∵焦点为 F1(5, 0), F2(5, 0)
∴可设双曲线方程为:
x2 a2
y2 b2
1
(a>0,b>0).
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b2=52－32=16.
所以点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1 ( x ≥ 3) . 9 16
例2.已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B
答:再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处 测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方 程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的 准确位置.这是双曲线的一个重要应用.
* * * * * * 小结 * * * * * *
•
本节课学习了双曲线的定义、图象
和标准方程，要注意使用类比的方法，仿
F1 y
a F1 O c F2 x
定义
||MF1|—|MF2||=2a（2a＜|F1F2|）
图形
M
F1
F2
F2 M
F1
方程
焦点
a.b.c的关 系
x2 a2
y2 b2
1a 0, b 0
F1(-c,0), F2(c,0) c2=a2+b2
ay2焦椭2 点 圆bx位看22 置分1确母a 定大 0：小,b 0
0
x2
y2
1( x 0)
115600 44400
思考 1:若在 A,B 两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆 炸点的轨迹是什么?
答: 爆炸点的轨迹是线段 AB 的垂直平分线.
思考 2:根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的 时间差，可以确定爆炸点在某条曲线上，但不能确定 爆炸点的准确位置. 而现实生活中为了安全，我们最 关心的是炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能确定爆炸 点的准确位置呢?
思考:如果方程 x2 y2 1 表示双 2m m1
曲线，求m的取值范围.
感谢您的聆听！ THANKS FOR YOUR KIND
ATTENTION ！
LOVELL
• 此法为定义法求曲线方程，好处是省去繁 琐的运算。注意使用的步骤（需交代曲线 类型） 。
变式训练 1:已知两定点 F1(5, 0) , F2(5, 0) ,动点 P 满足 PF1 PF2 6 ,求动点 P 的轨迹方程.
解：∵ F1F2 10 >6, PF1 PF2 6
∴ 由双曲线的定义可知， 点 P 的轨迹是双曲线的一支 (右支),
思考：
（2）2a >0 ；
F
1
oF
2
（1）若2a= |F1F2|,则轨迹是？ (1)两条射线
（2）若2a> |F1F2|,则轨迹是？ (2)不表示任何轨迹
（3）若2a=0,则轨迹是？
(3)线段F1F2的垂直平分线
双曲线与椭圆之间的区别与联系：
定义
椭圆
|MF1|+|MF2|=2a (a>c)
双曲线 ||MF1|－|MF2||=2a
地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点
的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点 的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.
如图所示，建立直角坐标系xOy,使A、B两点在x轴上，并
解：∵ F1F2 10 >6, PF1 PF2 6
∴ 由双曲线的定义可知，点 P 的轨迹是一条双曲线,
∵焦点为 F1(5, 0), F2(5, 0)
∴可设所求方程为:
x2 a2
y2 b2
1
(a>0,b>0).
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.
所以点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1 . 9 16
c2 a2 b2
x2 a2
y2 b2
1a 0, b 0
• 想一想
焦点在y轴上的双曲线的图象是什么？ 标准方程怎样求？
焦点在y轴上的双曲线的标准方程
y2 a2
x2 b2
1a
0,b 0
c2 a2 b2
观察图形 找出图形中a,b,c所表示的几何意义
F2
x c2 y2 x c2 y2 2a
y x c2 2 2a x c2 y2 2
与椭圆标
cx a2 a x c2 y2
准方程推 导过程比
较
c2 a2 x2 a2 y2 a2 c2 a2
F双1(0曲,-c线), 看F2x(20、,cy) 2 的系数正负
焦点位置的 看x2,y2项系数的正负,哪项系数为正,焦点就在哪一条轴上 判定
注:任何一条双曲线,只需选择适当的坐标系,其方程均可写成标准形式,当且仅
当双曲线的焦点在坐标轴上,且两焦点的中点是原点时,其方程才具有标准形式
例 1 已 知 两 定 点 F1(5, 0) , F2(5, 0) , 动 点 P 满 足 PF1 PF2 6 , 求动点 P 的轨迹方程.
照椭圆的定义、图象和标准方程的探究思来自路来处理双曲线的类似问题。
双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
| |MF1| - |MF2| | = 2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
M
说明
（1）2a< |F1F2| ；
（0<a<c)
x2 y2 a2 b2 1
y2 a2
x2 b2
1
x2 a2
y2 = 1 b2
y2 x2 a2 - b2 = 1
F（±c，0） F（0，±c）
焦点
a>b>0，a2=b2+c2
a、b、c 的关系
F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一
定大于b，c2=a2+b2
• 作业布置：《导与练》相应练习
且点O与线段AB的中点重合
设爆炸点P的坐标为(x,y)，
y
P
则 PA PB 340 2 680 即 2a=680，a=340 AB 800
Ao Bx
2c 800,c 400, b2 c2 a2 44400
800 PA PB 680 0 , x 因此炮弹爆炸点的轨迹方程为
