J V
7

让 为动量，可得动量守恒方程(以不可压缩流体为例)


让 为能量，可得能量量守恒方程
h hu hv hw (T ) p V Sh t x y z

u uu uv uw p ( u ) t x y z x v vu vv vw p ( v) t x y z y w wu wv ww p ( w) t x y z z
3
M1 M 2 F G r2
计算传热学
第1章 有限体积法(FVM)
Finite Volume Method
asdf Sun Jining 2008 @ BUAA
4
1 有限体积法 流动与传热的控制方程 有限体积方法的基本思想 小结与讨论

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1 有限体积法 流动与传热的控制方程 有限体积方法的基本思想 小结与讨论
t2时刻
每时间步 未知数总数：n+(n-1)+n=3n-1 独立方程总数：n
现在到了决定有限体积法成败关键时刻！
y z x
28
该如何解决未知数个数大于 独立方程总数的难题？
t1时刻
1 有限体积法

有限体积方法的基本思想
将整个求解域划分为n个立方体区域，从t1到t2时刻，每立方体能量守恒方程： ((ρ cT)Pt2-(ρ cT)Pt1)∆x∆y∆z=((λ (әT/әx))e-(λ (әT/әx))w)∆y∆z∆t+SP∆x∆y∆z∆t 体平均量 每时间步n个未知数 面时平均量 每时间步n-1个未知数 体时平均量 每时间步n个未知数
qw
Δy
I· U
qe
Δz
y z Δx
Δ UP =UPt2∆x∆y∆z-UPt1∆x∆y∆z =(UPt2-UPt1)∆x∆y∆z =((ρ cT)Pt2-(ρ cT)Pt1)∆x∆y∆z
x
18
1 有限体积法
λ，c，ρ
各表面传热量(QT) 傅立叶定律：q=-λ (әT/әn) qw=(-λ (әT/әx))w，从t1时刻到t2时刻时间段 内，在yz左侧面(西面w)流向立方体内部的面 时平均热流密度 qe=(λ (әT/әx))e，从t1时刻到t2时刻时间段内， 在yz右侧面(东面e)流向立方体内部的面时平 均热流密度 假设其余4面绝热 QT=qw∆y∆z∆t+qe∆y∆z∆t =(qw+qe)∆y∆z∆t =((-λ (әT/әx))w+(λ (әT/әx))e)∆y∆z∆t =((λ (әT/әx))e-(λ (әT/әx))w)∆y∆z∆t
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qw
Δy
I· U
qe
Δz
y z Δx
x
1 有限体积法
λ，c，ρ
热源产生的热量(ST) SP，从t1时刻到t2时刻时间段内，立方体空间 内发热电阻的体时平均发热功率 ST=SP∆x∆y∆z∆t
qw
Δy
I· U
qe
Δz
y z Δx
x
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1 有限体积法
λ，c，ρ
在一定时间内， 立方体内的内能增加量(Δ UP) ＝各表面传热量(QT)＋热源产生的热量(ST) 即Δ UP=QT+ST
(
V V ) ( ) S t
10

在任意有限大小的容积V对能量方程积分
T ( V T ) dV ( T )dV ST dV t C p V V V

T ( V T ) ndS ( T ) ndS ST dV t C p V V V
t2时刻
t1时刻 y z x
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1 有限体积法

有限体积方法的基本思想
将整个求解域划分为n个立方体区域，从t1到t2时刻，每立方体能量守恒方程： ((ρ cT)Pt2-(ρ cT)Pt1)∆x∆y∆z=((λ (әT/әx))e-(λ (әT/әx))w)∆y∆z∆t+SP∆x∆y∆z∆t 体平均量 每时间步n个未知数 面时平均量 每时间步n-1个未知数 体时平均量 每时间步n个未知数
t1时刻 y z x
1 有限体积法

有限体积方法的基本思想
将整个求解域划分为n个立方体区域，从t1到t2时刻，每立方体能量守恒方程： ((ρ cT)Pt2-(ρ cT)Pt1)∆x∆y∆z=((λ (әT/әx))e-(λ (әT/әx))w)∆y∆z∆t+SP∆x∆y∆z∆t 体平均量 每时间步n个未知数 面时平均量 每时间步n-1个未知数 体时平均量 每时间步n个未知数

该体积内单位时间内能量的增加，等于通过该容积的表面由于流 体的流动而进入该容积的能量，由于传导进入该容积的能量以及 内热源的生成热
11

初始条件与边界条件
固体边界
速度：无滑移无穿透边界条件 u// 0, u 0 压力:边界层内法向梯度为0

p / n 0 温度：等温壁与绝热壁 等温壁 T T0 绝热壁 T / n 0
t2时刻
每时间步 未知数总数：n+(n-1)+n=3n-1 独立方程总数：n
以几何中心点的值为核心量： 每时间步 立方体几何中心点的温度值Tp，密度ρ p， 导热系数λ p，源项SP n个未知数 n个体平均量、n-1个面时平均量、n个体时 平均量均通过中心点的量Tp，ρ p，λ p，SP 插值获得
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1
1 有限体积法

从万有引力定律开始
M1 M 2 F G 2 r
2
1 有限体积法

从万有引力定律开始
该式描述了两个可以看作质点的物体之间的万有引 力。 如果质点的前提不存在，即物体自身尺寸和物体之 间的距离相当，如何计算它们之间的万有引力呢？ 切土豆 －>土豆块（质点） －>A土豆质点与B土豆质点间的力 －>A土豆质点受到的合力 －>A土豆受到的合力 （即A、B土豆间的万有引力） 数值计算的基本思想： 复杂的研究对象 －>若干个子对象 －>将基本物理定律应用到子对象 －>获得物理现象细节 －>总的参数

通过面积dxdy，控制微元流出的净流量
(J z / z)dxdydz


让 为密度，可得连续方程

单位体积流出的净流量 J x / x J y / y J z / z J
单位时间内控制微元中流体质量的增加=同一时间间隔内流入该控制微元的净质量
u v w 0 t x y z
t2时刻
t1时刻 y z x
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1 有限体积法

有限体积方法的基本思想
将整个求解域划分为n个立方体区域，从t1到t2时刻，每立方体能量守恒方程： ((ρ cT)Pt2-(ρ cT)Pt1)∆x∆y∆z=((λ (әT/әx))e-(λ (әT/әx))w)∆y∆z∆t+SP∆x∆y∆z∆t 体平均量 每时间步n个未知数 面时平均量 每时间步n-1个未知数 体时平均量
控制方程通用形式
( V ) ( ) S t
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控制方程的守恒型与非守恒型
守恒型方程
( V ) ( ) S t
非守恒型方程
( V ) t ( (V )) ( ( V )) t t ( (V )) t ( V V ) t
t2时刻
t1时刻 y z x
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1 有限体积法

有限体积方法的基本思想
将整个求解域划分为n个立方体区域，从t1到t2时刻，每立方体能量守恒方程： ((ρ cT)Pt2-(ρ cT)Pt1)∆x∆y∆z=((λ (әT/әx))e-(λ (әT/әx))w)∆y∆z∆t+SP∆x∆y∆z∆t 体平均量 每时间步n个未知数 面时平均量 每时间步n-1个未知数 体时平均量 每时间步n个未知数

密度:边界层内法向梯度为0 / n 0
其他边界
对称 远场 进口/出口……

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1 有限体积法 流动与传热的控制方程 有限体积方法的基本思想 小结与讨论

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1 有限体积法

能量守恒方程为例
λ，c，ρ TL I· U
y
z x
TR
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1 有限体积法
λ，c，ρ

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流动与传热的控制方程

J为因变量 的流量密度，或称通量，其三个方向分量为Jx, Jy, Jz

通过面积dydz，控制微元流出的净流量
( J x (J x / x)dx)dydz J x dydz (J x / x)dxdydz

通过面积dxdz，控制微元流出的净流量
(J y / y)dxdydz
控制微元内流体动量的增加率=作用在微元体上的各种力之和
理想流体和固体，h C pT ,将耗散函数归纳到源项中(ST Sh )
T ( VT ) ( T ) ST t Cp 补充状态方程(理想气体) p RT
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湍流输运方程(k方程)
k ( Vk ) ( k k ) Pk t
上节回顾

上节回顾
“计算传热学”中的“计算”指的是“数值计算”，
又叫“数值仿真”、“数值模拟”，是一种将物理方 程转化为代数方程组并利用计算机求解代数方程组的 计算机技术（有限体积法、有限元法、有限差分法） “数值计算”用代数方程组有限位数迭代解近似物理 解 “计算传热学”是利用数值计算的方法研究热传递规 律的科学 计算传热学的发展简史 计算传热学主要物理方程为能量守恒方程 计算传热学主要变量为温度和焓