则集合A⊕B的真子集个数为( )A.63B.31C. 15D. 16【答案】B解析:当a=0时,b=3或4或5,则c=3或4或5共3个值;当a=1时,b=3或4或5,则c=4或5或6共3个值;当a=2时,b=3或4或5,则c=5或6或7共3个值,所以A⊕B={3,4,5,6,7},则集合A⊕B的真子集个数为25-1=31(个).故选B.7．定义集合运算A◇B＝{c|c＝a＋b，a∈A，b∈B}，若A＝{0,1,2}，B＝{3,4,5}，则集合A◇B的子集个数为( )A ．32B ．31C ．30D ．14【答案】A 解析：∵A ＝{0,1,2}，B ＝{3,4,5}，又A ◇B ＝{c |c ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，∴A ◇B ＝{3,4,5,6,7}．∵集合A ◇B 中共有5个元素，∴集合A ◇B 的所有子集的个数为25＝32.故选A.8．已知集合A ＝{x |0<ax ＋1≤5}，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12<x ≤2，若A ＝B ，则实数a 的值为( ) A ．0B ．－12C ．2D ．5 【答案】C解析：因为B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12<x ≤2，且A ＝B ，所以当x ＝2时，2a ＋1＝5，解得a ＝2.故选C. 9.设A={x|2<x<3},B={x|x<m},若A ⊆B,则m 的取值范围是( )A.{m|m>3}B.{m|m ≥3}C.{m|m<3}D.{m|m ≤3}【答案】B解析:因为A={x|2<x<3},B={x|x<m},A ⊆B,将集合A,B 表示在数轴上,如图所示,所以m ≥3.10．已知集合A ＝{x |a －1≤x ≤a ＋2}，B ＝{x |3<x <5}，则能使A ⊇B 成立的实数a 的取值集合是( )A ．{a |3<a ≤4}B ．{a |3≤a ≤4}C ．{a |3<a <4}D ．∅ 【答案】B解析：如图．∵A ⊇B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤3，a ＋2≥5，解得3≤a ≤4.经检验知当a ＝3或a ＝4时符合题意．故3≤a ≤4.11．图中反映的是“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，请在下面的空格上填入适当的内容．A 为 ；B 为 ；C 为 ；D 为 .解析：由题中Venn 图可得A B ，C D B ，A 与D 之间无包含关系，A 与C 之间无包含关系．由“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，可得A 为小说，B 为文学作品，C 为叙事散文，D 为散文．12．若集合A ＝{x |2≤x ≤3}，集合B ＝{x |ax －2＝0，a ∈Z }，且B ⊆A ，则实数a ＝ . 解析：当B ＝∅时，a ＝0，满足B ⊆A ；当B ≠∅时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a ，又B ⊆A ， ∴2≤2a ≤3，即23≤a ≤1，又a ∈Z ，∴a ＝1. 综上知a 的值为0或1.13.设a,b ∈R,集合A={1,a},B={x|x(x-a)(x-b)=0},若A=B,则a=________,b=_________. 解析:A={1,a},解方程x(x-a)(x-b)=0,解得x=0或a 或b,若A=B,则a=0,b=1.14.若集合A={x|2≤x ≤3},集合B={x|ax-2=0,a ∈Z},且B ⊆A,则实数a= . 解析:当B=⌀时,a=0,满足B ⊆A;当B ≠⌀时,B={2a },又B ⊆A,∴2≤2a ≤3,即23≤a ≤1,又a ∈Z,∴a=1.综上知a 的值为0或1.15．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 有 个．解析：因为集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}，所以当满足A ⊆C ⊆B 时，集合C 可以为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，故满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 有4个．16．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2，x ，y ∈N }，试写出A 的所有子集．解：∵A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2，x ，y ∈N }，∴A ＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．∴A 的子集有：∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．17．已知集合A ＝{x |1－a <x ≤1＋a }，集合B ＝{x |－12<x ≤2}． (1)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围；(2)若B ⊆A ，求实数a 的取值范围；(3)是否存在实数a 使A ，B 相等？若存在，求出a ；若不存在，请说明理由．解：(1)∵A ⊆B ，∴a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ≥－12，1＋a ≤2，a >0，解得a ≤1. (2)∵B ⊆A ，∴⎩⎨⎧ 1－a ≤－12，1＋a ≥2，解得a ≥32.(3)不存在．理由：由(1)(2)的结论可知不存在．18．设集合A ＝{x |－1≤x ＋1≤6}，B ＝{x |m －1<x <2m ＋1}．(1)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数；(2)若A ⊇B ，求m 的取值范围．【解析】化简集合A 得A ＝{x |－2≤x ≤5}．(1)∵x ∈Z ，∴A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，即A 中含有8个元素，∴A 的非空真子集数为28－2＝254(个)．(2)①当B=∅时， m －1≥2m ＋1，即m ≤－2时，B ＝∅⊆A ；②当B ≠∅时，即m >－2时，B ＝{x |m －1<x <2m ＋1}，因此，要B ⊆A ，则只要⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥－2，2m ＋1≤5⇒－1≤m ≤2. 综上所述，知m 的取值范围是{m |－1≤m ≤2或m ≤－2}．19.已知集合A={x|-2≤x ≤5}.(1)若B ⊆A,B={x|m+1≤x ≤2m-1},求实数m 的取值范围;(2)若A ⊆B,B={x|m-6≤x ≤2m-1},求实数m 的取值范围;(3)若A=B,B={x|m-6≤x ≤2m-1},求实数m 的取值范围.【解析】(1)①若B=∅,则m+1>2m-1,即m<2,此时满足B ⊆A;②若B ≠∅,则{m +1≤2m −1m +1≥−22m −1≤5.解得2≤m ≤3.由①②得,m 的取值范围是{m|m ≤3}.(2)若A ⊆B,则依题意应有{2m −1>m −6m −6≤−22m −1≥5,解得3≤m ≤4.所以m 的取值范围是{m|3≤m ≤4}.(3)若A=B,则必有{m −6=−22m −1=5无解,即不存在m 使得A=B. 20．已知集合A ＝{x |－1≤x ≤6}，B ＝{x |m －1≤x ≤2m ＋1}，且B ⊆A .(1)求实数m 的取值集合；(2)当x ∈N 时，求集合A 的子集的个数．解：(1)①当m －1>2m ＋1，即m <－2时，B ＝∅符合题意．②当m －1≤2m ＋1，即m ≥－2时，B ≠∅.由B ⊆A ，借助数轴(如图所示)，得⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≥－1，2m ＋1≤6，m ≥－2，解得0≤m ≤52.所以0≤m ≤52. 经验证知m ＝0和m ＝52符合题意．综合①②可知，实数m 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪ m <－2或0≤m ≤52. (2)∵当x ∈N 时，A ＝{0,1,2,3,4,5,6}， ∴集合A 的子集的个数为27＝128.。