概率统计及统计案例知识点汇总
知识点一随机抽样
（一）、1．定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫作简单随机抽样．
2．最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法．
3．应用范围：总体中的个体数较少．
（二）、系统抽样
1．定义：当总体中的个体数目较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照事先定出的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样.
2．系统抽样的操作步骤
第一步编号：先将总体的N个个体编号；
第二步分段：确定分段间隔k，对编号进行分段，当N
n(n是样本容量)是整数时，
取k＝N n；
第三步确定首个个体：在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；第四步获取样本：按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本.
3．应用范围：总体中的个体数较多.
（三）、分层抽样
1．定义：在抽样时，将总体按其属性特征分成若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的样本，这种抽样方法叫作分层抽样，有时也称为类型抽样．
2．应用范围：当总体是由差异明显的若干类型组成时，往往选用分层抽样．
知识点二用样本估计总体
（一）、用样本的频率分布估计总体分布
1．频率分布表与频率分布直方图
频率分布表与频率分布直方图的绘制步骤如下：
①求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)；
②定组距与组数；③将数据分组；④列频率分布表；
⑤画频率分布直方图．
2．频率折线图
在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间．从所加的左边区间的中点开始，用线段依次连接各个矩形的顶端中点直至右边所加区间的中点，就可以得到一条折线，我们称之为频率折线图．
3．茎叶图
①茎叶图是统计中用来表示数据的一种图，茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数．
②对于样本数据较少，但较为集中的一组数据：若数据是两位整数，则将十位数字作茎，个位数字作叶；若数据是三位整数，则将百位、十位数字作茎，个位数字作叶，样本数据为小数时做类似处理．
（二）、用样本的数字特征估计总体的数字特征
1．众数
在一组数据中，出现次数最多的数据叫作这组数据的众数．体现了样本数据的最大集中点，不受极端值的影响而且不唯一.
2．中位数
将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫作这组数据的中位数．它不受极端值的影响，仅利用了排在中间数据的信息，只有一个，且在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等．
3．平均数:样本数据的算术平均数，即x＝1
n(x1＋x2＋…＋x n)，它与每一个样本
数据有关，仅有一个．
4．极差:一组数值中最大值与最小值的差，它反映一组数据的波动情况，但极差只考虑两个极端值，可靠性极差．
5．标准差:①考查样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差，标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示：
s ＝
1n
[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]. ②标准差的平方s 2叫作方差：
s 2＝1
n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．
知识点三 变量间的相关关系及统计案例
（一）、回归直线方程:
a x
b y
ˆˆˆ+=，其中),(,),,(),,(2211n n y x y x y x 为样本点,线性回归方程a x b y ˆˆˆ+=中系数计算公式:
则∑∑====n
i i n
i i y n y x n x 1
1
1,
1
相关系数1
2222
11n
i i
i n
n
i i i i x y nx y
r x nx y ny ===-=
⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑
（二）、相关系数
当r ＞0时，表明两个变量正相关；当r ＜0时，表明两个变量负相关． r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．
r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r |大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．
（三）、独立性检验
1．设A ，B 为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量A ：A 1，A 2＝A 1；
变量B ：B 1，B 2＝B 1. 2×2列联表
构造一个随机变量χ2＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )
，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容
量．
2．独立性检验:利用随机变量来判断“两个变量有关联”的方法称为独立性检验．3．当数据量较大时，在统计中，用以下结果对变量的独立性进行判断
①当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联，可以认为变量A，B 是没有关联的；
②当χ2＞2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；
③当χ2＞3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；
④当χ2＞6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．
知识点四随机事件的概率
（一）、事件的分类
（二）、频率与概率
1．在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中
事件A出现的次数n A为事件A出现的频数，称事件A出现的比例f n(A)＝n A
n为事
件A出现的频率.
2．在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．这时我们把这个常数叫作随机事件A的概率，记作P(A)．
（三）、事件的关系与运算
和事件(并事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B
发生，称此事件为事件A与事件B的和事件
(或并事件)
A＋B
(或A∪B)
交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B
发生，则称此事件为事件A与事件B的交事
件(或积事件)
A∩B(或AB)
互斥事件若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B
互斥
A∩B＝∅
对立事件若A∩B为不可能事件，A＋B为必然事件，
那么称事件A与事件B互为对立事件
A∩B＝∅
P(A＋B)＝
P(A)＋P(B)＝1
（四）、概率的几个基本性质
1．概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
2．必然事件的概率P(E)＝1.
3．不可能事件的概率P(F)＝0.
4．互斥事件概率的加法公式①如果事件A与事件B互斥，则P(A+B)＝P(A)＋P(B).
②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B).
知识点五古典概型与几何概型
（一）、基本事件的特点
1．任何两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
（二）、古典概型
1．定义:具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型．
①试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果．
②每一个试验结果出现的可能性相同．
2．概率公式：P(A)＝事件A包含的可能结果数试验的所有可能结果数
.
（三）、几何概型
向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1G的概
率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关，即P(点M落在G1)＝G1的面积G的面积，
则称这种模型为几何概型．
（四）、几何概型中，事件A的概率计算公式的扩展
P(A)＝
构成事件A的区域长度(面积或体积)
试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
.
（五）、几何概型试验的两个基本特点
1．无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；2．等可能性：每个结果的发生具有等可能性．。