T
T
则功率谱密度定义为
| X T ( f ) |2 Pxx ( f ) lim E T 2T 对于零均值的平稳随机信号而言，存在
Pxx ( f ) Rxx ( )e j 2 f d


Rxx ( ) Pxx ( f )e j 2 f d
2

随机信号x(t)的方差表达式为： 1 T 2 2 x E[( x x ) ] lim [ x(t ) x ]2 dt T T 0 方差是信号幅值相对于均值分散程度的一种表示， 也是信号纯波动（交流）分量大小的反映。
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离散随机信号的数字特征
若x(n)是离散的各态历经的平稳随机信号序列。类 似连续随机信号，其数字特征可由下面式子来表示： 均值 1 n x E[ x(n)] x(i) n i 1
25
40
第一节 估计子的性能
Performance of estimator
26
1、估计的基本概念

最简单的情况：
根据观测值(随机信号N个样本值x(1)，x(2)，…， x(N))估计出信号的一些统计特征量，如信号的均
值、方差、均方和相关函数等
1 N x x(i) N i 1 1 N 2 1 2 E[ x 2 (n)] x (i) x N i 1 N
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单个平稳随机信号的二阶统计量
Rxx ( ) E{x(t ) x* (t )}
Cxx ( ) E{[ x(t ) x ][ x(t ) x ] } Rxx ( ) x
* 2
对于数字信号x(n)，怎样估计自相关函数？
(1)按照自相关函数定义来估计
ˆ Rxx (m) E{x(n) x(n m)} 1 n x(i) x(i m) n m n n i 1
缺点：运算量大，速度慢
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功率谱密度

定义：考虑在一有限时间段取值的随机过程x(t) ， -T<t<T。计算其Fourier变换
X T ( f ) [ x(t ) x ]e j 2 ft dt

均方值
1 n 2 E[ x 2 (n)] x (i ) n i 1 1 n E[( x(n) x ) ] ( x(i) x ) 2 n i 1
2 x 2

方差
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【例1】计算以长度N=100000的正态分布高斯随机 信号的均值、均方值、均方根值、方差和均方差





N=100000; %数据个数 randn('state',0); %设置产生随机数的状态 y=randn(1,N); %产生一个随机序列 disp('平均值:'); yMean=mean(y) %计算随机序列的均值 disp('均方值:'); y2p=y*y'/N %计算其均方值,这里利用了矩阵相乘的算法 disp('均方根:'); ysq=sqrt(y2p) %计算其均方根值 disp('标准差:'); ystd=std(y,1) %计算标准差 disp('方差:'); yd=ystd.*ystd
c=xcorr(x,maxlags)
12

【例2】求带有白噪声干扰的频率为10HZ的正弦 信号和白噪声信号的自相关函数并进行比较。






clf; N=1000; Fs=500; %数据长度和采样频率 n=0:N-1;t=n/Fs; %时间序列 Lag=100; %延迟样点数 randn('state',0); %设置产生随机数的初始状态 x=sin(2*pi*10*t)+0.6*randn(1,length(t)); %原始信号 [c, lags] = xcorr (x, Lag, 'unbiased'); %对原始信号进行无偏 自相关估计 subplot(2,2,1),plot(t,x); %绘原始信号x xlabel('时间/s');ylabel('x(t)');title('带噪声周期信号');grid on; subplot(2,2,2);plot(lags/Fs, c); %绘x信号自相关,lags/Fs为时 间序列 xlabel('时间/s');ylabel('Rx(t)'); title('带噪声周期信号的自相关');grid on;
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模板互相关法

两点注意 (1)模板的构造 在这种QRS检测方法中，构造模板有两种方法： a.分段函数法； b.典型信号法； 并将信号模板以数据形式存储起来。
20
模板互相关法
(2)对准的问题
求一个信号与另一个信号相关，要求这两个信号互
相对准。有两种方法：
a.利用每个信号上的基准点将模板和输入信号对准，
根据观测值从多种假设中选择出最合适的一种(假
设检验) 从含噪声的观测值中判断某种信号是否存在(估计)

参数估计:
假设数据服从一已知结构的概率模型，但模型某 些参数未知；从观测值中估计出信号的参数，如信 号的幅度、频率和相位等

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随机信号处理的大部分内容侧重于参数化的
理论与方法：现代谱估计本质上是参数化谱 估计、自适应滤波器介绍的是时域或空域滤 波器参数的自适应更新；等等
Cxy ( ) Cxx (0)C yy (0)
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两个平稳随机信号的统计关系
统计独立 统计不相关

f X ,Y ( x, y) f X ( x) fY ( y)
xy ( ) 0,
Cxy ( ) E{[ x(t) x ][ y(t ) y ]*} 0,
严格平稳：概率密度函数与时间无关的随机
信号x(t)称为严格平稳随机信号
广义平稳：
(1)其均值为常数，即E{x(t)}=μx(常数)
(2)其二阶矩有界，即
E{x(t) x*(t)}=E{|x(t)|2}<∞
(3)其协方差函数与时间无关，仅与时间间隔
有关即 Cxx(τ)=E{[x(t)- μx][x(t- τ)- μx]*}
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模板互相关法

基本思路
如果两个信号波形形状相互匹配，就称这些信
号是相关的。互相关系数可确定两个或更多信号形
状间匹配的程度。
相关系数的值总是位于0和1之间。1值表明信号 与模板准确匹配。这个系数值确定了研究中的两信 号形状的匹配程度，而实际信号的幅值对相关函数 来说是无关紧要的．这种形状匹配，或QRS复波的 识别过程，与识别信号的自然途径是一致的．
3
遍历性
平稳随机过程的概率分布不随时间的平移而
变化，全体随机变量集合的平均就可以用无 穷时间的平均来代替，这就是各态遍历假设。
4
随机信号的数字特征

若连续平稳随机信号x(t)是各态遍历的，则随机信号 x(t)均值可表示为： 1 T Ex(t ) x lim x(t )dt 0 T T
参数估计的基本理论
复习上次课的内容


随机信号和确定信号

是两类性质完全不同的信号，对它们的描述、分 析和处理方法也不相同。

随机信号是一种不能用确定数学关系式来描述的， 无法预测未来某时刻精确值的信号，随机信号在
任何时间的取值都是不能先验确定的随机变量

随机信号可用概率分布特性统计地描述。
2
平稳随机信号
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MATALB函数XCORR

MATLAB信号处理工具箱提供了计算随机信号相关 函数xcorr。

函数xcorr用于计算随机序列自相关和互相关函数。 调用格式为：
[c,lags]=xcorr(x,y[,maxlags,’option’])

式中，x,y为两个独立的随机信号序列，长度均为N； c为x,y的互相关估计;lags为相关估计c的序号向量， 其范围为[-maxlags:maxlags]。 该函数也可用于求一个随机信号序列x(n)的自相关 函数，调用格式为：

维纳-辛钦定理 (Wiener-Khinchine)
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估计自相关函数的第二个方法： 功率谱密度反变换

(1)求数字信号x(n)的FFT
(2)估计功率谱密度
X(ω)=FFT{x(n)}

| X ( ) |2 Pxx ( ) lim E N N

(3)估计自相关函数 Rxx(m) = FFT-1{Pxx(ω)}
均值描述了随机信号的静态（直流）分量，它不随 时间而变化。 随机信号x(t)的均方值表达式为： 1 T 2 2 2 x E{x (t )} lim x (t )dt T T 0 均方值 表示了信号的强度或功率。
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随机信号的数字特征

随机信号x(t)的均方根值表示为：
1 T 2 x E[ x (t )] lim x (t )dt T T 0 也是信号能量或强度的一种描述。
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两个平稳随机信号的二阶统计量

互相关函数
Rxy (t1 , t2 ) E{x(t1 ) y* (t2 )}
def
def
Cxy (t1 , t2 ) E{[ x(t1 ) x ][ y(t 2 ) y ]*} 互协方差函数

互相关系数
xy ( )
功率谱密度与系统传递函数的模平方之乘积。
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内容与要求
了解：参数估计的意义和作用 理解：