题目 032已知受控对象模型为)8)(2)(1(16)(0+++=s s s s s G ，设计一个超前滞后校正器，使得校正后系统期望的剪切频率ωc =50rad/s 和相位裕量γ≥45°.修正期望的指标来改进闭环系统的动态性能，并由闭环系统的阶跃响应来验证控制器。

一，用MATLAB 模拟校正前系统 1单位阶跃响应num=16;%降幂排列分子多项式系数den=[1,11,26,16,16]; %降幂排列分母多项式系数 t=0:0.1:30;G3=tf(num,den);Step(G3,t) %阶跃响应图1校正前单位阶跃响应由上图可知上升时间r T =1.53s ，峰值时间sT P 47.1=，调节时间sT =20s ，超调量%σ=46.8%，Ⅰ型系统单位阶跃输入下稳态误差ess=02开环伯德图应用Matlab 绘制出开环系统Bode 图，程序如下： clear num=16;den1=conv([1 0],[1 1]); den2=conv([1 2],[1 8]); den=conv(den1,den2);sys=tf(num,den); %建立原系统的开环传递函数模型 margin(sys)[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(sys) hold运行结果如下： Gm =2.2311 Pm =27.4132 Wcg = 1.2060 Wcp =0.7472图2 校正前系统的开环伯德图由Bode 图可知，增益裕量g K =2.2311>1，相角裕量γ=27.4132>0，原系统稳定。

幅值剪切频率Wcg=1.2060，相位剪切频率Wcp=0.7472。

由Bode 图确定原系统谐振峰值r M 、带宽r ωclear num=16;den1=conv([1 0],[1 1]);den2=conv([1 2],[1 8]);den=conv(den1,den2);sys=tf(num,den);%建立原系统的开环传递函数模型bode(sys);[m,p,w]=bode(sys);mr=max(m)wr=spline(m,w,mr)（2）运行结果如下：mr = 9.9372wr =0.10003应用Matlab绘制出闭环系统Bode图，程序如下：clearnum=16;den1=conv([1 0],[1 1]);den2=conv([1 2],[1 8]);den=conv(den1,den2);sys=tf(num,den); %建立原系统的开环传递函数模型sys=feedback(sys,1); %建立原系统的闭环传递函数模型margin(sys)[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(sys)hold on运行结果如下：Gm = 1.2314Pm = 7.3498Wcg = 1.2061Wcp = 1.13562）原系统闭环Bode图如图3：图3 校正前系统的闭环伯德图4开环根轨迹num=16;den=[1,11,26,16];图5 校正前系统的开环根轨迹应用Matlab绘制出开环系统的奈氏图，程序如下：clearnum=16;den1=conv([1 0],[1 1]);den2=conv([1 2],[1 8]);den=conv(den1,den2);sys=tf(num,den)nyquist(sys)乃氏图如下（图5）校正前系统的乃氏图由nyquist图知道N=0，系统稳定由图5-1可得原系统频域性能指标：由Bode图可知，增益裕量K=2.2311>1，相角裕量γ=27.4132>0，原系统稳定。

幅值剪切频率Wcg=1.2060，g相位剪切频率Wcp=0.7472。

幅值稳定裕度：h=∞dB -π穿越频率：ω=∞rad/s，g=2.69rad/s相角裕量γ=27.4132°剪切频率：ωc可知系统校正前，相角稳定裕度：γ=27.4132°＜45°，剪切频率：ωc =2.69rad/s ＜50 rad/s ，都未满足要求，原系统需要校正。

2）求超前校正装置的传递函数由于相角稳定裕度：γ=27.4132＜45°，剪切频率：ωc =2.69rad/s＜50rad/s ，故要进行超前校正，设超前校正传函为Gc （s ）=11++Ts aTs 取ωc=50rad/s ,则求Gc （s ）及其参数的MATLAB 程序为：2.1) 法1用程序取ωc=50rad/s 时对应的幅值稳定裕度%sh2.mwc=50;L=bode(s1,wc); Lwc=20*log10(L); a=10^(-0.1*Lwc); T=1/(wc*sqrt(a)); Gc=tf([a*T 1],[T 1])运行结果为：Transfer function:5.56 s + 1----------------7.194e-005 s + 12.2)法2直接从图5-1上读出wc=50rad/s对应的幅值稳定裕度为-7.8dB，则求校正传函的程序为：%sh3.mh=-7.8;wc=4.5;a=1/(10^(0.1*h));T=1/(wc*sqrt(a));Gc=tf([a*T 1],[T 1])运行结果为：Transfer function:0.5455 s + 1------------- 0.09053 s + 1可知二者结果近似相等，取法一结果相对准确。

3）检验校正后系统是否满足校正要求 3.1)绘制系统校正后Bode 图及读性能指标。

校正系统wc=4.5rad/s 对应的校正传函为Gc （s ）=109025.015472.0++s s ,则此时的MATLAB 程序为：%sh4.mcleark=9;n1=1;d1=conv([1,0],[1,2]); s1=tf(k*n1,d1);num2=[0.5472 1];den2=[0.09025 1]; s2=tf(num2,den2);sys=s1*s2 figure(2);margin(sys);运行程序后，得校正后的Bode 图如图5-2所示-80-60-40-2002040M a g n i t u d e (d B )10-110101102103P h a s e (d e g )Bode DiagramGm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 69.8 deg (at 4.5 rad/sec)Frequency (rad/sec)图5-2 校正后系统Bode 图由上图可得：幅值稳定裕度：h=∞dB -π穿越频率：ωg =∞rad/s ，相角稳定裕度：γ=69.8° 剪切频率：ωc =4.5rad/s3.2)分析检验比较原系统及设计要求，可知：γ=69.8°大于45°，剪切频率ωc =4.5rad/s 都满足了设计要求。

三.校正装置的设计设计串联滞后环节校正装置的传递函数：）（111)(>++=a Ts aTs s G c ，。

a 称为分度系数，T 称为时间常数。

3.2 串联校正设计过程1）Matlab 程序如下：子程序：function Gc=plsj(G , kc,yPm)G=tf(G);[mag,pha,w]=bode(G*kc);Mag=20*log10(mag);[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(G*kc);phi=(yP m-getfield(Pm, 'Wcg'))*pi/180;alpha=(1+sin(phi))/(1-sin(phi));Mn=-10*log10(alpha);Wcgn=spline(Mag,w,Mn);T=1/(Wcgn*sqrt(alpha));Tz=alpha*T;Gc=tf([Tz 1],[T 1]);主程序：num=16;den1=conv([1 0],[1 1]);den2=conv([1 2],[1 8]);den=conv(den1,den2);G=tf(num,den);%建立原系统的开环传递函数模型kc=1;yPm=45+10;Gc=plsj(G,kc,yPm)Gy_c=feedback(G,1)Gx_c=feedback(G*kc*Gc,1)figure(1)step(Gy_c, 'r' ,40);hold onstep(Gx_c, 'b',40)figure(2)bode(G, 'r')hold onbode(G*Gc*kc, 'b')figure(3)nyquist(G，'r')hold onnyquist(G* kc*Gc, 'b')三.校正装置的设计3.2 校正装置类型及参数的设定由于系统性能指标是以时域形式给出，因此可采用根轨迹法进行校正设计。

在应用根轨迹法进行设计时，实质上是通过采用校正装置改变系统的根轨迹形状，从而将一对闭环主导极点配置到期望的位置上。

在开环传递函数中增加极点，可以使根轨迹向右移动，从而降低系统的稳定性，增加系统响应的调整时间。

而在开环传递函数中增加零点，可以导致根轨迹向左移动，从而增加系统的稳定性，减少系统响应的调整时间。

因此，掌握了在系统中增加极点和（或）零点对根轨迹的影响，就能容易地确定校正装置的零、极点位置，从而将根轨迹改变成所需要的形状。

设计步骤：（1） 根据所需要的动态品质指标要求，确定闭环主导极点A 的位置； 根据要求得闭环主导极点35.25.2122,1j j s n ±-=-±-=ξωξω（2） 由校正前系统的根轨迹曲线图看出期望主导极点2,1s 在原系统根轨迹的左侧而不在原闭环根轨迹上。

按照前面所述原则，应该引入串联超前校正装置，使根轨迹向左移动，以满足指标要求。

（3） 为使校正后系统的根轨迹能经过期望闭环主导极点，其闭环特征方程必须满足幅值和相角条件，即πθj j p z c c e e M sT T s K s G s G 111)()(001101=++=- 式中，0M 是校正前的系统在1s 处的幅值；0θ则是对应的相角。

令111θj e M s -=，代入上式得到)1(11101101+=+---p j j c j z j T e M eM K e T e M θθπθ 将上述方程分解为实部和虚部两个方程，求解得到：0101001sin )sin(sin θθθθM M K M K T C c z --= ； 011010sin )sin(sin θθθθM M K T c p ++-= 由此确定超前校正环节的传递函数。