自适应抗差滤波理论及应用的主要进展杨元喜西安测绘研究所，西安雁塔路中段1号，西安710054yuanxi@摘要近十年来，中国学者发展了一种用于动态导航定位的新自适应抗差滤波理论，该理论应用抗差估计原理抵制观测异常误差的影响，构造自适应因子控制动力学模型误差的影响。

本文旨在归纳、总结自适应抗差滤波理论的主要成就。

首先介绍自适应抗差滤波的原理；随后给出四种自适应因子模型，包括三段函数模型、两段函数模型、指数函数模型以及选权函数模型；陈列了四种误差学习统计量，包括状态不符值统计量、预测残差统计量、方差分量比统计量以及速度统计量；将新的自适应抗差滤波理论与标准Kalman滤波以及其他自适应滤波理论进行了比较与分析；最后利用两个实际算例展示了自适应抗差滤波在导航中的成功应用。

关键词：自适应滤波，Kalman滤波，导航，动态定位，自适应因子，误差学习因子1. 引言自适应滤波是近年来大地测量研究领域的一个热点问题。

我国学者在自适应滤波领域做了大量的研究工作，取得了一批研究成果。

首先基于Sage滤波思想，提出了一种适用于高动态GPS定位的改进的自适应卡尔曼滤波方法，该方法数值稳定性好,存储量小,克服了滤波的发散问题（胡国荣, 欧吉坤，1999）。

目标跟踪或导航一般采用自适应滤波技术，因为相应的系统模型一般是未知（或部分未知）或随时间变化的。

与Sage-Husa自适应滤波（Deng 2003, p162-173; Mohamed and Schwarz 1999; Wang et al. 1999）以及有限记忆滤波（Panozzo, et al 2004）不同，中国学者建立了一种新的自适应抗差滤波理论（Yang et al 2001a, b），该理论应用抗差估计原理控制观测异常的影响，引进自适应因子控制动力学模型误差的影响。

基于抗差估计思想，构建了抗差自适应滤波理论体系，通过引入自适应因子平衡动力学模型信息与和动态观测信息的权比，引入观测等价权控制观测异常的影响。

该自适应滤波兼容了标准Kalman滤波、自适应Kalman滤波、抗差滤波、序贯最小二乘平差和序贯抗差估计（Yang et al.，2001；杨元喜等，2001）；研究了抗差自适应滤波解的性质（杨元喜，2003）；提出了基于方差分量估计的抗差自适应滤波（Yang and Xu，2003）。

建立了多因子自适应滤波（Yang and Cui 2008）。

自适应滤波的关健是判定动力学模型误差和构建自适应引子。

为此，中国学者先后构建了4种动力学模型误差学习统计量，即状态不符值统计量（Yang et al 2001a, b）、预测残差统计量（Xu and Yang 2000，Yang and Gao 2006a）、基于观测信息与动力学模型预测信息的方差分量比统计量（Yang and Xu 2003）和基于模型预测速度与计算速度不符值统计量（Cui and Yang 2006）；并建立了4种自适应因子，即三段函数模型（Yang et al 2001a）、两段函数模型（Yang et al 2001b）、指数函数模型（Yang and Gao 2005）和选权函数模型（Ou et al 2004, Ren et al 2005）。

将Sage滤波与抗差自适应滤波相结合，构建了基于Sage滤波的抗差自适应滤波算法，若动态载体平稳，则采用Sage自适应滤波；若载体出现扰动，则采用具有自适应因子的Kalman滤波（徐天河, 杨元喜，2000）。

若将观测向量和状态预测向量看成两组随机向量，则可基于方差分量估计和开窗协方差估计，自适应地确定载体运动方程信息的权，为此提出了基于方差分量估计和开窗协方差估计的自适应滤波理论（Yang and Xu，2003）。

在此基础上，我国学者又讨论多因子自适应滤波。

主要方法有预报状态参数选权滤波法（欧吉坤等，2004；Ren et. al.，2005）和分类因子自适应滤波法（崔先强，杨元喜，2006；Yang et al，2008）。

自适应抗差滤波已成功用于卫星轨道测定（Yang and Wen 2004），大地网重复观测的数据处理（隋立芬等 2007）等。

自适应滤波必然涉及到误差判别统计量以及自适应因子，于是先后构建了4种动力学模型误差学习统计量，即状态不符值统计量（Yang et al 2001a, b）、预测残差统计量（Xu and Yang 2000，Yang and Gao 2006a）、基于观测信息与动力学模型预测信息的方差分量比统计量（Yang and Xu 2003）和基于模型预测速度与计算速度不符值统计量（Cui and Yang 2006）；并建立了4种自适应因子，即三段函数模型（Yang et al 2001a）、两段函数模型（Yang et al 2001b）、指数函数模型（Yang and Gao 2005）和选权函数模型（Ou et al 2004, Ren et al 2005）。

若要求预测状态向量的理论协方差矩阵等于或约等于估计的状态协方差矩阵，或要求预测残差理论协方差矩阵等于或约等于估计的预测残差协方差矩阵时，又得到了两类最优自适应因子（Yang and Gao 2006）。

之后又发展了分类因子自适应滤波（Cui and Yang 2006）和多因子自适应滤波（Yang and Cui 2008）。

当多因子变成单因子时，多因子自适应滤波即为单因子自适应滤波；当多因子仅含有位置因子和速度因子时，多因子自适应滤波又变成分类因子自适应滤波。

为了进一步减弱模型误差的影响，自适应抗差滤波又与神经网络相结合（Gao et al 2007a, b），解决动态模型构造问题；新发展的自适应抗差滤波也可与误差探测、诊断、调节（即DIA方法，detection, identification and adaptation）相结合（Teunissen 1990），或与抗差Kalman滤波（Koch and Yang 1998; Schaffrin 1991, p.32-34; Yang 1991, 1997; Zhou et al 1997）相结合。

在应用方面，自适应抗差滤波已成功用于卫星轨道测定（Yang and Wen 2004），大地网重复观测的数据处理（隋立芬等 2007）等。

2. 自适应抗差滤波原理假设观测误差方程及状态预测方程为kk k k L X ˆA V −= (1) 1k 1k ,k k X ˆX −−Φ= (2) 式中k X ˆ为k t 时刻m ×1维状态参数向量k X 的状态估计向量，1k ,k −Φ为u ×u 维状态转移矩阵， k L 为k n ×1维观测向量，k A 为m n k ×维设计矩阵，k V 为观测残差向量，k X 为状态预测向量，动力学模型噪声向量为k W ，观测误差向量为k e ，假设k W 和k e 的数学期望为零，协方差矩阵分别为k W Σ和k Σ，并假设k W 、j W 、k e 以及j e 互不相关。

，则自适应抗差滤波原则为min )ˆ()ˆ()(1=−−+∑=k k X T k k k in i i X X P X X v p kk αρ (3) 式中ρ为连续非减凸函数（Huber 1981，Yang 1994, Yang et al 2002）， i p 为观测向量k L 的权矩阵1−Σ=k k P 的第i 个对角分量，k α（0<k α≤1）为自适应因子，1−Σ=k k X X P 为预测状态向量k X 的权矩阵。

状态向量的自适应滤波解为（Yang et al 2001a ）)()(ˆ1k k k k k k k k k k k k L P A X P P A P A X T X X T ++=−αα (4) 式中k P 为观测等价权矩阵，可以由Huber （Huber1981）函数或IGG 系列方案获得（Yang 1994, 1999; Yang et al 2002a, 2002b; 周江文 1989）。

上式可以等价地表示成（杨元喜等2001b, Xu 2004）)(ˆkk k k k k X A L K X X −+= (5) 其中k K 为等价增益矩阵，1k T k k T k k ΣA ΣA A ΣK k k −+=)1(1X kX k αα (6)状态向量验后协方差矩阵为k X X α/)(ˆk kΣA K I Σk k −= (7) 自适应滤波解（4）和（5）随着自适应因子k α和观测等价权矩阵k P 的不同，可以得到不同的滤波解。

若取k V 为预测残差向量，k X ∆表示状态不符值向量，k k k k L X A V −= （8）kk k X X X −=∆ˆ （9） 则Sage 自适应滤波的状态协方差矩阵和观测协方差矩阵为T k k m j T j k j k k A A V V k Σ−=Σ∑=−−0m 1ˆ (10) ∑=−−∆∆∆=Σm j T j k j k X X X 0m 1ˆ (11) 若将（10）和（11）作为先验协方差矩阵，则（4）和（5）式也可包含Sage 滤波。

自适应抗差滤波与各种派生滤波之间的关系由图1表示。

3. 分类因子自适应滤波4.1 三种误差判别统计量3.1 状态不符值统计量 假设在k t 历元观测向量k L ，则由观测信息可以获得状态参数的估计 αk =0~1k P 自适应滤波理论最小二乘平差抗差估计Kalman 滤波抗差滤波αk =0αk =1k P kP Sage 自适应滤波1k 1X Σ ,Σk −−ˆˆ自适应滤波自适应抗差滤波 k P kP k P Figure 1 Adaptively Robust Filterk k T k 1k k Tk k L P A )A P A (X ~−= (12)由上式状态参数估计向量k X ~与预测状态参数向量k X 之间的不符值可构成如下统计量 ()212k 2k 2k k k m 21X ~X ~X ~X X ~∆++∆+∆=−" (13)则模型误差的判别统计量可构造成)(~~k X k k k tr X X X Σ−=∆ (14)式中“tr ”表示矩阵的迹。

简单分析：（a ）计算历元的观测数量要大于待估状态参数的数量，否则不可能计算出k X ~∆；（b ）由观测量估计的状态参数向量k X ~应尽可能精确，否则统计量k X ~∆不能反应动力学模型的误差；（c ）统计量k X ~∆仅反映模型的整体误差，任何状态分量的扰动都将视为整体模型存在扰动。

3.2 预测残差统计量我们知道，若观测向量k L 可靠，预测残差向量k V 将反映预测状态向量k X 的误差，如此，可构造如下误差判别统计量（徐天河、杨元喜 2000; Yang and Gao 2006a ） 21k )(V ∆⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Σ=k V k T k tr V V (15) 简单分析：（a ）利用预测残差统计量k V ∆构造自适应因子，不需要在滤波前计算状态向量参考值；（b ）也不需要观测量个数一定大于状态参数个数；（c ）k V ∆与k X ~∆相比，可能含有更多的测量误差。