数值传热学近代发展及数值方法建环：屈锐2011年10月5日数值传热学的发展史及数值方法一、计算传热学的发展史首先，计算传热学（Numerical Heat Transfer）与计算流体动力学(Computational Fluid Dynamics)之间的关系密切，可以认为，他们的主要研究内容是一致的，因此，计算传热学的发展史很大程度上也就是计算流体动力学的发展史，但他们之间还有不少区别，流体动力学的一个主要研究内容是讨论无粘流动及跨、超音速流动数值计算中的一些特殊问题。

应用计算机和数值方法求解流动及传热问题在全世界范围内逐渐形成规模而且得出有益的结果，大致始于60年代，故从60年代起，可以把数值传热学的发展过程分为3个阶段：1、萌芽初创阶段主要有以下重大事件：（1）交错网格的提出。

初期的数值传热学出现的两大困难之一是，网格设置不当时会得出具有不合理的压力场的解。

1965年美国科学家首先提出了交错网格的思想，有效解决了这一难题，促使了求解NS 方程的原始变量法的发展。

（2）对流项差分迎风格式的再次确认。

初期发展遇到的另一难题是对流项采用中心差分时，对流速较高的情况的计算会得出振荡的解，1966年，科学家撰稿介绍了迎风格式在求解可压缩流体及非稳态层流流动中的作用，使流动与对流换热问题的求解建立在一个健壮的数值方法上发展。

（3）世界上第一本介绍流体及计算传热学的杂志于1966年创刊。

（4）求解抛物型流动的P-S方法出现。

由于受到计算机资源的限制，边界层类型问题的数值计算得到更多的关注，如何把有限个节点数目都充分利用起来成为了一个重要的问题。

（5）1969年Spalding在英国帝国理工学院创建了CHAM，旨在把他们研究组的成果推广应用到工业界。

（6）1972年SIMPLE算法问世。

所谓分离式的求解方法应运而生，这个算法的基本思路是，在流场迭代求解的任何一个层次上，速度场都必须满足质量守恒方程，这一思想被以后的大量数值计算实例证明，是保证流场迭代计算收敛的一个十分重要的原则。

1974年美国学者提出了采用微分方程来生成适体坐标的方法。

由于有限元法对不规则区域有很强的适应性，有限差分法与有限容积法则对复杂区域的适应能力很差，但对于流动问题的数值处理则要比有限元法容易得多。

TTM方法的提出，为有限差分法与有限容积法处理不规则边界问题提出了一条崭新的道路。

2、开始走向工业应用阶段很多应用P-S方程对二维边界层型的迁移现象进行数值求解的程序产生，对以后其他热流科学通用软件的开发具有积极的影响。

（1）国际期刊“Numerical Heat Transfer”创刊，为全世界数值传热学的研究与使用者开辟了一个发表研究成果的国际论坛。

（2）流动传热计算的大型通用软件PHOENICS第一版问世，为工业界计算一些实际应用问题提供了方便。

计算机工业继续不断的迅速发展深入的影响着人们的生活的各个方面，也使工业界产品设计与改进的方法发生了变化。

在热与流动问题的科学应用领域中，人们由传统的依靠实验的方法转而采用实验及计算机数值模拟并举的方法，随着计算机的进一步发展，计算逐步由二维向三维，由规则区域向不规则区域，由正交系向非正交坐标系发展，于是，同位网格的方法出现了，现在也得到了广泛应用。

3、进一步兴旺发达的近期（1）Singhal 撰文指出了促使NHT应用于工程实际应解决的问题。

他分析指出，当时的NHT发展情况已有能力求解多相并存的流动与传热问题，而工业界的应用之所以还不够踊跃，除了数值计算方法及模型有待完善外，软件使用的方便及友好性还不够完善。

（2）前后处理软件的迅速发展。

前处理指的是生成计算网格的技术，后处理，主要是指流场温度场等计算结果的绘图或可视化的手段。

（3）巨型机的发展促使了并行算法及紊流直接数值模拟于大涡模拟的发展。

在NHT中已有的不少数值方法，如多重网格法、网格生成技术等，都用于串行机，它们的并行算法在这一时期得到了很大的发展。

（4）PC即成为NHT研究领域中的一种重要工具是该时期的一个特色。

（5）多个计算传热与流动问题的大型商业通用软件陆续投放市场。

（6）数值计算方法向更高的计算精度、更好的区域适应性及更强的健壮性方向发展。

这一时期在流动与传热数值计算的数值方法发面取得了较大进展，总的来说使数值计算方法向更高的计算精度、更好的区域适应性及更强的方向发展，归纳起来有以下几个方面：1）在网格生成技术方面，同位网方法得到进一步发展，非结构化网格的科学研究开始蓬勃展开；2）在对流项格式研究方面，一批具有有界性的高分辨率格式相继出现；3）在压力与速度耦合关系的处理方法方面，提出了算子分裂算法PISO,SINPLE系列的算法也由不可压缩流体推广到可压流；4）CFD及NHT学术界对于数值计算结果的不确定度分析进一步予以重视，一些国际杂志开始对所采用的对流项格式的精度提出限制性的要求。

二、计算传热学的数值方法在自然界及各个生活领域中，存在着大量的流动及热交换问题，而作为解决这类问题的基础学科——传热学，发挥了其举足轻重的作用，，涉及流动问题的守恒定律的数学表达式，即控制方程的求解，成为了此学科的重点和难点对于少量简单的情形，我们可以获得其精确解，但对于大量具有工程实际意义的流动与换热问题，需要用数值计算的方法求解，故出现了一门新的学科——数值传热学。

随着计算机工业日新月异的发展，在过去的10余年中数值计算方法及其在计算传热学中的应用也得到了飞速的进步，新的数值处理方法不断地问世，原有的方法则得到进一步的充实与完善。

在应用于传热与流动问题数值计算的众多方法中，有限容积法由于其概念简明、实施过程简便、数值特性优良而获得了特别广泛的应用。

根据不同的统计资料，世界上每年发表的计算学的论文中有50％～75％是用有限容积法完成的。

1986年前的国内外关于有限容积法在计算传热学中应用的研究成果，已在Patankar教授的著作《传热与流体流动的数值计算》中得到比较充分的反映，但1986年后国内外在计算传热学中的许多研究成果（如分析差分格式的规正变量图、通用二阶格式、SIMPLE 算法向可压缩流体的推广、同位网格与非结构化网络、数值计算结果误差的估计等等）则仍散见在大量的文献中，而没有一本专著来加以总结与归纳。

从1995年春季起，西安交通大学为博士研究生开出一门《计算传热学的近代进展》的课程，对近10余年中计算传热学的发展有一个比较清晰和详细的了解，以使他们的研究工作能更快地接近并赶上国际先进水平。

数值求解的实质：对控制方程采用数值方法通过计算机予以求解。

特点是把传热学与数值方法相结合。

对于一系列连续物理量的场，用一系列有限个离散点上的值的集合来代替，进而建立离散方程，求解所建立起来的代数方程以获得所求解变量的近似值。

根据区域的离散方式、方程的离散方式及代数方程求解的方法的不同，应用较广泛的数值解法有：有限差分法、有限元法、有限分析法、有限容积法等。

1、有限差分法FDM是数值解法中应用最早、最经典的CFD方法，对简单的集合形状中的流动与传热问题也是一种最容易实施的方法。

特点：对简单几何体较容易实施方法：将求解区域用节点代替，在每个节点上将控制方程中每一个导数用相应的差分表达式来代替，此处，需要用泰勒展式导出，在每个节点上形成一系列代数方程，再进行求解。

缺点：对复杂区域的适应性较差，对数值解的守恒性难以确定。

2、有限容积法FVM是从描写流动与传热问题的守恒型控制方程出发，对它在控制体积上做积分而得到离散的代数方程的方法。

在积分过程中需要对界面上被求函数本身（对流通量）及其一阶导数（扩散通量）的构成作出假设，这就形成了不同的格式。

特点: 将区域划分成一系列控制容积方法：将控制方程对控制容积做积分来导出离散方程，获得离散方程的途径与有限差分法完全不同，是对界面上的被求函数本身及其一阶导数的构成作出假定，从而求解。

优点：离散方程具有守恒特性，离散方程系数的物理意义明确，应用广泛。

3、有限元法FEM是20世纪80年代开始应用的一种数值解法，目前在固体力学分析中占绝对比例，几乎所有固体力学分析软件全部采用有限元法。

特点：将区域划分成一系列元体方法：在元体上取数个点作为节点，再对控制方程作积分来获得离散方程。

需要选定一个形状函数，并用被求变量的值来表示该函数。

控制方程积分之前须乘以一个权函数。

优点：对不规则区域的适应性很好，特别适应于几何及物理条件比较复杂的问题。

缺点：计算的工作量较大，相对于有限容积法，求解较难。

4、有限分析法FAM是80年代初发展起来的一种数值方法，它可以克服在高Re下有限差分法及有限容积法的数值解容易发散或震荡的缺点。

特点：用网格线将区域离散，每一个节点与相邻的4个网格问题组成计算单元，即每一个计算单元由1个内点及8个邻点组成。

方法：计算时认为流速已知，将单元内的被求问题转化成第一类边界条件下的一个定解问题，找出其分析解，再利用此分析解得出该单元上8个邻点上未知值间的代数方程。

缺点：系数无明确的物理意义，对不规则区域的适应性较差。

以上4种方法是比较常用的几种数值分析方法，都必须对整个区域做离散化处理，用分布在整个区域上的有限个节点上函数的近似值来代替连续问题的求解。

方法图形比较：5、其他数值方法（1）边界元法：应用格林公式，通过选择适当的权函数把空间求解域上的偏微分方程转换成为其边界上的积分方程。

通过离散化处理，由积分方程导出边界节点上未知值的代数方程，接触边界上的未知值后就可以利用边界积分方程来获得内部任一点的被求函数之值。

优点：可以使求解问题的空间维数降低一阶，计算量减小，所需计算机的容量大大减小。

缺点：需要已知所求解偏微分方程的格林函数基本解，对非线性微分方程难以得到其基本解。

（2）谱分析法：被求解函数用有限项的级数展开来表示，级数中每一项的系数一确定，函数的近似形式也就完全确定了。

所以，要建立的代数方程是关于这些系数的代数方程，而不是节点上被求函数值的代数方程。

优点：可以获得高精度的解。

缺点：不适宜用来编制通用程序，目前只在比较简单的流动与传热问题中应用的比较成功。

（3）数值积分变换法：即在偏微分方程的分离变量法求解中，一个被求函数表示成了两个特征值问题所规定的特征函数乘积的线性组合。

特征值问题具有分析解，定解问题采用数值解法。

是分析解法与数值解法的混合问题。

优点：计算精度较高，有成熟的数值方法可以采用。

缺点：不容易形成通用程序，对非线性强烈的问题，计算工作量较大。

（4）格子——Boltzmann法：是基于分子运动论的一种模拟流动的数值方法，不再基于连续介质的假设，而把流体看成是许多只有质量而没有体积的微粒所组成，建立概率密度函数，通过统计的方法获得一定的关系，提出至今只有10余年的历史。