3.1 曲线拟合的线性最小二乘法及其MATLAB 程序例3.1．1 给出一组数据点),(i i y x 列入表3-1中，试用线性最小二乘法求拟合曲线，并估计其误差，作出拟合曲线.表3-1 例3.1.1的一组数据),(y x解 （1）在MATLAB 工作窗口输入程序>> x=[-2.5 -1.7 -1.1 -0.8 0 0.1 1.5 2.7 3.6];y=[-192.9 -85.50 -36.15 -26.52 -9.10 -8.43 -13.12 6.50 68.04];plot(x,y,'r*'),legend('实验数据(xi,yi)')xlabel('x'), ylabel('y'),title('例3.1.1的数据点(xi,yi)的散点图')运行后屏幕显示数据的散点图（略）.（3）编写下列MA TLAB 程序计算)(x f 在),(i i y x 处的函数值，即输入程序>> syms a1 a2 a3 a4x=[-2.5 -1.7 -1.1 -0.8 0 0.1 1.5 2.7 3.6];fi=a1.*x.^3+ a2.*x.^2+ a3.*x+ a4运行后屏幕显示关于a 1,a 2, a 3和a 4的线性方程组fi =[ -125/8*a1+25/4*a2-5/2*a3+a4,-4913/1000*a1+289/100*a2-17/10*a3+a4,-1331/1000*a1+121/100*a2-11/10*a3+a4,-64/125*a1+16/25*a2-4/5*a3+a4,a4, 1/1000*a1+1/100*a2+1/10*a3+a4,27/8*a1+9/4*a2+3/2*a3+a4, 19683/1000*a1+729/100*a2+27/10*a3+a4, 5832/125*a1+324/25*a2+18/5*a3+a4]编写构造误差平方和的MATLAB 程序>> y=[-192.9 -85.50 -36.15 -26.52 -9.10 -8.43 -13.12 6.50 68.04];fi=[-125/8*a1+25/4*a2-5/2*a3+a4,-4913/1000*a1+289/100*a2-17/10*a3+a4,-1331/1000*a1+121/100*a2-11/10*a3+a4,-64/125*a1+16/25*a2-4/5*a3+a4, a4, 1/1000*a1+1/100*a2+1/10*a3+a4,27/8*a1+9/4*a2+3/2*a3+a4,19683/1000*a1+729/100*a2+27/10*a3+a4,5832/125*a1+324/25*a2+18/5*a3+a4];fy=fi-y; fy2=fy.^2; J=sum(fy.^2)运行后屏幕显示误差平方和如下J=(-125/8*a1+25/4*a2-5/2*a3+a4+1929/10)^2+(-4913/1000*a1+289/100*a2-17/10*a3+a4+171/2)^2+(-1331/1000*a1+121/100*a2-11/10*a3+a4+723/20)^2+(-64/125*a1+16/25*a2-4/5*a3+a4+663/25)^2+(a4+91/10)^2+(1/1000*a1+1/100*a2+1/10*a3+a4+843/100)^2+(27/8*a1+9/4*a 2+3/2*a3+a4+328/25)^2+(19683/1000*a1+729/100*a2+27/10*a3+a4-13/2)^2+(5832/125*a1+324/25*a2+18/5*a3+a4-1701/25)^2为求4321,,,a a a a 使J 达到最小，只需利用极值的必要条件0=∂∂ka J )4,3,2,1(=k ，得到关于4321,,,a a a a 的线性方程组，这可以由下面的MA TLAB 程序完成，即输入程序>> syms a1 a2 a3 a4J=(-125/8*a1+25/4*a2-5/2*a3+a4+1929/10)^2+(-4913/1000*a1+289/100*a2-17/10*a3+a4...+171/2)^2+(-1331/1000*a1+121/100*a2-11/10*a3+a4+723/20)^2+(-64/125*a1+16/25*a2-4/5*a3+a4+663/25)^2+(a 4+91/10)^2+(1/1000*a1+1/100*a2+1/10*a3+a4+843/100)^2+(27/8*a1+9/4*a2+3/2*a3+a4+328/25)^2+(19683/1000*a1+729/100*a2+27/10*a3+a4-13/2)^2+(5832/125*a1+324/25*a2+18/5*a3+a4-1701/25)^2;Ja1=diff(J,a1); Ja2=diff(J,a2); Ja3=diff(J,a3); Ja4=diff(J,a4);Ja11=simple(Ja1), Ja21=simple(Ja2), Ja31=simple(Ja3), Ja41=simple(Ja4),运行后屏幕显示J 分别对a 1, a 2 ,a 3 ,a 4的偏导数如下Ja11=56918107/10000*a1+32097579/25000*a2+1377283/2500*a3+23667/250*a4-8442429/625Ja21 =32097579/25000*a1+1377283/2500*a2+23667/250*a3+67*a4+767319/625Ja31 =1377283/2500*a1+23667/250*a2+67*a3+18/5*a4-232638/125Ja41 =23667/250*a1+67*a2+18/5*a3+18*a4+14859/25解线性方程组Ja 11 =0，Ja 21 =0，Ja 31 =0，Ja 41 =0，输入下列程序>>A=[56918107/10000, 32097579/25000, 1377283/2500, 23667/250; 32097579/25000, 1377283/2500, 23667/250, 67; 1377283/2500, 23667/250, 67, 18/5; 23667/250, 67, 18/5, 18];B=[8442429/625, -767319/625, 232638/125, -14859/25];C=B/A, f=poly2sym(C)运行后屏幕显示拟合函数f 及其系数C 如下C = 5.0911 -14.1905 6.4102 -8.2574f=716503695845759/140737488355328*x^3-7988544102557579/562949953421312*x^2+1804307491277693/281474976710656*x-4648521160813215/562949953421312故所求的拟合曲线为8.25746.410214.19055.0911)(23-+-=x x x x f .（4）编写下面的MATLAB 程序估计其误差，并作出拟合曲线和数据的图形.输入程序>> xi=[-2.5 -1.7 -1.1 -0.8 0 0.1 1.5 2.7 3.6];y=[-192.9 -85.50 -36.15 -26.52 -9.10 -8.43 -13.12 6.50 68.04];n=length(xi);f=5.0911.*xi.^3-14.1905.*xi.^2+6.4102.*xi -8.2574;x=-2.5:0.01: 3.6;F=5.0911.*x.^3-14.1905.*x.^2+6.4102.*x -8.2574;fy=abs(f-y); fy2=fy.^2; Ew=max(fy),E1=sum(fy)/n, E2=sqrt((sum(fy2))/n)plot(xi,y,'r*'), hold on, plot(x,F,'b-'), hold offlegend('数据点(xi,yi)','拟合曲线y=f(x)'),xlabel('x'), ylabel('y'),title('例3.1.1的数据点(xi,yi)和拟合曲线y=f(x)的图形')运行后屏幕显示数据),(i i y x 与拟合函数f 的最大误差E w ，平均误差E 1和均方根误差E 2及其数据点),(i i y x 和拟合曲线y =f (x )的图形（略）.Ew = E1 = E2 =3.105 4 0.903 4 1.240 93.2 函数)(x r k 的选取及其MATLAB 程序例3.2.1 给出一组实验数据点),(i i y x 的横坐标向量为x =(-8.5,-8.7,-7.1,-6.8,-5.10,-4.5,-3.6,-3.4,-2.6,-2.5, -2.1,-1.5, -2.7,-3.6)，纵横坐标向量为y =(459.26,52.81,198.27,165.60,59.17,41.66,25.92, 22.37,13.47, 12.87, 11.87,6.69,14.87,24.22)，试用线性最小二乘法求拟合曲线，并估计其误差，作出拟合曲线.解 （1）在MATLAB 工作窗口输入程序>>x=[-8.5,-8.7,-7.1,-6.8,-5.10,-4.5,-3.6,-3.4,-2.6,-2.5,-2.1,-1.5, -2.7,-3.6];y=[459.26,52.81,198.27,165.60,59.17,41.66,25.92,22.37,13.47, 12.87, 11.87,6.69,14.87,24.22];plot(x,y,'r*'),legend('实验数据(xi,yi)')xlabel('x'), ylabel('y'),title('例3.2.1的数据点(xi,yi)的散点图')运行后屏幕显示数据的散点图（略）.（3）编写下列MA TLAB 程序计算)(x f 在),(i i y x 处的函数值，即输入程序>> syms a bx=[-8.5,-8.7,-7.1,-6.8,-5.10,-4.5,-3.6,-3.4,-2.6,-2.5,-2.1,-1.5,-2.7,-3.6]; fi=a.*exp(-b.*x)运行后屏幕显示关于a 和b 的线性方程组fi =[ a*exp(17/2*b), a*exp(87/10*b), a*exp(71/10*b),a*exp(34/5*b), a*exp(51/10*b), a*exp(9/2*b), a*exp(18/5*b), a*exp(17/5*b), a*exp(13/5*b), a*exp(5/2*b), a*exp(21/10*b), a*exp(3/2*b), a*exp(27/10*b), a*exp(18/5*b)]编写构造误差平方和的MATLAB 程序如下>>y=[459.26,52.81,198.27,165.60,59.17,41.66,25.92,22.37,13.47,12.87, 11.87, 6.69,14.87,24.22];fi =[ a*exp(17/2*b), a*exp(87/10*b), a*exp(71/10*b), a*exp(34/5*b), a*exp(51/10*b), a*exp(9/2*b), a*exp(18/5*b), a*exp(17/5*b), a*exp(13/5*b), a*exp(5/2*b), a*exp(21/10*b), a*exp(3/2*b), a*exp(27/10*b), a*exp(18/5*b)];fy=fi-y;fy2=fy.^2;J=sum(fy.^2)运行后屏幕显示误差平方和如下J =(a*exp(17/2*b)-22963/50)^2+(a*exp(87/10*b)-5281/100)^2+(a*exp(71/10*b)-19827/100)^2+(a*exp(34/5*b)-828/5)^2+(a*exp(51/10*b)-5917/100)^2+(a*exp(9/2*b)-2083/50)^2+(a*exp(18/5*b)-648/25)^2+(a*exp(17/5*b)-2237/100)^2+(a*exp(13/5*b)-1347/100)^2+(a*ex p(5/2*b)-1287/100)^2+(a*exp(21/10*b)-1187/100)^2+(a*exp(3/2*b)-669/100)^2+(a*exp(27/10*b)-1487/100)^2+(a*exp(18/5*b)-1211/50)^2为求b a ,使J 达到最小，只需利用极值的必要条件，得到关于b a ,的线性方程组，这可以由下面的MA TLAB 程序完成，即输入程序>> syms a bJ=(a*exp(17/2*b)-22963/50)^2+(a*exp(87/10*b)-5281/100)^2+(a*exp(71/10*b)-19827/100)^2+(a*exp(34/5*b)-828/5)^2+(a*exp(51/10*b)-5917/100)^2+(a*exp(9/2*b)-2083/50)^2+(a*exp(18/5*b)-648/25)^2+(a*exp(17/5*b)-2237/100)^2+(a*exp(13/5*b)-1347/100)^2+(a*exp(5/2*b)-1287/100)^2+(a*exp(21/10*b)-1187/100)^2+(a*exp(3/2*b )-669/100)^2+(a*exp(27/10*b)-1487/100)^2+(a*exp(18/5*b)-1211/50)^2;Ja=diff(J,a); Jb=diff(J,b);Ja1=simple(Ja), Jb1=simple(Jb),运行后屏幕显示J 分别对b a ,的偏导数如下Ja1 =2*a*exp(3*b)+2*a*exp(17*b)+2*a*exp(87/5*b)+2*exp(68/5*b)*a+2*exp(9*b)*a+2*a*exp(34/5*b)-669/50*exp(3/2*b)-1487/50*exp(27/10*b)-2507/25*exp(18/5*b)-22963/25*exp(17/2*b)-5281/50*exp(87/10*b)-19827/50*exp(71/10*b)-2237/50*exp(17/5*b)-1656/5*exp(34/5*b)-1347/50*exp(13/5*b)-5917/50*exp(51/10*b)-1287/50*exp(5/2*b )-2083/25*exp(9/2*b)-1187/50*exp(21/10*b)+4*a*exp(36/5*b)+2*a*e xp(26/5*b)+2*a*exp(71/5*b)+2*a*exp(51/5*b)+2*a*exp(5*b)+2*a*exp (21/5*b)+2*a*exp(27/5*b)Jb1 =1/500*a*(2100*a*exp(21/10*b)^2+8500*a*exp(17/2*b)^2+6800*a*exp(34/5*b)^2-10035*exp(3/2*b)-40149*exp(27/10*b)-180504*exp (18/5*b)-3903710*exp(17/2*b)-459447*exp(87/10*b)-1407717*exp(71/10*b)-76058*exp(17/5*b)-1126080*exp(34/5*b)-35022*exp(13/5*b)-301767*exp(51/10*b)-32175*exp(5/2*b)-187470*exp(9/2*b)-24927*ex p(21/10*b)+7100*a*exp(71/10*b)^2+5100*a*exp(51/10*b)^2+4500*a*e xp(9/2*b)^2+7200*a*exp(18/5*b)^2+3400*a*exp(17/5*b)^2+2600*a*ex p(13/5*b)^2+2500*a*exp(5/2*b)^2+1500*a*exp(3/2*b)^2+2700*a*exp(27/10*b)^2+8700*a*exp(87/10*b)^2)用解二元非线性方程组的牛顿法的MATLAB 程序求解线性方程组J a1 =0，J b1 =0，得a = b=2.811 0 0.581 6故所求的拟合曲线（7.13）为0811.2)(=x f e x 5816.0-.（4）编写下面的MATLAB 程序估计其误差，并做出拟合曲线和数据的图形.输入程序>> xi=[-8.5 -8.7 -7.1 -6.8 -5.10 -4.5 -3.6 -3.4 -2.6 -2.5-2.1 -1.5 -2.7 -3.6];y=[459.26 52.81 198.27 165.60 59.17 41.66 25.92 22.3713.47 12.87 11.87 6.69 14.87 24.22];n=length(xi); f=2.8110.*exp(-0.5816.*xi); x=-9:0.01: -1;F=2.8110.*exp(-0.5816.*x); fy=abs(f-y); fy2=fy.^2;Ew=max(fy),E1=sum(fy)/n, E2=sqrt((sum(fy2))/n), plot(xi,y,'r*'), hold on plot(x,F,'b-'), hold off,legend('数据点(xi,yi)','拟合曲线y=f(x)')xlabel('x'), ylabel('y'),title('例3.2.1的数据点(xi,yi)和拟合曲线y=f(x)的图形')运行后屏幕显示数据),(i i y x 与拟合函数f 的最大误差E w = 390.141 5，平均误差E 1=36.942 2和均方根误差E 2=106.031 7及其数据点),(i i y x 和拟合曲线y =f (x )的图形（略）.3.3 多项式拟合及其MATLAB 程序例3.3.1 给出一组数据点),(i i y x 列入表3–3中，试用线性最小二乘法求拟合曲线，并估计其误差，作出拟合曲线.表3–3 例3.3.1的一组数据),(y x解 （1）首先根据表3–3给出的数据点i i ，用下列MATLAB 程序画出散点图.在MATLAB 工作窗口输入程序>> x=[-2.9 -1.9 -1.1 -0.8 0 0.1 1.5 2.7 3.6];y=[53.94 33.68 20.88 16.92 8.79 8.98 4.17 9.1219.88];plot(x,y,'r*'), legend('数据点(xi,yi)')xlabel('x'), ylabel('y'),title('例3.3.1的数据点(xi,yi)的散点图')运行后屏幕显示数据的散点图（略）.（3）用作线性最小二乘拟合的多项式拟合的MATLAB 程序求待定系数k a )3,2,1(=k .输入程序>> a=polyfit(x,y,2)运行后输出（7.16）式的系数a =2.8302 -7.3721 9.1382故拟合多项式为2138.91372.72830.2)(2+-=x x x f .（4）编写下面的MATLAB 程序估计其误差，并做出拟合曲线和数据的图形.输入程序>> xi=[-2.9 -1.9 -1.1 -0.8 0 0.1 1.5 2.7 3.6];y=[53.94 33.68 20.88 16.92 8.79 8.98 4.17 9.12 19.88];n=length(xi); f=2.8302.*xi.^2-7.3721.*xi+9.1382x=-2.9:0.001:3.6;F=2.8302.*x.^2-7.3721.*x+8.79;fy=abs(f-y); fy2=fy.^2; Ew=max(fy), E1=sum(fy)/n,E2=sqrt((sum(fy2))/n), plot(xi,y,'r*', x,F,'b-'),legend('数据点(xi,yi)','拟合曲线y=f(x)')xlabel('x'), ylabel('y'),title('例3.3.1 的数据点(xi,yi)和拟合曲线y=f(x)的图形')运行后屏幕显示数据),(i i y x 与拟合函数f 的最大误差E w ，平均误差E1和均方根误差E 2及其数据点(x i ,y i )和拟合曲线y =f (x )的图形（略）.Ew = E1 = E2 =0.745 7, 0.389 2, 0.436 33.4 拟合曲线的线性变换及其MATLAB 程序例3．4.1 给出一组实验数据点),(i i y x 的横坐标向量为x =（7.5 6.8 5.10 4.53.6 3.4 2.6 2.5 2.1 1.5 2.7 3.6），纵横坐标向量为y =（359.26 165.60 59.17 41.66 25.92 22.37 13.47 12.87 11.87 6.69 14.87 24.22），试用线性变换和线性最小二乘法求拟合曲线，并估计其误差，作出拟合曲线.解 （1）首先根据给出的数据点),(i i y x ，用下列MATLAB 程序画出散点图.在MATLAB 工作窗口输入程序>> x=[7.5 6.8 5.10 4.5 3.6 3.4 2.6 2.5 2.1 1.5 2.73.6];y=[359.26 165.60 59.17 41.66 25.92 22.37 13.47 12.87 11.87 6.69 14.87 24.22];plot(x,y,'r*'), legend('数据点(xi,yi)')xlabel('x'), ylabel('y'),title('例3.4.1的数据点(xi,yi)的散点图')运行后屏幕显示数据的散点图（略）.（2）根据数据散点图，取拟合曲线为a y =e bx )0,0(≠>b a ,其中b a ,是待定系数.令b B a A y Y ===,ln ,ln ，则（7.19）化为Bx A Y +=.在MATLAB 工作窗口输入程序>> x=[7.5 6.8 5.10 4.5 3.6 3.4 2.6 2.5 2.1 1.5 2.73.6];y=[359.26 165.60 59.17 41.66 25.92 22.37 13.47 12.87 11.87 6.69 14.87 24.22];Y=log(y); a=polyfit(x,Y,1); B=a(1);A=a(2); b=B,a=exp(A)n=length(x); X=8:-0.01:1; Y=a*exp(b.*X); f=a*exp(b.*x);plot(x,y,'r*',X,Y,'b-'), xlabel('x'),ylabel('y')legend('数据点(xi,yi)','拟合曲线y=f(x)')title('例3.4.1 的数据点(xi,yi)和拟合曲线y=f(x)的图形')fy=abs(f-y); fy2=fy.^2; Ew=max(fy), E1=sum(fy)/n,E2=sqrt((sum(fy2))/n)运行后屏幕显示a y =e bx 的系数b =0.624 1，a =2.703 9,数据),(i i y x 与拟合函数f 的最大误差Ew =67.641 9，平均误差E 1=8.677 6和均方根误差E 2=20.711 3及其数据点),(i i y x 和拟合曲线9703.2)(=x f e x 1624.0的图形（略）.3.5 函数逼近及其MATLAB 程序最佳均方逼近的MATLAB 主程序function [yy1,a,WE]=zjjfbj(f,X,Y,xx)m=size(f);n=length(X);m=m(1);b=zeros(m,m); c=zeros(m,1);if n~=length(Y)error('X 和Y 的维数应该相同')endfor j=1:mfor k=1:mb(j,k)=0;for i=1:nb(j,k)=b(j,k)+feval(f(j,:),X(i))*feval(f(k,:),X(i));endendc(j)=0;for i=1:nc(j)=c(j)+feval(f(j,:),X(i))*Y(i);endenda=b\c;WE=0;for i=1:nff=0;for j=1:mff=ff+a(j)*feval(f(j,:),X(i));endWE=WE+(Y(i)-ff)*(Y(i)-ff);endif nargin==3return ;endyy=[];for i=1:ml=[];for j=1:length(xx)l=[l,feval(f(i,:),xx(j))];endyy=[yy l'];endyy=yy*a; yy1=yy'; a=a';WE;例3.5.1 对数据X 和Y , 用函数2,,1x y x y y ===进行逼近，用所得到的逼近函数计算在 6.5=x 处的函数值，并估计误差.其中X =(1 3 4 5 6 7 8 9); Y =(-11 -13 -11 -7 -1 7 17 29).解 在MATLAB 工作窗口输入程序>> X=[ 1 3 4 5 6 7 8 9]; Y=[-11 -13 -11 -7 -1 7 17 29];f=['fun0';'fun1';'fun2']; [yy,a,WE]=zjjfbj(f,X,Y,6.5)运行后屏幕显示如下yy =2.75000000000003a =-7.00000000000010 -4.99999999999995 1.00000000000000WE =7.172323350269439e-027例3.5.2 对数据X 和Y ，用函数2,,1x y x y y ===，x y cos =，=y e x ，x y sin =进行逼近，其中X =（0 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00），Y =（0 0.4794 0.8415 0.9815 0.9126 0.5985 0.1645）.解 在MATLAB 工作窗口输入程序>> X=[ 0 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00];Y=[0 0.4794 0.8415 0.9815 0.9126 0.5985 0.1645];f=['fun0';'fun1';'fun2';'fun3';'fun4';'fun5'];xx=0:0.2:3;[yy,a,WE]=zjjfbj(f,X,Y, xx), plot(X,Y,'ro',xx,yy,'b-')运行后屏幕显示如下（图略）yy = Columns 1 through 7-0.0005 0.2037 0.3939 0.5656 0.7141 0.8348 0.9236Columns 8 through 140.9771 0.9926 0.9691 0.9069 0.8080 0.6766 0.5191Columns 15 through 160.3444 0.1642a = 0.3828 0.4070 -0.3901 0.0765 -0.4598 0.5653 WE = 1.5769e-004即，最佳逼近函数为y=0.3828+0.4070*x-0.3901*x^2+0.0765*exp(x) -0.4598*cos(x) +0.5653*sin(x).。