材料力学中，采用截面法研究杆的内力
1、截面法 (分析计算内力的基本方法)
在需求内力处，将杆件假想地切成两部分， 取其中一部分代替整体，通过建立内力与外力之 间的关系来求解内力的方法。
截开、代替、平衡
例如： 截面法求FN。
F A F
截开：
A F 简图 F
代替： 平衡：
F A
FN
F
X
0
F FN 0
d d1 d
（绝对变形）
P
2、线应变与泊松比 l l l l l
称为纵向线应变（相对变形），显然，伸长 为正号，缩短为负号
d d d d d
称为横向线应变
实验表明，对于同一种材料，存在如下 关系：
称为泊松比，是一个材料常数，可 查相关机械手册。
0.3 5 104 1.5 104
螺栓的横向变形
d d1 1.5104 10.1 1.515103 mm
五、材料在轴向拉压时的力学性能
F 钢杆 F F 铝杆 F
由此可知，杆件的强度不仅与外力和截面尺寸 有关，还与材料的力学性能有关。
1 MPa 1 N / mm2 106 Pa
1Gpa=1KN／mm2=103Mpa=109 Pa 工程上经常采用兆帕（MPa）作单位
2、轴向拉压杆横截面上的应力
实验现象：
P
P
P
P
说明杆内纵向纤维的伸长量是相同的，或者 说横截面上每一点的伸长量是相同的
结论：横截面上只有正应力，无切应力；并且横 截面上的应力是均匀分布的。
材料力学
轴向拉伸与压缩
材料力学简介
# 材料力学的任务 # 材料力学研究的对象 # 杆件变形的基本假设 # 杆件变形的基本形式
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二、基本概念
1、构件：组成机械的零件和结构的元件。
2、变形：外力作用下，物体内各点相对位置的 改变。
弹性变形 塑性变形 外力解除后可以消失的变形 外力解除后不能消失的变形
3、刚度：抵抗弹性变形的能力，以保证在规定的使用条 件下不产生过量的变形。
房梁
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ链条
车床工作台
4、强度：即抵抗破坏的能力，以保证在规定的 使用条件下不致发生破坏。（结实程度）
5、稳定性：即保持其原有平衡状态的能力，以保 证在规定的使用条件下不产生失稳现象。
拐杖
翻斗货车的液压机构中的顶杆
三、材料力学的主要任务： 研究构件在外力作用下的变形、受力和 破坏规律，为合理（安全、经济）设计构件 提供有关强度、刚度和稳定性分析的基本理 论和方法。
P


FN
如果杆的横截面积为：A
FN A
例1 一正中开槽的直杆，承受轴向载荷 =20kN的作用，如图 所示。已知 ， ， 。试求杆内的最大正应力。 解：1、计算轴力 用截面法求得杆中各处的轴力 均为 kN 2、计算最大正应力
由于整个杆件轴力相同，最大正应力发生 在面积较小的横截面上，即开槽部分横截 面上。 开槽部分的截面面积A2为 则杆件内的最大正应力 为
六、杆件变形的基本形式
1、轴向拉伸和压缩
拉伸
变细变长
压缩
变短变粗 拉力与压力都是沿杆的轴线方向
2、剪切和挤压
剪切变形
剪切变形
挤压变形
3、扭转
Me
g
j
Me
4、弯曲
Me Me
组合变形——构件产生两种基本变形或两 种以上基本变形的变形。
轴向拉压概念与实例※ 截面法、轴力与轴力图※ 拉（压）杆横截面上的应力※ 拉（压）杆斜截面上的应力 轴向拉（压）杆的变形分析 拉伸和压缩时材料的力学性能 轴向拉（压）杆的强度计算※ 轴向拉（压）杆的超静定问题简介
FN 1 2 F
F FN2
F
x
0 FN 2 F 2F 0
FN 2 F
3、轴力图
轴力沿横截面位置的分布图称为轴力图。
（1）轴力图中：横坐标x代表横截面位置，纵 坐轴代表轴力大小。 （2）集中外力多于两个时，分段后再用截面法 求轴力，作轴力图。 （3）轴力只与外力有关，截面形状变化不会改 变轴力大小。 （4）坐标原点与轴的左端应对齐。
四、材料力学研究的对象
材料力学主要研究是变形固体 杆件：一个方向的尺寸远大于另两个方向的尺寸 的构件
轴 线
横截面
截面形心
杆件的分类：
等截面杆
变截面杆
板件：一个方向的尺寸远小于另两个方向的尺寸 的构件
中面
中面
板件
壳
（1）连续性假设 即认为组成物体的材料毫无空隙 地充满了物体的整个空间。 （2）均匀性假设 即认为物体内，各处的力学性能 完全相同。 （3）各向同性假设 即认为物体在各个方向具有完 全相同的力学性能。 （4）小变形条件 小变形是指构件的变形量远小于其原始尺寸的变形。 因而在研究构件的平衡和运动时，可忽略变形量， 仍按原始尺寸进行计算。
FN F
2、轴力
轴力：拉压杆的内力，用 FN 表示。 设正法：规定轴力方向与所在截面外法线 方向一致为正，反之为负。（既拉为正， 压为负） FN FN FN>0 FN<0
FN
FN
举例：求杆AB段和BC段的内力
2F 2F A 1 F B 2 C F
1
FN1
x
2
x
F
2F
0 FN1 2F 0
FN 2 1103 N 4 2 12.7 MPa 2 2 A2 10 mm FN 3 2 103 N 4 3 2.8MPa 2 2 A3 30 mm
此题得解 注意：一般力的单位用N，面积单位用 这样可以直接得到
m m2
MPa
3、轴向拉压杆斜截面上的应力



负号表示纵向与横向变形的方向相反
3、胡克（虎克）定律 实验证明，应力在某一极限内时，正应力与其 相应的纵向线应变成正比。 可以表示为：
E
E 体现了材料的性质，称为材料的拉（压）弹
性模量，单位与应力相同，为Mpa或Gpa。
l FN 将 与 A l
设：横截面面积为A 则横截面上正应力为 = 斜截面面积为 A = A
cos
σ=
FN A
F A
斜截面上的全应力为
p = FN = F = F cos = c os A A A = p cos = cos 2
=
p sin
=

2
sin 2
= p cos = cos 2 = p sin = sin 2 2 当α=0°时, 正应力最大，其值为
1、材料在拉伸时的力学性能
低碳钢和铸铁 在工程上使用最广泛，力学性能最典型 低碳钢：塑性材料的典型代表； 灰铸铁：脆性材料的典型代表；
试验设备：万能试验机
试验标准： GB 228－1987 金属材料室温拉伸试验方法
GB／T228.1-2010金属材料室温拉伸试验方法
1）拉伸试件
标准试件： 尺寸符合国标的试件
3）材料的塑形 延伸率：
L1 L0 100 % L0
A 0 A1 100 % A0
断面收缩率：
= 0.02mm = －0.01mm
= －0.0167mm
lCD
杆的总变形量 等于各段变形量之和
l lAB lBC lCD －0.0067mm
计算结果为负，说明杆的总变形为压缩变形。
注意单位：
FN l N mm l mm 2 EA MPa mm
[例5] 已知钢制螺栓内径 d1 = 10.1 m，拧紧后测得在长度 l = 60 mm内的伸长 l = 0.03 mm ；钢材的弹性模量 E = 200 GPa，泊 松比 = 0.3。试求螺栓的预紧力与螺栓的横向变形。
代入到
E
得到胡克定律的另一种表达形式
FN l l EA
例4 图所示阶梯杆，已知横截面面积及弹性模 量，试求整个杆的纵向变形量 lAD 。
AAB ABC 500mm2
ACD 300mm2
E = 200GPa
解：1.内力分析，轴力如图所示
2.变形计算，各段变形如下：
lAB lBC FNABlAB 20 103 100 EAAB 200 103 500 FNBC lBC 10 103 100 EABC 200 103 500 FNCDlCD 10 103 100 EACD 200 103 300
A2 (h h0 )b (25 10) 20 mm2= 300 mm2
20 10 F N/mm2=－66.7MPa max = N =－ A 300
3
负号表示最大应力为压应力。
例2、做轴力图并求各个截面应力（1、2、3截面 外径为20mm、10mm、30mm。）
FN 1 5 103 N 4 1 15.9MPa 2 2 A1 20 mm
称比例极限
称弹性极限
（2）屈服阶段（BC段）
C点—
s （屈服极限）
屈服点——表示材料在屈 服阶段内最小的应力值

应力——应变曲线图
（3）强化阶段（CD段）
D点—
b
称强度极限（抗拉强度）
（4）缩颈阶段（DE段）
缩颈现象： 变形局部化
变形抗力急剧下降，直至 断裂。
s 是衡量塑性材料强度的指标
标距
L
d
标距L：用于测试的等截面部分 长度，试件的工作部分。 圆截面试件标距：L=10d或5d 两端为装夹部分
2）低碳钢在拉伸时的力学性能
拉伸图
为了消除尺寸的影响，材料的力学性能通 常用应力——应变曲线来图表示