2 2 Z R S
R R R
S S S
R R R 1 Z
S S S 1 Z

具体公式为：
f k (1 )
式中， fk——特征值； α——在特征值取值的保证率下所对应的系数。 保证率α——对应的可靠概率ω α＝1 ω＝84.13% α＝1.645 ω＝95% α＝2 ω＝97.72% α＝3 ω＝99.865%
结构可靠度指标的计算方法
（一）均值一次二阶矩法
中心点法是结构可靠度研究初期提出的一种方法,其 基本思想是首先将非线性功能函数在随机变量的平均 值(中心点)处进行泰勒展开并保留至一次项,然后近似 计算功能函数的平均值和标准差,进而求得可靠度指标。 该法的最大优点是计算简便,不需进行过多的数值计算, 但也存在明显的缺陷:1)不能考虑随机变量的分布概型, 只是直接取用随机变量的前一阶矩和二阶矩;2)将非线 性功能函数在随机变量均值处展开不合理,展开后的线 性极限状态平面可能较大程度地偏离原来的极限状态 曲面;3)可靠度指标会因选择不同的变量方程而发生变 化;4)当基本变量不服从正态或对数正态分布时,计算 结果常与实际偏差较大。故该法适用于基本变量,服从 正态或对数正态分布,且结构可靠度指标β=1～2的情 况。
验算点坐标
考虑到设计验算点p*应位于极限状态曲面上故g （X1*,…,Xn*）=0 因此
比较2-1求出的β。均值一次二阶矩法缺点是明显的。
（三）验算点法(JC法) 很多学者针对中心点法的弱点,提出了相应的改进措施。 验算点法,即Rackwitz和Fies-sler 提出后经hasofer 和 lind改进,被国际结构安全度联合委员会(JGSS)所推荐 的JC法就是其中的一种。作为中心点法的改进,主要 有两个特点:1)当功能函数Z为非线性时,不以通过中心 点的超切平面作为线性相似,而以通过Z=0上的某一点 x3( x31, x32, x33, …, x3n)的超切平面作为线性近似,以避 免中心点法的误差;2)当基本变量x3 具有分布类型的信 息时,将x3 分布在x31, x32, x33, …, x3n处以与正态分布等 价的条件变换为当量正态分布,这样可使所得的可靠指 标β与失效概率pf 之间有一个明确的对应关系,从而在 β中合理地反映分布类型的影响。该法能够考虑非正 态的随机变量,在计算工作量增加不多的条件下,可对 可靠度指标进行精度较高的近似计算,求得满足极限状 态方程的“验算点”设计值,便于根据规范给出的标准 值计算分项系数,以便于工作人员采用惯用的多系数表 达式。
1.1安全系数
传统设计原则，安全系数，单一均值安全系 数K
平均结构抗力 R K ＝ R K S 平均荷载效应 S 存在两个问题： 1、没有定量地考虑抗力和荷载效应的随机性 质，而靠经验或工程判断方法取值，因此不 可避免带有人为因素。 2、 K 只与R和S的均值的比值有关，这种系数 是不能反应结构的实际失效情况的。
（ 五）蒙特卡罗法
蒙特卡罗法是结构可靠度分析的基本方法之一，具有 模拟的收敛速度与基本随机向量的维数无关、极限状 态函数的复杂程度与模拟过程无关、无需将状态函数 线性化和随机变量当量正态化、能直接解决问题、数 值模拟的误差可由模拟次数和精度较容易地加以确定 的特点。但是，当实际工程的结构破坏概率在10 以下 时，该法的模拟数目就会相当大，进而占用大量时间。 该法既可用来分析确定性问题，也可用来分析不确定 问题。由于具有相对精确的特点，除用于一些复杂情 况的可靠度分析外，也常用于各种近似分析方法的计 算结果校核。近年来，经过科技人员的努力，各种结 合蒙特卡罗法降低方差的技巧应运而生，如对偶变量 法、分层采样法、重要抽样法等均尽可能地减少了模 拟抽样数，提高了计算效率，如图解渐进法和 MonteCarlo递进法。
1.3、分项系数
现以正态分布的随机变量为例说明分项系数的确定方法。 设荷载效应R和结构抗力S均服从正态分布，其均值、标准差、 变异系数分别为μR、σR 、δR和μS、σS 、δS 。 我们通常要求出现的事件结果不大于或不小于某一数值，这 个数值就称为特征值。 结构可靠度也就是计算超过特征值的概率——超越概率，确 定这一特征值就可以用数理统计方法计算出来如图10所示，
可靠度理论
内容
1、结构的可靠度
1.1、安全系数 1.2、结构可靠度指标 1.3、分项系数
2、当前还应用容许应力法的部门 3、近似概率设计法
1、结构的可靠度
工程结构可靠性，是指在规定时间和条 件下，工程结构具有的满足预期的安全 性、适用性和耐久性等功能的能力 可靠度：在规定的时间和条件下，工程 结构完成预定功能的概率，是工程结构 可靠性的概率度量 设计过程中可靠度的表现：安全系数 、 可靠指标、分项系数。
（二）改进一次二阶矩法 针对均值一次二阶矩法将功能函数线性化点取做基本 随机变量均值点带来的问题，改进一次二阶矩法将功 能函数线性化点取在设计验算点。从而提高了β的计 算精度，并保证统一结构问题β的唯一性。 1.基本原理：结构构件功能函数在设计验算点p* （X1*,…,Xn*）将Z展泰勒级数仅保留线性项有
1 β是失效概率和可靠概率的度量， β与 Pf 或 Pr 具有一一对 应的数量关系，β 越大，则失效概率 Pf 越小（即阴影面积越 小），可靠概率越大。
z p f ( ) ( ) 1 ( ) z
ps 1 p f 1 ( ) ( )
安全系数K与可靠指标β的关系
R S 2 2 R S R 1 S
R 2 2 R S S
2

K 1
2 K 2 R S2
K
2 2 1 R S2 2 R S2 2 1 2 R
称K为可靠性安全系数，其与结构中各变量的分布规律、变 异系数以及相应的可靠指标有关，也就是说，可靠度指标 不仅与安全系数K有关，而且与分布规律和变异系数）串联系统的基本模式。 串联系统是这样一种系统,即只有构成系 统的所有构件都成功地执行其功能,才能 保证系统有效地工作。由n个元件构成 的串联系统，在考虑时间因素的情况下， 系统的可靠度可由下式计算
（二）并联系统的基本模式只有当构成系 统的所有元件都失效时，系统才会失效 或出现故障，这样构成的系统称为并联 系统。在考虑时间因素的情况下，由n 个元件构成的并联系统的可靠度可用下 式计算
功能函数Z＝ R－ S也服从正态分布，其均值、标准差和 变异系数为μZ、σZ 、δZ 。 由可靠指标的计算公式
R S Z 2 2 Z R S
2 2 R S R S
2 2 R S R S Z 2 2 S R R S Z Z
（六）响应面法
上述几种方法均假定功能函数是己知的，但某些实际 结构常不能给出功能函数的明确表达式(例如考虑结 构中材料的非线性性质时，结构内某点的应力和位移 与外荷载的关系表达式不能直接给出)，此时使用上 述结构可靠度分析方法就会遇到困难。对于这种情况， 虽可以使用下述蒙特卡洛法结合有限元方法加以解决， 但由于要进行成千上万次模拟，工作量大而不经济， 且目前要形成一个通用随机有限元分析程序来描述结 构中存在着的各种随机性尚有不少困难。响应面方法 是近十年发展起来处理此类问题的一种有效方法 ，其 基本思路是选用一个适当的有明确表达式的函数来近 似替代一个不能明确表达的函数。对于结构可靠度分 析来说，就是通过尽可能少的一系列确定性试验，用 有限元数值计算来拟合一个响应而以替代未知的真实 极限状态曲面，再利用前述各种方法进行可靠度分析。
设结构构件功能函数为 Z=g（X1,X2…,Xn） 式中Xi（i=1,2，…,n)——统计独立正态随机变量 利用随机变量函数的线性化法则，将功能函数在Xi （i=1,2，…,n)的均值点μxi （i=1,2，…,n)展开泰勒级 数，仅保留线性项有
例：
均值一次二阶矩法简单，使用方便。但其存 在严重缺陷。其一是对承受统一荷载的同一 结构构件，若采用不同的功能函数来描述， 则得出不同的β值。其二选取基本随机变量均 值点作为功能函数的线性化点来求取β将产生 较大误差。以下仍采用2-1来说明其存在的第 一种缺点，而第二种缺点将在2-3中说明
（ 四）二次二阶矩法 当结构的功能函数在验算点附近的非线性化程度较高 时，一次二阶矩法的计算精度就不能满足一些特别重 要结构的要求了。国外早期的做法是将非线性功能函 数在验算点处做一次展开，此法虽能解决问题，但因 计算复杂而不便应用。近年来，一些学者把数学逼近 中的拉普拉斯渐进法用于可靠度研究中，取得了较好 的效果.因该法用到了非线性功能函数的二阶偏导数项， 故应归属于二次二阶矩法。从公式的表达上可以看出， 二次二阶矩法的结果是在一次二阶矩法结果的基础上 乘1个考虑功能函数二次非线性影响的系数，所以可 以看作是对一次二阶矩法结果的修正。需要强调的是， 在广义随机空间中，对于随机变量变换前后相关系数 的取值依据的是变换前后的相关系数近似等，这相当 于一次一阶矩法随机变量间的一次变换，对于二次二 阶矩法是否考虑随机变量间的二次变换项，以及二次 变换项如何考虑是需要进一步研究的问题。
对于极限状态方程线性或非线性程度不高的简单结构， 用一次二阶矩法计算可靠度足以满足要求，简单易行。 对于大型复杂结构，其功能函数一般不能显式表达， 大多是非线性的高次方程，应用响应面法、蒙特卡洛 法则具有一定的优势。尤其是随着计算机应用技术的 发展和进步，蒙特卡洛法具有更好的发展前景。在今 后的研究中应当重点注意一下几个方面：（1）在当 前的研究中都假设结构的抗力和荷载是稳态过程，实 际上它们都是随机过程，是与时间有关的过程。应与 时变可靠度理论联系起来。（2）结构体系的可靠度。 结构杆件的可靠度研究已经成熟，如何将单个杆件的 可靠度与整个体系的可靠度联系起来是今后研究的方 向之一。
m R mS Z 2 2 Z R S
可靠指标β与失效概率pf 的对应关系