i j ij
i 1 j 1
1
T
2 1
2
n
1 2
n1
12
2 2
n2
1n 1 2n 2
2 n
n
多项有风险资产的组合
最优投资组合就是在一定的预期收益率 的前提下使组合的方差最小，形成如下 的二次规划模型：
nn
min 2
i j ij
i 1 j 1
n
s.t i E ri E r
除外。这样我们有 1 1 2 即两种有 风险资产的组合的风险总小于各自风险的简单 相加。这就是markowitz的重要贡献所在。
风险的分散化
我们可以进一步考察这一组合的最小风险。这 时一个求二元函数最小指值的问题，我们有：
min
2 1
2 2
2
2 2
21 2
进一步我们可以由ω的取值计算出对应的组合 的最小风险和相应的预期收益率水平。
r r1 1 r2
收益和风险的权衡
Er Er1 1 Er2
2
2
2 1
1
2 2 2
21 1 2
数学公式：
Z aX bY
`1
EZ aEX bEY
COV X ,Y
X * Y
1
VarZ
a
2
2 X
b2
2 Y
2ab * covX ,Y
收益和风险的权衡
情况1 对于无风险资产来说：其收益率为rf，方
最小方差曲线
E（r）
有效组合边界 最小方差组合
σmin
σ
投资者的选择
E（r）
A
最小方差组合
σmin
σA
σ
有效组合边界
最小方差组合内部的任意一点，都表示n 种资产的某个组合，构成了这n种资产的 可行集。同时，双曲线是向左凸的，其 原因是由于组合可以分散风险。同时n种 资产种任意两种资产组成的组合边界也 一定落在n种资产的可行集中。
只有市场所承认的风险（系统风险）才 能获得风险补偿。
两基金分离定理
在所有有风险资产组合的有效组合边界 上，任意两个分离的点都代表两个分离 的有效投资组合，而有效组合边界上任 意其它的点所代表的有效投资组合，都 可以由这两个分离的点所代表的有效投 资组合生成。
两基金分离定理的金融涵义
如果有两个不同的共同基金，它们都投 资于有风险资产，且经营良好（意味着 都在有效组合边界上），投资者只要将 自己的资金按一定比例投资于这两家基 金，就可以保证该组合一定落在投效组 合边界上，获得与共同基金同样好的效 果。
i 1
ij
i j
而后一项不为0。
1 n2
n i 1
2 i
n2 n2
n
1 n2 n
n i 1
ij
i j
1 n2
n i 1
2 i
n2 n2
n
ij
系统风险与非系统风险
由前一项所对应的是由企业的个别风险 所决定的，对应为非系统风险，后一项 对应系统风险，即整个市场所承受的风 险。通过增加组合中的资产种类，可以 降低非系统风险，但不能消除系统风险。
风险的分散化
考察两项有风险资产的组合 有上面两项资产的方差的表达式和相关
系数的性质得：
2
2
2 1
1
2 2 2
21 1 2
1 1 2 2 2 1 1 22
风险的分散化
当 1时，我们可以适当选择ω使组合得方差 为0，事实上只要令
1 1 2 2 0
就可以解出ω的取值。 由于后文中提到的系统风险的存在， 1 的情况
有效组合边界：上半个双曲线。双曲线 上的每一点都代表一个有效组合。
系统风险与非系统风险
为了进一步分析，我们假定n种有风险资产
在投资组合中的比重相等（1/n），则组合
的方差为：
容易看出当n趋向 于无穷大时， 前
一项将趋向于0，
2
1 n2
n n1
n i1 j1
n
2 i
i 1
1
n
ij
1n n2
包括如何构筑各种有价证券的头寸来满 足投资者的收益与风险的权衡。 在金融市场上不存在一种对所有投资者 来说都是最佳的投资组合。其原因如下：
投资组合的选择
投资者的具体情况不同； 投资周期的影响； 对风险的厌恶程度； 投资组合的种类。
收益和风险的权衡
下面介绍收益与风险的数量化分析方法 假设：把股票、债券和衍生证券统称为
差为0。如果资产2为无风险资产，有：
Er E(r1) 1 rf
rf Er1 rf
1
收益与风险的权衡
从公式可以看出，组合的预期收益率为 无风险利率加上风险补偿，风险补偿的 大小取决于有组合中有风险资产的风险 补偿和其在组合中的比重决定。这时， 组合的预期收益率与组合的均方差构成 函数关系：
有风险资产；投资者都是理性的。 原理：通过分散化的投资来分散部分风
定资产1在组合中的权重（按市值计算 的比重）为ω，资产2的权重为1- ω，E （r1）、 E（r2）；σ12、 σ22 分别是资产 1和资产2的期望收益和收益率的方差。 组合的预期收益率和方差分别为E（r） 和σ2 ，则：
多项有风险资产的组合
定义符号：E（ri）——表示第i种资产的预期 收益率；
时 i，j ——ij表第示i 种方和差第。j种ωi表资示产第的i斜种方资差产；在当组i合=j
中所占的比重 。 共有n种资产。组合的收益与方差同上。 有
多项有风险资产的组合
有 n
E r i E ri
i 1
nn
2
i 1
n
i 1
i 1
多项有风险资产的组合
以上二次规划问题的求解过程可看本章 后的数学附录。其基本原理是多元函数 的拉格朗日乘数法。对于一定水平的组 合期望收益率E（r），可解出最小的σ， 这样所有的（E（r）， σ ）构成了标准 差——预期收益率图。可以证明这是一条 双曲线，我们称其为最小方差曲线。
Er rf Er1 rf
Er rf
Er1 rf
1
收益与风险的权衡
E(r)
rf 0
Er rf
Er1 rf
1
σ
收益与风险的权衡
有效组合：在一定的风险水平下，预期 收益率最大的投资组合或一定预期收益 率的最小方差组合。
上面的组合中，由于可以再加入有风险 资产进行风险分散化，所以不是有效组 合。下面讨论风险的分散化问题。
第四章 两基金分离定理与资本 资产定价模型
本章将介绍投资组合理论和CAPM模型。
金融投资
金融决策
收益
与风险的权衡
投资组合的选择
投资方案由投资者自主选择，但市场的 均衡会导致与个体的收益与风险偏好无 关的结果。
投资组合的选择
Harry Markowitz（1952年） 投资组合的选择（portfolio selection）