最小二乘法拟合
Chapter 8
☞ 主要内容 :最小二乘法的线性拟合
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线性拟合的 数据
求常数A,B
求测量量y 的不确定度
8.1 线性拟合的数据
基于N次测量值 x1 , x2 , xN ，如何求得 X 和 的最 佳估算值？
( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) ( x N , y N )
(其中 x为自变量, y为因变 量)

( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) ( x N , y N )
x, y 呈线性关系
即 y A Bx （A, B 都是常数）
如果在测量过程中不存在 实验误差
实际上，误差不可避免


5.5平均值作为最佳估计值的证明 8.1 求测量量y的不确定度
回顾：5.5平均值作为最佳估计值的证明
用N-1代 替 用 x 代替
（best e for ）=
1 N ( xi x) N 1 i 1
(5.45)
的最佳估计值是
x1 , x2 , xN 的标准偏差
把 Pr obA, B ( y1 ,, y N ) 对A, B 求偏导数，令导函数:

Example P185

练习：Quick Check 8.1 P186
当 x 0 时，
y A xy B x
2
N
因此，在一些实验中，我们可以取适当的 点，使得 x 0 来简化计算.
用N-2代 替
用已求得的A, B 来代替
y的最佳估计值是
y1 , y2 , y N 的标准偏差

统计学的自由度： df n k
n ：独立测量次数
k ：限制条件个数（参量个数）



5.5平均值作为最佳估计值的证明 8.3求测量量y的不确定度
用N-2代 替
用已求得的A, B 来代替
y的最佳估计值是
y1 , y2 , y N 的标准偏差

思考：为什么N 用 N 2 代替？
0 N=2时， y 无意义； 0
yi围绕着真值以 的宽度参数服从正态分布，
y
取决于 出现的概率为：A
B
和 的实际 值

因此，N次测量值 ( xi , yi ), ( x N , y N ) 相互独立 ，同 时出现的概率等于每个测量值发生的概率的乘积。
概率要最大
指数要最小

统计学中的自由度.
（best estimate for ）=
xi x N
1 N ( xi x) N 1 i 1
(5.45)
平均值一定，只要有N-1个数确定，第N个 值就确定了，只有N-1个数据可以自由变 化,因此其自由度为：N-1

5.5平均值作为最佳估计值的证明 8.3求测量量y的不确定度
2个问题：
如果
y与 x 线性相关，怎么确定这条线？ 怎么证明 y x是线性相关的？ 和
最小二乘法 原理：误差平方和最小 最大似然原则

5.5平均值作为最佳估计值的证明 8.2 求常数A和B
为了简化讨论，我们假设： x 的偏差可以忽略，只有 y存在偏差； y 所有的偏差都是在同一数量级上； 所有的测量量 yi 都服从正态分布. 真值 yi A Bxi