则满足欧拉公式 v – e + r = 2 即：6-9+r=2，解得r=5
又因为任取K3,3中三个结点，至少有两个点不邻接， 所以不能组成一个面，即K3,3中任何 一个面至少由四条边围成，即：所有面 的次数之和deg(r) >=4r=20 又由定理1知：deg(r)=2|E|=18 即18>=20矛盾不。论怎所么以画，K总3,有3不交是叉点平面图。
❖ 平面图基本性质
设G是一个有v个结点e条边的连通简单平面图，若v3, 则：e<=3v-6。等价于: 若不满足e<=3v-6，则G不是连通平面图。
例题：证明k5图不是平面图。
K5图中,v=5,e=10,10 3*v-6=35-6=9
但定理的条件只是必要条件。
如K3,3中v= 6,e =9, e<3v-6=12 满足条件，但K3,3不是平面图。
离散数学
❖ 图论
1 图的基本概念 2 路与回路 3 图的矩阵表示 4 欧拉图与汉密尔顿图 5 平面图 6 对偶图与着色 7 树与生成树
❖ 平面图基本概念
定义1：设G=<V,E>是一个无向图，如果能把G的所有结点和
边画在平面上，且使得任何两条边除了端点外没有其他的交点， 就称G是一个平面图。
(1)
G为k条边，再添加一条边，只有下述两种情况：
面数不变 点树加1 边数加1
点数不变 面数加1 边数加1
(Vk+1)-(ek+1)+rk=2成立
(Vk)-(ek+1)+(rk+1)=2成立
通过上述归纳法证明欧拉公式v-e+r=2成立。
❖ 平面图基本性质
例1：证明K3,3不是平面图
证：假设K3,3是平面图，
K5为非平面图
定义3：给定两个图G1和G2,如果 • 它们是同构的， • 或者通过反复插入或删除度数为2的结点后，它们是同构的， 则称G1,G2在2度结点内是同构的。
G
插入度数为2的结点
G’
删除度数为2的结点
G
G”
G中插入/删除度数为2的点后所得图G’ 与 G” 与 G具有 同样的平面性
定理4：一个图是平面图，当且仅当它不包含与
一个无限面。
例如：右图每个面的次数为：
C r4
r5
Deg(r1)=3 Deg(r2)=3 Deg(r3)=5 Deg(r4)=4 Deg(r5)=3
A e1 B r2
E
F r1 e2 r3
e3
D
4
❖ 平面图基本性质
定理1：一个有限平面图，面的次数之和等于边数的2倍，
即：deg(r)=2|E| 证明：eE,e只能以下面两种情况存在：
❖ 对偶图与着色
图形着色问题是与平面图密切相关的图论的应用问 题，该问题最早起源于地图的着色：
一个地图中相邻国家着以不同颜色，那么最小需要多 少种颜色？（四色问题）
为了叙述图形的着色的 有关定理，下面先介绍 对偶图的概念，然后再学习 图的着色。
18
❖ 对偶图与着色
定义1：给定平面图G=<V,E>,它具有面F1,F2,…Fn。
K33或K5在2度结点内同构的子图。
a
d
e
b
c
f
K5
a
bcdFra bibliotekef
K33
例题：
判断下图是否是平面图？
删除度数为2 的结点
G
同构 K33
G包含一个子图G就是它本身，删除1个2度结点后，与K33同构， 所以，G包含一个与K33 在2度结点内同构的子图G。 所以G不是平面图。
❖ 平面图基本性质
例4：证明彼得森图是非平面图
❖ 平面图基本性质 小结：判定给定图是否平面图
• 是否满足e<=3v-6(v>=3)，若不满足，则不是平面图； • 若满足e<=3v-6，有可能是，也可能不是平面图（K33），再判断是否有2度顶点内同构于K3
或K5的子图。 若有则是非平面图，否则是平面图。
16
❖ 图论
1 图的基本概念 2 路与回路 3 图的矩阵表示 4 欧拉图与汉密尔顿图 5 平面图 6 对偶图与着色 7 树与生成树
若存在图G*=<V*,E*>满足下列条件：
1.对于图G的每一个面Fi,内部有且仅有一个点vi* V*；
2.对于图G的面Fi,Fj的公共边界ek,有且仅有一条边ek*E* 使
ek*=(vi*,vj*),且ek与ek*相交； 3.当且仅当ek只是一个面Fi的
e1*
v1*
边界时，vi*存在一个环ek*和ek 相交。则图G*为G的对偶图。
8
定理3：设G是一个有v个结点e条边的连通简单平面图， 若v3,则：e<=3v-6。
证明：设G的面数为r,当v=3,e=2时，满足e<=3v-6，即2<=3*3-6=3
若v3,e3时，连通简单G中每一个面的次数deg(ri)3
…… G的总次数deg(ri)=2|E|3r,即2e3r,代入欧拉公式 可得：e<=3v-6。
1.e作为两个面的公共边界 2.e作为一个面的边界
以上两种情况中，e都被重复计算两次，所以公式成立。
C
r5
r4
A
B r2
E
r1
r3F
D
5
定理2(欧拉定理)：连通平面图G，共有v个结点e条边和 r个面，则欧拉公式：v-e+r=2成立。
证明：1)若G为平凡图，则v=1,e=0,r=1，v-e+r=2成立。 2)若G为一条边，则具有以下两种情况。
证：（1）反证法
设该图是平面图，由欧拉公式v-e+r=2
得10-15+r=2，解得r=7
h
又在图中任取四点，必有两点不邻接， g
所以每个面至少由5条边包围，
即deg(r)>=5，所以deg(r)>=5r=35
j
又因为deg(r)=2e=30，而30>=35矛盾 i
所以该图不是平面图
d
c fe
b a
14
v=2,e=1,r=1，v-e+r=2
v=1,e=1,r=2，v-e+r=2
3)若G为两条边，则有下述几种情况：
v=3,e=2,r=1,v-e+r=2
v=2,e=2,r=2，v-e+r=2 v=1,e=2,r=3,v-e+r=2
v=2,e=2,r=2 v-e+r=2
4)设G为k条边时公式成立，即vk-ek+rk=2成立，则证明 在G为k+1条边时是否成立：而：
(2)
(3)
非平面图
平面图
平面图
3
❖ 平面图基本概念
定义2
1) 设G是一连通平面图，由图中的边所包围的区域，在区域内既不 包含图的结点，也不包含图的边，这样的区域称为G的一个面， 包围该面的边所构成的回路称为这个面的边界。
2) 面边界的回路长度称作该面的次数，记作deg(r) 。
3) 若面的面积有限称为有限面，否则称为无限面。每个平面图有