（1）甲、乙两人独立地解同一个问题，甲解决这个问题的概率为 p1 ，乙解决这个问题的概率为 p2 ， 那么两人都没能解决这个问题的概率是（ ）. 【参考答案：C】
A． 2 − p1 − p2
B．1 − p1 p2
C．1 − p1 − p2 + p1 p2
D．1 − (1 − p1)(1 − p2 )
正面向上，则 Eξ =
. 【参考答案： 3 】 4
9.离散型随机变量ξ 的方差 Dξ = (x1 − Eξ )2 ⋅ p1 + (x2 − Eξ )2 ⋅ p2 + + (xn − Eξ )2 ⋅ pn .
10.离散型随机变量ξ 的数学期望、方差公式
（1）设 a 、 b 为常数，则 E(aξ + b) = aEξ + b ， D(aξ + b) = a2Dξ . （2）若 ξ 服从 0 −1 分布，则 Eξ = p ， Dξ = p(1 − p) . （3）若 ξ ∼ B(n, p) ，则 Eξ = np ， Dξ = np(1 − p) .
件
A
发生”（概率为
C k −1 n −1
p
k
−1
(1
−
p)n−k
p
）.
7.超几何分布
- 126 -
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5
在含有 M
件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 ξ
件次品的概率为：P(ξ
=
k)
=
CMk
⋅
Cn−k N−M
CNn
，
称离散型随机变量 X 服从超几何分布.
练习
（1）设 10 件产品中有 4 件次品，6 件正品，求从中任取 5 件恰有 2 件次品的概率.【参考答案：C42C63 】 C150
练习
（1）某市足球一队与足球二队都参加全省足球冠军赛，一队夺冠的概率为 2 ，二队夺冠的概率为 1 ，
5
4
则该市得冠军的概率为
. 【参考答案： 13 】 20
- 124 -
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3
6.对立事件
事件 A 与它的对立事件 A 的概率和为 1，即 P( A) + P( A) = 1 ，在求解“至少”或“至多”类型的 概率问题时常用此关系. 练习 （1）下列各组事件中，对立事件是（ ）. 【参考答案：C】
4
13.2 随机变量及其分布
第十三章 概 率
1.离散型随机变量ξ 的分布列
若离散型随机变量 ξ 可能取的值为 X1 、X 2 、…、Xi 、…、X n ，相应的概率为 p1 、p2 、…、pi 、…、
pn ，即 P(ξ = Xi ) = pi ，则随机变量 ξ 的分布列为
ξ
X1
X2
…
Xi
…
Xn
P
p1
A．1 − pk
B． (1 − p)k pn−k
C．1 − (1 − p)k
D． Cnk (1 − p)k pn−k
5.二项分布的识别方法
（1）只有两个可能结果 A 和 A ，试验可 n 次独立重复，则 n 次试验 A 发生的次数 ξ 就服从二项分布. （2）凡是服从二项分布的随机变量一定只取有限个实数为其值，否则，随机变量不服从二项分布. （3）凡服从二项分布的随机变量在被看作观察 n 次试验中某事件发生的次数时，此事件在每次观察 中出现的概率相等，否则不服从二项分布.
6.解二项分布问题时的注意事项
（1）注意区分“恰有 k 次发生”（概率为 Cnk pk (1 − p)n−k ）和“某指定的 k 次发生，其余次的试验则 不发生” （概率为 pk (1 − p)n−k ）.
（2）注意区分“ A 恰好发生 k 次”（概率为 Cnk pk (1 − p)n−k ）和“ A 恰好发生 k 次，且最后一次是事
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1
概率
学生：
任课教师：孔伟铭
第十三章 概 率........................................................................................................................................... 1 公式定理及常见规律............................................................................................................................. 1 13.1 概率................................................................................................................................................ 1 13.2 随机变量及其分布 ........................................................................................................................ 4
8.条件概率
（ 1 ） 设 A 、 B 为 两 个 事 件 ， 且 P(A) > 0 ， 则 在 事 件 A 发 生 的 条 件 下 ， 事 件 B 发 生 的 概 率
P ( B A) = P(AB) . 特别地，对于古典概型，由于组成事件 A 的各个基本事件发生的概率相等，因此
P( A)
其条件概率也可表示为 P ( B A) = n(AB) .
练习
（1）在等腰直角三角形 ABC 中，直角顶点为 C ，在△ABC 的内部任作一条射线 CM ，与线段 AB 交
于点 M ，求 使 AM < AC 的概率.
（2）在等腰直角三角形 ABC 中，在斜边 AB 上任取一点 M ，求 AM 小于 AC 的概率.
【解析】（1）由于在 ∠ACB 内作射线 CM ，等可能分布的是 CM 在 ∠ACB 内的任一位置(如左图)，
n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率为 P(ξ = k) = Cnk pk (1 − p)n−k ，此时称随机变量 ξ 服从二项分布，记作 ξ ∼ B(n, p) . 练习
（1）在某一试验中事件 A 出现的概率为 p ，则在 n 次试验中 A 出现 k 次的概率为（ 答案：D】
）. 【参考
【参考答案：① 3 ；② 3 ；③ 1 】 552
（2）5 个乒乓球（3 个新球，2 个旧球），每次取 1 个，有．放．回．地取 2 次. 求：①第一次取得新球的 概率；②第二次取得新球的概率；③在第一次取得新球的条件下第二次取得新球的概率.
【参考答案：① 3 ；② 3 ；③ 3 】 555
- 125 -
（2） n 个独立事件同时发生的概率 P( A1 ⋅ A2 ⋅ ⋅ An ) = P( A1) ⋅ P( A2 ) ⋅ ⋅ P( An ) . 设 A 、 B 为两个事件，如果 P( AB) = P( A)P(B) ，则称事件 A 与事件 B 相互独立. 如果事件 A 与
事件 B 相互独立，则 A 与 B ， A 与 B ， A 与 B 也都相互独立. 练习
公式定理及常见规律
13.1 概率
1.随机事件的两个特征
（1）试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个. （2）每一个试验的结果出现的可能性相同.
2.随机事件的概率
随机事件的概率的取值范围是 0 ≤ P( A) ≤ 1. 若事件 A 为必然事件，则 P( A) = 1；若事件 A 为不可能时间，则 P( A) = 0 .
①根据题设引入适当变量；
②利用所引进的变量，把题设中的有关条件转化成变量所满足的代数条件；
- 123 -
2
第十三章 概 率
③根据所得到的代数条件找出相应的几何区域.
（2）在坐标系中把几何图形画出来.
（3）把样本空间和所求概率的事件所在的几何图形的度量（就是如前所说的长度、面积或者体积）
求出来，然后代入公式即可.
8.离散型随机变量ξ 的均值（数学期望）
若离散型随机变量 ξ 的分布列为
ξ
X1
X2
…
Xi
…
Xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则 ξ 的数学期望为： Eξ = x1 p1 + x2 p2 + + xn pn . 练习
（1）同时抛掷两枚相同的均匀硬币，随机变量 ξ = 1 表示结果中有正面向上， ξ = 0 表示结果中没有
①直接求解法，即将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，然后利用互斥事
件的求和公式计算；
②间接求法，即先求出此事件的对立事件的概率，再用公式 P( A) = 1 − P( A) 求解，特别是求解
“至少”或“至多”类型的概率问题. 注：当 A 、B 不互斥（即相容）时，事件 A + B 的概率计算公式为 P( A + B) = P( A) + P(B) − P( AB) .
A．从 50 件产品中（其中有两件是废品），抽出 2 件产品，其中恰有一件是废品与两件是废品 B．从 1、2、3、4 这四个数字中任取 3 个组成三位数，这个三位数大于 234 与这个三位数小于 324 C．抛掷一粒骰子，出现奇数点与出现偶数点 D．抛掷两枚硬币，都是正面与都是反面
7.独立事件
A 发生与否对 B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件. A ⋅ B 或 A ∩ B ，表示“ A 与 B 同时发生”，叫做 A 与 B 的积. （1）独立事件 A 、 B 同时发生的概率 P( A ⋅ B) = P( A) ⋅ P(B) .