第三节函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性结合具体函数，了解函数奇偶性与周期性的含义．知识点一函数的奇偶性1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数 f ( x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有 f (－x)＝－f (x)，而不能说存在 x0使 f( －x0) ＝－f( x0)、f( －x0)＝f( x0) ．3．分段函数奇偶性判定时，利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性是错误的．必记结论1．函数奇偶性的几个重要结论：(1) 如果一个奇函数 f ( x)在原点处有定义，即 f(0) 有意义，那么一定有 f (0) ＝0.(2) 如果函数 f ( x)是偶函数，那么 f(x)＝f (| x|) ．(3) 既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域 D 是关于原点对称的非空数集．(4) 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．2．有关对称性的结论：(1) 若函数 y＝f ( x＋ a)为偶函数，则函数 y＝f (x)关于 x＝a对称．若函数 y＝ f ( x＋ a)为奇函数，则函数 y＝f ( x)关于点(a,0)对称．(2) 若 f( x) ＝f (2 a－ x) ，则函数 f( x) 关于 x＝a 对称．若 f ( x) ＋f (2 a－x) ＝2b，则函数 f(x)关于点( a，b)对称．[ 自测练习]1．函数 f( x)＝lg( x＋1) ＋lg( x－1)的奇偶性是( )A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数2．( 2015·石家庄一模)设函数 f ( x)为偶函数，当 x∈(0 ，＋∞ )时， f ( x) ＝log 2x，则f（－2）＝）（1A．－2C．2D．－23．若函数f(x)＝x2－|x＋a| 为偶函数，则实数 a＝知识点二函数的周期性1．周期函数对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f ( x＋ T) ＝ f ( x) ，那么就称函数 y＝f(x) 为周期函数，称 T为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数 f ( x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作 f (x) 的最小正周期．必记结论定义式 f (x＋T)＝f ( x)对定义域内的 x是恒成立的．若f (x＋a)＝f(x＋b)，则函数 f(x)的周期为 T＝| a－b|.11若在定义域内满足 f(x＋a)＝－f(x)，f(x＋a)＝fx，f(x＋a)＝－fx ( a>0) ．则 f(x)为周期函数，且 T＝2a 为它的一个周期．对称性与周期的关系：(1) 若函数 f ( x)的图象关于直线 x＝a和直线 x＝b对称，则函数 f ( x)必为周期函数，2|a －b| 是它的一个周期．(2) 若函数 f ( x)的图象关于点( a, 0)和点( b, 0)对称，则函数 f(x) 必为周期函数，2|a－ b| 是它的一个周期．(3) 若函数 f ( x)的图象关于点( a, 0)和直线 x＝ b对称，则函数 f ( x)必为周期函数，4| a －b| 是它的一个周期．[ 自测练习]14．函数 f ( x)对于任意实数 x 满足条件 f ( x＋2)＝fx，若 f(1) ＝－5，则 f(f(5)) ＝考点一函数奇偶性的判断|判断下列函数的奇偶性．(1) f(x)＝1－x2＋ x2－1 ；(2) f(x) ＝3－2x＋2x－3；x －x4－ x(3) f (x )＝3x－3－x；(4)f (x )＝|x ＋3| －3；2x ＋ x ， 2x －x ，函数奇偶性的判定的三种常用方法1． 定义法： 2．图象法：3．性质法：(1) “奇＋奇”是奇， “奇－奇”是奇， “奇·奇”是偶， “奇÷奇”是偶；(2) “偶＋偶”是偶， “偶－偶”是偶， “偶·偶”是偶， “偶÷偶”是偶；(3) “奇·偶”是奇， “奇÷偶”是奇．考点二函数的周期性 | 设 f (x )是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x ，恒有 f ( x ＋ 2) ＝－ f ( x ) ．当x ∈[0,2] 时， f ( x )＝2x －x 2.(1) 求证： f ( x )是周期函数；(2) 当 x ∈[2,4] 时，求 f ( x )的解析式； (3) 计算 f (0) ＋f (1) ＋f (2) ＋⋯＋ f (2 017) ．判断函数周期性的两个方法(1) 定义法． (2) 图象法．1已知函数 f ( x )是定义在 R 上的偶函数，若对于 x ≥0，都有 f (x ＋2)＝－ ，且当 x ∈[0,2)时， f ( x ) ＝log 2( x ＋ 1) ，则求 f (－2 015) ＋f (2 017) 的值为 __ ．考点三 函数奇偶性、周期性的应用 | 高考对于函数性质的考查，一般不会单纯地考查某一个性质，而是对奇偶性、周期性、 单调性的综合考查．归纳起来常见的命题探究角度有： 1．已知奇偶性求参数．2．利用单调性、奇偶性求解不等式． 3．周期性与奇偶性综合． 4．单调性、奇偶性与周期性相结合．探究一 已知奇偶性求参数1．( 2015·高考全国卷Ⅰ )若函数 f (x )＝x ln( x ＋ a ＋ x 2)为偶函数，则 a ＝ _______探究二 利用单调性、奇偶性求解不等式x >0，x <0. (5) f (x )＝1 2．( 2015·高考全国卷Ⅱ )设函数 f (x )＝ln(1 ＋| x |) －1＋x 2，则使得 f (x )>f (2x －1)成 1＋x立的 x 的取值范围是 ( )∪(1 ，＋∞ )1∪ 3 ，＋∞探究三 周期性与奇偶性相结合3．( 2015·石家庄一模 )已知 f (x )是定义在 R 上的以 3为周期的偶函数， 若 f (1)<1 ，f (5) ＝2a a －3，则实数 a 的取值范围为 ( )a ＋1A ．( －1,4)B ．( －2,0)C ．( －1,0)D ．(－1,2)探究四 单调性、奇偶性与周期性相结合4． 已知定义在 R 上的奇函数 f (x )满足 f (x －4)＝－ f (x ) ，且在区间 [0,2] 上是增函数，则()A ． f ( － 25)<f (11)< f(80)B ． f (80)< f (11)< f (－25)C ． f (11)< f (80)< f ( － 25)D ． f ( － 25)< f (80)< f (11) 函数性质综合应用问题的三种常见类型及解题策略(1) 函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象 的对称性．(2) 周期性与奇偶性结合． 此类问题多考查求值问题， 常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3) 周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的 区间，然后利用奇偶性和单调性求解．2. 构造法在函数奇偶性中的应用[ 思路点拨 ] 直接求解函数的最大值和最小值很复杂不可取， 所以可考虑对函数整理化简，构造奇函数，根据奇函数的最大值与最小值之和为零求解．[ 方法点评 ] 在函数没有指明奇偶性或所给函数根本不具备奇偶性的情况下， 通过观察 函数的结构， 发现其局部通过变式可构造出奇偶函数， 这样就可以根据奇偶函数特有的性质 解决问题．[跟踪练习 ] 已知 f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －8，且 f ( － 2) ＝10，则 f (2) 等于( ) A ．－26B ．－18C ．－ 10D ．10A 组 考点能力演练1．( 2015·陕西一检 )若 f ( x )是定义在 R 上的函数，则“ f (0) ＝0”是“函数 f (x )为奇典例】 设函数 f (x )＝x ＋12＋sin2x2＋1x的最大值M ，最小值为 m ，则 M ＋ m ＝函数”的 ( )24x 2－ 2，－ 2≤x ≤0 x ， 0<x <1A ．0B．1D ．－ 1x4．在 R 上的奇函数 f (x )满足 f (x ＋3)＝f (x )，当 0<x ≤1时， f (x )＝2x，则 f (2 015)＝( ) A ．－ 2B ．2 C．－ 125．设奇函数 f ( x )在(0 ，＋∞ )上是增函数，且 f (1) ＝0，则不等式 x [f (x )－f (－x )]<0的解集为 ( )A ．{x | － 1<x <0，或 x >1}B ．{x |x <－1，或 0<x <1}C ．{ x | x <－ 1，或 x >1} D．{x | － 1<x <0，或 0<x <1}6．已知 f (x )是定义在 R 上的偶函数， f (2) ＝ 1，且对任意的 x ∈R ，都有 f (x ＋3)＝f (x )， 则 f (2 017) ＝ .7．函数 f (x )＝x ＋1x 3＋a为奇函数，则 a ＝ __________ .8．已知函数 f (x )在实数集 R 上具有下列性质： ①直线 x ＝1 是函数 f ( x )的一条对称轴；②f ( x ＋ 2) ＝－ f ( x ) ；③当1≤ x 1<x 2≤3时，[ f ( x 2) － f ( x 1)]( x 2－x 1)<0，则f (2015) ，f (2 016)， f (2 017) 从大到小的顺序为 ．2－ x ＋ 2x ， x >0，9．已知函数 f (x ) ＝ 0，x ＝0， 是奇函数．2 x ＋mx ， x <0(1) 求实数 m 的值；(2) 若函数 f (x )在区间 [ －1， a － 2]上单调递增，求实数 a 的取值范围．10．函数 y ＝f (x )(x ≠0)是奇函数，且当 x ∈ (0 ，＋∞ )时是增函数，若 f (1) ＝0，求不 等式 f x x －21 <0 的解集B 组 高考题型专练A ．必要不充分条件B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件2．( 2015·唐山一模 ) 已知函数1 － x f (x )＝－x ＋log 21＋x ＋ 1，则 f 12 ＋ f －12 的值为 (A ． 2B－ 2 C ．0 D3．设 f (x ) 是 定义在R 上 的周 期为 3 的 函数， 当 x ∈［－2,1) 时，f (x ) ＝，则 f 2 ＝ ( 2log1．( 2014·高考新课标全国卷Ⅰ) 设函数 f ( x ) ，g ( x )的定义域都为 R ，且 f (x ) 是奇函数， g (x ) 是偶函数，则下列结论中正确的是A ． f (x ) g (x ) 是偶函数 ．| f (x )| g ( x )是奇函数 C ． f (x )| g (x )| 是奇函数 D ．| f ( x )g ( x )| 是奇函数 2．( 2014·高考安徽卷 ) 设函数 f ( x )( x ∈R) 满足 f ( x ＋π)＝f (x ) ＋sin x ．当 0≤x <π 23π时， f ( x )＝0，则 f 6＝( C ．1D ．－123．( 2015·高考广东卷) 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 ( )A ．y ＝ 1＋ x 21B ．y ＝x ＋x 1C ． y ＝2x＋21xx D ．y ＝x ＋e 4．( 2015·高考天津卷 )已知定义在 R 上的函数 f (x )＝2|x －m|－1(m 为实数 ) 为偶函数． 记 a ＝f ，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m ) ，则 a ，b ， c 的大小关系为 ( ) A ． a <b <cC ． c <a <b5．( 2015·高考湖南卷A ．奇函数，且在(0,1)B ．奇函数，且在 (0,1)C ．偶函数，且在 (0,1)D ．偶函数，且在 (0,1)上是增函数上是减函数上是增函数上是减函数B ．a <c <b D ．c <b <a)设函数 f (x ) ＝ln(1 ＋ x ) － ln(1 －x )，则 f (x ) 是( )答案:x ＋ 1>01. 解析：由 知 x >1，定义域不关于原点对称，故 f (x ) 为非奇非偶函数．x －1>0 答案： C12. 解析：因为函数 f ( x )是偶函数，所以 f (－ 2)＝f ( 2) ＝ log 2 2＝2，故选 B.答案： B3.解析： ∵ f ( － x ) ＝ f ( x )对于 x ∈R 恒成立，∴|－x ＋a |＝|x ＋a |对于 x ∈ R恒成立， 两 边平方整理得 ax ＝0 对于 x ∈R 恒成立，故 a ＝0.答案： 0114.解：f (x ＋2)＝fx ，∴ f (x ＋4)＝fx ＋2＝f (x )，11∴f (5) ＝f (1) ＝－ 5，∴ f ( f (5)) ＝f (－5)＝f (3) ＝f1＝－5.答案：－1 5考点一2 x 2－1≥0，解： (1)由 2 得 x ＝± 1，1－x 2≥0，∴f ( x )的定义域为 {－1,1} ． 又f (1)＋f (－1)＝0，f (1) －f (－1)＝0， 即 f ( x ) ＝±f ( － x ) ．∴f ( x )既是奇函数又是偶函数．3(2) ∵函数 f ( x )＝ 3－2x ＋ 2x － 3的定义域为 23，不关于坐标原点对称，∴函数 f (x ) 既不是奇函数，也不是偶函数．(3) ∵f ( x )的定义域为 R ，－ xx x － x ∴ f ( －x ) ＝ 3－x －3x ＝－ (3 x －3－x) ＝－ f (x )，所以 f (x )为奇函数．24－ x ≥0， | x ＋ 3| － 3≠0，∴f ( x )的定义域为 [ －2,0) ∪(0,2] ，∴f( x)＝4－x 2 ＝ 4－x 2＝ 4－x 2| x ＋ 3| －3 x ＋ 3－3x∴f (－x )＝－ f ( x ) ，∴ f ( x )是奇函数．(5) 易知函数的定义域为 (－∞， 0) ∪(0 ，＋∞ ) ，关于原点对称，又当 x >0时，f (x )(4) ∵由 得－ 2≤ x ≤2且 x ≠0.＝则当 x <0 时，－ x >0，2故 f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当 x <0时， f ( x ) ＝x 2－x ，则当 x >0时，－ x <0，故 f (－x )＝x 2＋x ＝f ( x ) ，故原函数是偶函数． [解] (1) ∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴ f ( x )是周期为 4 的周期函数．(2) 当 x ∈[ －2,0] 时，－ x ∈ [0,2] ，由已知得22 f ( －x )＝2(－x )－(－x )2＝－2x －x 2.2又 f ( x )是奇函数，∴ f (－x )＝－f (x )＝－ 2x －x 2，∴f (x )＝x 2＋2x .又当 x ∈[2,4] 时，x －4∈[ －2,0] ，2∴f (x －4)＝( x － 4) 2＋ 2( x － 4) ．又 f (x ) 是周期为 4 的周期函数，22 ∴f (x )＝f (x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)＝x 2－6x ＋8.2从而求得 x ∈[2,4] 时， f (x ) ＝x 2－6x ＋8.(3) f (0) ＝0，f (2) ＝0，f (1) ＝1，f (3) ＝－1. 又 f (x ) 是周期为 4 的周期函数，∴f (0) ＋f (1) ＋f (2) ＋f (3) ＝f (4) ＋f (5) ＋f (6) ＋f (7) ＝⋯＝ f (2 008) ＋f (2 009)＋f (2 010) ＋f (2 011) ＝f (2 012) ＋f (2 013) ＋f (2 014) ＋f (2 015) ＝0，∴f (0) ＋f (1) ＋f (2) ＋⋯＋ f (2 017) ＝f (0) ＋f (1) ＝0＋1＝1.1 解析：当 x ≥0时， f ( x ＋ 2) ＝－ fx ，∴f (x ＋4)＝f (x )，即 4是f (x )( x ≥0)的一个周期． ∴f (2 017) ＝f (1) ＝log 22＝1，f (－2 015) ＝f (2 015) ＝f (3) ＝－f1＝－1， ∴f (－2 015) ＋f (2 017) ＝0. 答案： 01. 解析：由题意得 f ( x ) ＝x ln( x ＋ a ＋x 2)＝f (－x )＝－x ln( a ＋ x 2－ x ) ，所以 a ＋x 2＋x ＝a ＝1.答案：112. 解析：函数 f (x )＝ln(1 ＋|x |) － 1x 2，∴ f (－x )＝f (x )，故 f ( x )为偶函数，又当x 1＋ x1∈(0 ，＋∞ )时，f ( x ) ＝ln(1 ＋x )－1＋x 2，f (x )是单调递增的，故f (x )>f (2x －1)f (| x |)>f (|2 x1 ＋ x1－1|) ，∴|x |>|2 x －1|，解得 3<x <1，故选 A.3答案： A3. 解析：∵ f ( x )是定义在 R 上的周期为 3 的偶函数，∴f (5) ＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，2a － 3 a － 4 ∴ － <1，即 －<0 ，解得－ 1<a <4，故选 A. a ＋ 1 a ＋1答案： A4.解析：∵ f (x )满足 f ( x －4) ＝－ f (x )， ∴f (x －8)＝f (x )，∴函数 f (x )是以 8 为周期的周期函数， 则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3) ．由f (x )是定义在 R 上的奇函数，且满足 f ( x － 4) ＝－ f ( x ) ，得f (11) ＝f (3)＝－f (－1) ＝f (1) ．∵ f ( x )在区间 [0,2] 上是增函数， f (x )在 R 上是奇函数， ∴ f ( x )在区间 [ － 2,2] 上是增函数，∴ f ( －1)< f (0)< f (1) ，即 f ( －25)< f (80)< f (11) ． 答案： D2x ＋ sin x 【典例】 [解析] 易知 f ( x ) ＝1＋2x ＋2sin x.则 g (x ) 是奇函数．∵ f ( x )的最大值为 M ，最小值为 m ， ∴ g ( x )的最大值为 M －1，最小值为 m －1， ∴ M － 1＋ m － 1＝0，∴ M＋m ＝ 2.[ 答案 ] 2解析：由 f ( x ) ＝x 5＋ax 3＋ bx －8知 f (x )＋8＝x 5＋ax 3＋bx ， 令 F (x )＝f (x )＋8 可知 F ( x )为奇函数，x ＋ 1∵ f (1)<1 ，f (5)＝2a －3，a ＋1，设 g (x )＝f (x )－1＝ 2x ＋ sin2x2＋1∴F( －x) ＋F( x) ＝0.∴F(－2)＋F(2)＝0，故 f ( －2) ＋8＋ f (2) ＋8＝0.∴f(2) ＝－26.答案：A1. 解析： f ( x)在R上为奇函数 f (0) ＝0；f (0) ＝0/ f(x)在R上为奇函数，如 f(x)＝x2，故选 A.答案：A1－ x 1 ＋ x 1 － x2. 解析：由题意知， f(x)－1＝－x＋log2 ，f(－x)－1＝x＋log2 ＝ x－log 21＋ x 1 － x 1 ＋ x1 1 1 1 ＝－(f(x)－1)，所以f(x)－1为奇函数，则f 2－1＋f －2－1＝0，所以f 2＋f －2＝ 2.答案：A5 1 1 1 23. 解析：因为 f(x)是周期为3的周期函数，所以 f 2＝f －2＋3＝f －2＝4× －22 －2＝－1，故选 D.答案：D4. 解析：由 f ( x＋3) ＝ f ( x)得函数的周期为3，所以 f(2 015) ＝f ( 672×3－1)＝f(－1) ＝－ f(1) ＝－2，故选 A.答案：A5. 解析：∵奇函数 f ( x)在(0 ，＋∞ )上是增函数， f(－x)＝－f(x)，x[ f(x)－f(－x)]<0 ，∴xf (x)<0 ，又 f (1) ＝0，∴f( －1)＝0，从而有函数 f(x) 的图象如图所示：则有不等式 x[ f(x)－f (－x)]<0 的解集为{ x| －1<x<0或0<x<1} ，选 D.答案：D6. 解析：由 f(x＋3)＝f(x)得函数 f(x)的周期 T＝3，则 f(2 017) ＝f(1) ＝f(－2)，又f ( x)是定义在R上的偶函数，所以 f(2 017) ＝f(2) ＝1.答案：17. 解析：由题意知， g(x)＝( x＋1)( x＋ a)为偶函数，∴ a＝－1.答案：－18. 解析：由 f(x＋2)＝－f(x)得 f(x＋4) ＝f ( x) ，即函数 f ( x)是周期为 4 的函数，由③ 知f ( x)在[1,3] 上是减函数．所以 f(2 015) ＝f (3) ，f(2 016) ＝f (0) ＝f (2) ，f (2 017) ＝f (1) ，所以 f(1)> f(2)> f(3) ，即 f(2 017)> f(2 016)> f(2 015) ．答案： f (2 017)> f (2 016)> f (2 015)9．解：(1) 设 x<0，则－ x>0，＝0，622所以 f ( － x ) ＝－ ( － x ) ＋ 2( － x ) ＝－ x － 2x . 又 f ( x )为奇函数，所以 f (－x )＝－f (x )， 22于是 x <0时， f (x ) ＝ x 2＋ 2x ＝ x 2＋ mx ，所以 m ＝2.(2) 要使 f (x )在[－1，a －2] 上单调递增，a － 2>－ 1，结合 f (x )的图象知a －2≤1，所以 1<a ≤3，故实数 a 的取值范围是 (1,3] ． 10.解：∵ y＝ f ( x )是奇函数，∴ f (－1)＝－f (1) ＝0. 又∵y＝f (x ) 在(0 ，＋∞ )上是增函数， ∴y＝f (x )在(－∞， 0)上是增函数，即 0<x x －2II <1，解得 21<x <1＋4 17或 1－4 171∴ x x －2 <－1，解得 x ∈.∴原不等式的解集是II 解析：由题意可知 f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，对于选项 A ，f (－x )·g (－x ) ＝－f (x )·g (x )，所以 f ( x ) g ( x )是奇函数，故 A 项错误；对于选项 B ，| f (－x )| g (－x )＝| －f (x )| g ( x ) ＝| f ( x )| g ( x ) ，所以| f ( x )| g ( x )是偶函数，故B 项错误；对于选项 C ，f ( －x )| g (－ x )| ＝－ f( x )| g (x )| ，所以 f (x )| g (x )| 是奇函数， 故C 项正确；对于选项 D ，| f ( － x ) g ( －x )| ＝| －f (x )g (x )| ＝|f (x )g (x )| ，所以 |f (x )g (x )| 是偶函数，故 D 项错误，选 C.答案： C2.解析：∵ f (x ＋2π)＝f (x ＋π ) ＋ sin( x ＋π )＝f (x )＋sin x －sin x ＝f ( x ) ，∴ f ( x ) 的周期 T＝2π，又∵当 0≤ x <π 时， f (x ) ＝0，∴ f1若f xx －2 <0＝ f (1) ，1x x － 2 >0， 1x x － 2 <1，<x <0.f x x －12 <0＝f (－1) ，1x x － 2 <0， 1x x －2 <－ 1.1 x 2<x <1＋417或1－4 17<x <0445π答案： A3. 解析：选项 A 中的函数是偶函数； 选项 B 中的函数是奇函数；选项 C 为偶函数， 只有选项 D 中的函数既不是奇函数也不是偶函数．答案： D4.解析：由 f (x )＝2|x －m|－1是偶函数得 m ＝0，则 f (x )＝2|x|－1，当 x ∈[0 ，＋∞ )时，f (x ) ＝2x－1 递增，又 a ＝f ＝f (||) ＝ f (log 23) ， c ＝ f (0) ，且 0<log 23<log 25，则 f (0)< f (log 23)<f (log 25)，即 c <a <b .答案： C5. 解析：由题意可得，函数 f ( x )的定义域为 ( － 1,1) ，且f ( x ) ＝ ln 11－＋x x＝ln 1－3x －1 ，1－x 1－ x3易知 y ＝－1 在(0,1) 上为增函数，故 f ( x ) 在(0,1) 上为增函数，又 f ( －x ) ＝ln(1 －x )1－x－ln(1 ＋x )＝－f (x )，故 f ( x )为奇函数，选 A.答案： A即f－6 ＋sin＝0，∴fπ16 ＝2，∴f 23π 6π4π－＝ f6π6＝12.故选 A.62。