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2 集合的关系与运算

第2课集合的关系与运算徐琼玲【教学目标】一、知识目标1、了解集合的含义,元素与集合的属于关系;2、能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题;3、理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;4、在具体情境中,了解全集与空集的含义;5、理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;6、理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;7、能使用韦恩(V enn)图表达集合的关系及运算。

二、能力目标理解集合在表述数学问题时的工具性作用,“韦恩图”在表示集合之间的关系和运算中的作用三、情感目标集合语言在数学中的运用及集合论的了解。

【教学重点】集合的概念表示及集合的运算【教学难点】注重基础知识和基本技能,要求具备数形结合的思想意识,会借助V enn图、数轴等工具解决集合运算问题,常与不等关系、不等式的解集相联系【知识点梳理】1.集合:某些指定的对象集在一起成为集合a∈;若b不是集合A的元素,记(1)集合中的对象称元素,若a是集合A的元素,记作Ab∉作A(2)集合中的元素必须满足:确定性、互异性与无序性;确定性:设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象,则或者是A的元素,或者不是A的元素,两种情况必有一种且只有一种成立;互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不应重复出现同一元素;无序性:集合中不同的元素之间没有地位差异,集合不同于元素的排列顺序无关;(3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法;列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内;描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{}内注意:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。

(4)常用数集及其记法:非负整数集(或自然数集),记作N;正整数集,记作N*或N+;整数集,记作Z;有理数集,记作Q;实数集,记作R2.集合的包含关系:(1)集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,则称A 是B 的子集(或B 包含A ),记作A ⊆B (或B ⊇A );集合相等:构成两个集合的元素完全一样。

若A ⊆B 且B ⊇A ,则称A 等于B ,记作A=B ;若A ⊆B 且A ≠B ,则称A 是B 的真子集,记作A B ;(2)简单性质:1)A ⊆A ;2)Φ⊆A ;3)若A ⊆B ,B ⊆C ,则A ⊆C ;4)若集合A 是n 个元素的集合,则集合A 有n2个子集(其中n2-1个真子集); 3.全集与补集:(1)包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集,记作U ; (2)若S 是一个集合,A ⊆S ,则,SC A=}|{A x S x x ∉∈且称S 中子集A 的补集;(3)简单性质:1)S C (SC A)=A ;2)SC S=Φ,ΦS C =S4.交集与并集:(1)一般地,由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合,叫做集合A 与B 的交集。

交集}|{B x A x x B A ∈∈=⋂且(2)一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合,称为集合A 与B 的并集。

}|{B x A x x B A ∈∈=⋃或并集注意:求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的关键是“且”与“或”,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件,结合V enn 图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法 5.集合的简单性质:(1);,,A B B A A A A A ⋂=⋂Φ=Φ⋂=⋂ (2);,A B B A A A ⋃=⋃=Φ⋃ (3));()(B A B A ⋃⊆⋂(4)B B A B A A B A B A =⋃⇔⊆=⋂⇔⊆;; (5)SC (A ∩B )=(SC A )∪(SC B ),SC (A ∪B )=(SC A )∩(SC B )。

【典型例题】题型一、集合的基本概念表示与性质例1: 第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行,若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员},集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员},集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员},则下列关系正确的是 ( )A .A ⊆B B .B ⊆C C .A ∩B=CD .B ∪C=A解析:本例主要考查子集的概念及集合的运算.易知选D .例2: 下列集合中表示同一集合的是( )A .M = {(3,2)},N = {(2,3)}B .M = {(x ,y)|x + y = 1},N = {y|x +y = 1}C .M = {4,5},N = {5,4}D .M = {1,2},N = {(1,2)} 解析:由集合中元素的特征(确定性、无序性、唯一性)即得。

易知选C 。

例3: 设集合{},,P x y x y xy =-+,{}2222,,0Q x y x y =+-,若P Q =,求,x y 的值及集合P 、Q .解析:∵P Q =且0Q ∈,∴0P ∈.(1)若0x y +=或0x y -=,则220x y -=,从而{}22,0,0Q x y =+,与集合中元素的互异性矛盾,∴0x y +≠且0x y -≠; (2)若0xy =,则0x =或0y =.当0y =时,{},,0P x x =,与集合中元素的互异性矛盾,∴0y ≠; 当0x =时,{,,0}P y y =-,22{,,0}Q y y =-, 由P Q =得220y y y y y -=⎧⎪=-⎨≠⎪⎩ ① 或220y y y y y -=-⎧⎪=⎨≠⎪⎩ ②由①得1y =-,由②得1y =,∴{01x y ==-或{01x y ==,此时{1,1,0}P Q ==-.变式1:设,a b R ∈,集合{1,,}{0,,}b a b a b a+=,求b a -的值.分析:利用集合中元素互异性和集合相等性质,得到集合中对应元素的关系.解:由题知,0a ≠, 0a b +=,则1ba =-,所以 1baa b ⎧=⎪⎨⎪=⎩,解得11a b =-⎧⎨=⎩,所以2b a -=.变式2:已知集合2{1}P y x ==+,2{|1}Q y y x ==+,2{|1}E x y x ==+,2{(,)|1}F x y y x ==+,{|1}G x x =≥,则 ( )()A P F = ()B Q E = ()C E F = ()D Q G =解析:弄清集合中的元素是什么,能化简的集合要化简.易知选D点评:本题型以基础题为主,以集合中元素的性质为载体,考察学生对条件的把握分析能力,以寻找解题的突破口. 二、集合间的基本关系和运算例5:(1) 已知集合A={1,2,3},B={2,m ,4},A ∩B={2,3},则m=分析:考查集合的关系和运算.集合的关系关键是研究好集合中元素的从属关系,分为二种情形:一是部分从属;二是全从属.集合的运算包括交、并和补.解析:∵A ∩B={2,3},∴B 中一定有元素3,则m=3.(2) 已知{}7,6,5,4,3,2=U ,{}7,5,4,3=M ,{}6,5,4,2=N ,则 ( ) A .{}4,6MN =B .M N U =C .U M N C u = )(D .N N M C u = )(分析:本题主要考查集合的并、交、补的运算以及集合间关系的应用. 解析:由{}7,6,5,4,3,2=U ,{}7,5,4,3=M ,{}6,5,4,2=N ,故选B .变式1:集合{}0,2,A a =,{}21,B a=,若{}0,1,2,4,16A B = ,则a 的值为( )A.0B.1C.2D.4解析 ∵{}0,2,A a =,{}21,B a =,{}0,1,2,4,16A B = ∴2164a a ⎧=⎨=⎩∴4a =,故选D.变式2:设集合{}1,2,3,4U =,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则U=⋂ð(M N ) (A ){}12,(B ){}23, (C ){}2,4 (D ){}1,4 分析:解决本题的关键是掌握集合交并补的计算方法 解析: {2,3},(){1,4}U M N M N =∴= ð.选D.例6:已知集合{}30,31x MxN xx x ⎧+⎫=<=-⎨⎬-⎩⎭…,则集合{}1x x …为 ( )A .M NB .M NC .()R M N ðD .()R M N ð分析:本题主要考查集合的运算,同时考查解不等式的知识内容.可先对题目中所给的集合化简,即先解集合所对应的不等式,然后再考虑集合的运算. 解析:依题意:{}{}31,3M x x N x x =-<<=-…,∴{|1}M N x x ⋃=<,∴()R M N =ð{}1.x x …故选C .例7:已知集合{026}A x ax =<+≤,{124}B x x =-<≤.(1) 若A B A ⋂=,求实数a 的取值范围;(2) 集合A ,B 能否相等?若能,求出a 的值;若不能,请说明理由. 分析:(1)对a 进行分类讨论,利用数轴求a 的取值范围. 解: {124}B x x =-<≤1{2}2x x =-<≤,{026}A x ax =<+≤{24}x ax =-<≤.①当0a =时,A R =,所以A B ⊆不可能;②当0a >时,24{}A x x a a =-<≤,若A B ⊆,则21,24 2.a a ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩解得4a ≥.③当0a <时,42{}A x x a a =≤<-,若A B ⊆,则41,22 2.a a⎧>-⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩解得8a <-.综上所得,a 的取值范围为(,8)[4,)-∞-⋃+∞.(2)分析一:求出满足B A ⊆时a 的取值范围,再与(1)取交集.解法一:①当0a =时,A R =,所以B A ⊆成立;②当0a >时,24{}A x x a a =-<≤,若B A ⊆,则21,24 2.a a ⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩解得02a <≤.③当0a <时,42{}A x x a a =≤<-,若B A ⊆,则41,22 2.a a⎧≤-⎪⎪⎨⎪->⎪⎩解得10a -<<.综上,B A ⊆时,12a -<≤.A B A B =⇔⊆ 且B A ⊆,∴若A B =,则(1,2]a ∈-且(,8)[4,)a ∈-∞-⋃+∞,矛盾.所以,集合A 与B 不可能相等.分析二:利用两个相等集合中元素的对应关系,建立等量关系.解法二:①当0a =时,A R =,所以B A ≠;②当0a >时,24{}A x x a a =-<≤,若B A =,则21,24 2.a a⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩无解.③当0a <时,42{}A xx aa=≤<-,若B A =,显然不成立.综上,集合A 与B 不可能相等.变式1:已知集合{,0}M a =,2{30,}N x x x x Z =-<∈,且{1}M N ⋂=,记P M N =⋃,写出集合P 的所有子集.分析:求出N ,由{1}M N ⋂=,可知1M ∈,解得a ,进而求出P . 解:由230x x -<,得03x <<;又x Z ∈,故{1,2}N =. 由{,0}M a =且{1}M N ⋂=,可得1a =.{1,0}M ∴=,故P 的子集为:∅,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}.点评:同不等式有关的集合问题是高考命题的热点之一,也是高考常见的命题形式,且多为含参数的不等式问题,需讨论参数的取值范围,主要考查分类讨论的思想,此外,解决集合运算问题还要注意数形结合思想的应用.题型三、图解法解集合问题例8: 已知A ,B 均为集合U={1,3,5,7,9}的子集,且A ∩B={3},u ðB ∩A={9},则A=( ) A.{1,3} B.{3,7,9} C.{3,5,9} D.{3,9}解析:本题考查了集合之间的关系、集合的交集、补集的运算,考查了同学们借助于V enn 图解决集合问题的能力。

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