2 消元法与矩阵的初等变换
对于如上所示的最一般形式的线性方程组：
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1

a21 x1 a22 x2 a2n xn
b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm



3 2 2

类似上面形式的方程组称为阶梯形方程组．
一般地，一个阶梯形线性方程组应该满足如下两个条件：
（1）如果方程组中某一方程的各项系数全为零，那么 它下方的所有方程（如果存在）的各项系数全为零；
（2）如果方程组中某一方程中至少有一项的系数不为
x1 x2 x3 3

x2 x3 0 x3 2

x3 2
第五步 把第三个方程以下的方程中的 x3 消去．第四
个方程加上第三个方程，可得
x1 x2 x3 3

x2 x3 0 (2.4) x3 2

0 0
第六步 用“回代”方法求解．经第五步后得到的方程组(2.4)
零，设第一个系数不为零的项是第 i 项，那么此方程下 方的所有方程（如果存在）的前 i 项的系数全为零． 例如线性方程组

x1

2
x2
2
x3

3 x4 x4

6 3
与

0 0

x1


x2
5x3
2 10

0 3
上述的消元过程中，我们对线性方程组施行了 下列三种变换： （1） 交换两个方程的位置； （2） 以非零数 k 乘一个方程； （3） 把某一个方程的 k 倍加到另一个方程上．
回顾前面的方程组
2x1 5 x2 4 x3 4

x1
4x2
3x3
1

x1

3x2
2x3

5
x1 x2 x3 3
2 5 4 4
B

Ab


1 1 1
4 3 1
3 2 1
1
5 3

原方程组
增广矩阵
引入如下三个矩阵
a11 a12
A


a21 am1
a22 am2

a1n
a2n
amn

x1
b1
X


x2 xn
,
b


b2 bm
.
利用矩阵的乘法,线性方程组可以写成如下的
矩阵的初等变换与线性方程组的求解
－－高斯消去法
在本部分，我们将对中学所接触过的消元法求 解线性方程组的过程用矩阵的初等变换来表示，并 且对方程组的解的情况给出相应的判断标准。
1.线性方程组的矩阵形式表示
a11 x1 a12 x2 ...a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 ...a2n xn b2 ............ am1 x1 am2 x2 ...amn xn bm
矩阵形式：
AX=b
定义 增广矩阵 B Ab
定义 齐次方程组 AX = 0;
定义 非齐次方程组 AX = b, b 0
(b中至少有一分量不为零)
定义 解向量与解集合 方程组的一组解称为方程组的一个解向量，所
有解向量的全体构成的集合称为方程组的解集合(解 集) 定义 方程组相容
方程组有解，我们称这个方程组是相容的，否则， 称之为不相容的。

3 x2 2 x3 2 4 x2 3 x3 2
2x1 5 x2 4x3 4
3 x2 2 x3 2
第三步 使第二方程中的系数为1．第二个方程加上第三方程
后再乘以（－1），可得
x1 x2 x3 3

x2 x3 0 4 x2 3 x3 2
在初等数学中，常常用消元法求解。消元法的基本思想是
通过消元变形把已知方程组化成容易求解的同解方程组。在解
未知数较多的方程组时，需要使消元法步骤规范而又简便。
问题
方程组何时有解？ 若有解，有多少解？如何求出其全部解？
例1
解线性方程组
2x1 5 x2 4 x3 4

x1

4x2

3x3
1

x1

3x2

解 第一步 使第一个方程中 x1的系数为1．交换第一个方程
与第四个方程的位置，
可得

x1 x2 x3 x1 4 x2 3 x3 x1 3 x2 2 x3
3 1 5
2x1 5 x2 4x3 4
与原方程组等价．由方程组(2.4)的第三个方程得x3 2 ，代入
第二个方程得 x2 2；再把 x3 2, x2 2 代入第一个方
程可得 x1 3 ．于是，
x1
x2 x2
x3 3
x3

0
方程组的解为
.
x3 2
0 0

x1 x2 x3
3 x2 2 x3 2
第四步 把第二个方程以下的方程中的 x2 都消去．第三
个方程加上第二个方程的4倍，第四个方程减去第二个方程
的3倍，可得
x1 x2 x3 3

x2 x3 0 4 x2 3 x3 2
3 x2 2 x3 2
第二步 把第一个方程以下的各方程中的x1消去．第二个方程 减去第一个方程 , 第三个方程减去第一个方程 ，第四个方程减
去第二个方程的２倍，可得

x1 x2 x3 x1 4 x2 3 x3 x1 3 x2 2 x3
3 1 5
x1 x2 x3 3
这三种变换称为线性方程组的初等变换．
任意线性方程组 若干次初等变换
阶梯方程组
Gauss消元法： 原方程组 阶梯方程组
回代
得解
三、利用矩阵初等行变换解线性方程组
在例1的消元过程中，我们对方程组进行的初等变换 实际上只对方程组中未知量的系数与常数项进行运算，未 知量并未参与运算．因而对方程组施行的初等变换可以 用相应的矩阵的变换来表示．