1.2
从现实对象到数学模型
我们常见的模型
玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型 地图、电路图、分子结构图… … ~ 符号模型
模型是为了一定目的，对客观事物的一部分 进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物
模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征
你碰到过的数学模型——“航行问题”
甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时， 从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少? 用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：
A=
注：假设图为简单图
v1 v2 v3 v4 0 1 0 1 v1 1 0 1 1 v2 0 1 0 1 v3 1 1 1 0 v4
对有向图Ｇ＝（Ｖ，Ｅ） ，其邻接矩阵A ( a ij ) ，其中：
1 aij 0
若（ vi，v j） E 若（ vi，v j） E
• 求解得到数学解答（x=20, y=5）；
• 回答原问题（船速每小时20千米/小时）。
数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling)
数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
实践
理论
实践
近几年全国大学生数学建模竞赛题
1992 1993 1994 A B A B A B 农作物施肥效果分析 实验数据分解 交调频率设计 足球比赛的排名问题 逢山开路 锁具装箱
1995 1996 1997
A B A B A B
一个飞行管理问题 天车与冶炼炉的作业调度 节水洗衣机问题 最优捕鱼问题 零件的参数设计 最优截断切割问题
对有向图Ｇ，其关联矩阵Ｍ＝ ( mij ) ，其中：
1 mij 1 0
若vi 是e j的起点 若vi 是e j的终点 若vi 与e j 不关联
返回
对无向图Ｇ，其邻接矩阵 A ( a ij ) ，其中：
邻接矩阵
1 aij 0
若vi 与v j 相邻 若vi 与v j 不相邻
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2006
2007 2008
出版社的资源配置 艾滋病疗法的评价及疗效 B 的预测 A 中国人口增长预测 B A B 乘公交，看奥运 数码相机定位
A
2009
高等教育学费标准探讨 制动器试验台的控制方法 A 分析 B 眼科病床的合理安排
储油罐的变位识别与罐容表 A 标定
•测试分析
•二者结合
机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究 (Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析。
数学建模的一般步骤
模型准备 模型检验 模型应用 模型假设 模型分析 模型构成 模型求解
模 型 准 备
了解实际背景
搜集有关信息
明确建模目的
掌握对象特征
形成一个 比较清晰 的‘问题’
v4 v3
v8 v6 v3 v7 v5 v1 v4
无圈连通图
v8 v6
v2
v1
v2
v8 v6 v1
v3
G的生成树(spanning tree): T(V,E’) 是图 G(V,E)的子图,且是一棵树
最小生成树: T(V,E’)是图G(V,E) 所有生成树中权重最小的一棵
8，6
路：
vi1
vi2
vi3 vin-2 vin-1 ……
vin
vij≠vik, j≠k
• 边与顶点均不重复的通路称为路径
Tv1v4 v1e1v2e5v4e6v2e2v3
路径
P v1v4 v1e 1v2e3v3
定义２ （１）任意两点均有路径的图称为连通图． （２）起点与终点重合的路径称为圈． （３）连通而无圈的图称为树．
是不能颠倒的，图中弧的方向用箭头标识
图中既有边又有弧，称为混合图
常用术语： （１）端点相同的边称为环． （２）若一对顶点之间有两条以上的边联结，则这些边称为重边． （３）有边联结的两个顶点称为相邻的顶点，有一个公共端点的边 称为相邻的边． （４）边和它的端点称为互相关联的． （５）既没有环也没有平行边的图，称为简单图． （６）任意两顶点都相邻的简单图，称为完备图，记为 Kn，其中 n 为顶点的数目． ( 7)若 V=X Y，X Y= ，X 中任两顶点不相邻，Y 中任两顶 点不相邻，称 G 为二元图；若 X 中每一顶点皆与 Y 中一切顶点 相邻，称为完备二元图，记为 Km,n，其中 m,n 分别为 X 与 Y 的顶 点数目．
对有向赋权图Ｇ，其邻接矩阵 A ( a ij ) ，其中：
wij aij 0
若(vi , v j ) E , 且wij为其权 若i j 若(vi , v j ) E
无向赋权图的邻接矩阵可类似定义．
v1 v2 v3 v4 0 2 7 v1 A= 2 0 8 3 v2 8 0 5 v 3 7 3 5 0 v 4
D
Fleury算法
图G(V,E)能经过每条边恰好一次回到原点 每 个顶点与偶数条边相关联 图G(V,E)有Euler 从某点出发，经过图上每条边 环游 图G(V,E) 恰好一次回到原点—Euler环游 无奇点
例：中国邮递员问题(CPP-Chinese Postman Problem)
一名邮递员负责投递某个街区的邮件 .如何设计一条最短的 投递路线 (从邮局出发，经过投递区内每条街道 至少一次 ， 最后返回邮局)？由于这一问题是我国学者管梅谷教授1960 年首先提出的，所以国际上称之为中国邮递员问题.
完备图
二元图
完备二元图
返回
顶点的次数
定义 （１）在无向图中，与顶点 v 关联的边的数目（环算两次）称 为 v 的度数，记为 d(v)． （２）在有向图中，从顶点 v 引出的边的数目称为 v 的出度， 记为 d+(v)，从顶点 v 引入的边的数目称为的入度，记为 d-(v)， d(v)=d+(v)+d-(v)称为 v 的次数．
模型应用
数学建模的全过程
现 实 世 界 现实对象的信息 验证 现实对象的解答 表述
(归纳)
数学模型 求解 (演绎)
数 学 世 界
解释
数学模型的解答
表述 求解 解释 验证
根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问 题 选择适当的数学方法求得数学模型的解答 将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象 用现实对象的信息检验得到的解答
1998 1999 2000 2001
A B A B A B A B
投资的收益和风险 灾情巡视路线 自动化车床管理 钻井布局 DNA 序列分类 钢管订购和运输
血管的三维重建 公交车调度
2002 2003 2004 2005
A B A B A B A B
车灯线光源的优化设计 彩票中的数学 SARS 的传播 露天矿生产的车辆安排 奥运会临时超市网点设计 电力市场的输电阻塞管理
d (v4 ) 4
d (v4 ) 2 d (v4 ) 3 d (v4 ) 5
定理１
vV (G )
d (v) 2 (G)
推论１ 任何图中奇次顶点的总数必为偶数．
例 在一次聚会中，认识奇数个人的人数一定是偶数。
返回
定义 设图 G=(V,E, ),G1=(V1,E 1, 1
G
G[{v1,v4,v5}]
G[{e1,e2,e3}]
返回
关联矩阵
对无向图Ｇ，其关联矩阵Ｍ＝( mij ) ，其中：
1 mij 0
若vi 与e j 相关联 若vi 与e j 不关联
注：假设图为简单图
e1 1 M= 1 0 0
e 2 e3 e 4 e 5 0 0 0 1 v1 1 0 1 0 v2 0 1 1 0 v3 1 1 0 1 v4
)
子图
e E1 时， 1 (e)= (e),则称 G1 是 G 的子图． (1) 若 V1 V，E E,且当 1 特别的，若 V1=V，则 G1 称为 G 的生成子图．
(2) 设 V1 V，且 V1 ，以 V1 为顶点集、两个端点都在 V1 中的 图 G 的边为边集的图 G 的子图，称为 G 的由 V1 导出的子图，记为 G[V1]. (3)设 E1 E,且 E1 ,以 E1 为边集,E1 的端点集为顶点集的图 G 的子图, 称为 G 的由 E1 导出的子图,记为 G[E1].
数学建模的具体应用• 分析与 Nhomakorabea计• 预报与决策
•
控制与优化
• 规划与管理
数学建模
如虎添翼
计算机技术
知识经济
1.4 数学建模的方法和步骤
数学建模的基本方法
•机理分析
根据对客观事物特性的认识， 找出反映内部机理的数量规律
将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的 统计分析，找出与数据拟合最好的模型 用机理分析建立模型结构, 用测试分析确定模型参数
数学 建模
建立数学模型的全过程 （包括表述、求解、解释、检验等）
1.3
数学建模的重要意义
• 电子计算机的出现及飞速发展； • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。
数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步， 越来越受到人们的重视。 • 在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地； • 在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具； • 数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。
数学建模的一般步骤
模 型 假 设 针对问题特点和建模目的 作出合理的、简化的假设 在合理与简化之间作出折中 用数学的语言、符号描述问题 发挥想像力 使用类比法
模 型 构 成