4.1.2 傅里叶分析
前面讨论的概率密度、均值、方差等是用 来在幅值领域里描写随机过程的。 而相关函数则是在时域里研究问题。除此 之外，还需要在频域里研究随机过程，这就 要用到傅里叶分析手段。
傅立叶的两个最主要的贡献——
• “周期信号都可表示为谐波关系的正 弦信号的加权和” ——傅里叶的第一个主要论点 • “非周期信号都可用正弦信号的加权 积分表示” ——傅里叶的第二个主要论点
∫
t 0 + T1
t0
f ( t ). dt
周期函数的频谱
• 周期信号的谱线只出现在基波频率的整数倍的频率处。 直观看出：各分量的大小，各分量的频移。
Cn
ϕ n (ω )
ω1
nω 1
ω1
nω 1
周期函数的复指数级数形式傅里叶级数
三角函数式 f1 (t ) = a0 + ∑ (an cos nω1t + bn sin nω1t )
随机过程
2 随机过程的数字特征
随机过程既是一个随机变量系，显然就可以 用描述随机变量系的办法来描述随机过程。 例如，可以用一维二维乃至n维的分布函数 或概率密度来描述。 在实际应用中，要确定随机过程的分布函数 族十分困难，甚至不可能。因而，有必要像随 机变量一样，引入描述随机过程的数字特征。
n =1 ∞
由欧拉公式 得 其中
e jnω1t − e− jnω1t sin nω1t = 2j
e jnω1t + e− jnω1t cos nω1t = 2j
f (t ) =
n = −∞
∑
∞
F ( n ω 1 ) e jn ω 1t
F ( 0) = a 0
1 F(nω1) = (an − jbn ) 2
路面的不平会给汽车输入振动或冲击， 使汽车产生振动，在经典动力学中把路面 不平度简化为一个三角函数，如正弦函数 来加以讨论，这与真实路面情况出入较大。 六十年代开始，随机振动理论得到发 展，给路面不平度的研究带来了新的方法 和新的思路。
第4章 路面及其模型
4.1 路面不平的统计描述 4.2 路面的统计特性 4.3 路面不平度时域的数值模拟
t1时刻对数学期望的偏离程度。
随机过程的二维数字特征 （3） 自相关函数 均值和方差是刻划随机过程在各个孤立时 刻统计特性的重要数字特征。 不能描述随机过程两个不同时刻状态之间 的联系。例如两个随机过程可以具有相同的 均值和方差，但却有完全不同的内部结构。 需要利用二维概率密度引入新的数字特征。
1
∞
jnω1t
1 ~ − jnω1t F(nω1) = ∫ T1 f (t).e .dt T1 − 2
T 1 2
F ( n ω 1 ).
傅立叶 变换
2π
T1 → ∞
=
ω1
∫
∞
−∞
f ( t ).e
− jn ω 1t
.dt
F (ω ) = ∫
∞
−∞
f (t ).e
− jω t
dt
傅立叶的逆变换
∞ ~ f (t ) = ∑ F ( nω1 ).e jnω1t n = −ω
频率也变成连续变量
2π ω1 = → 0 → dω T1
nω1 → ω
频谱演变的定性观察
2π ω1 = T1
F (nω1 )
-T/2
T/2
F ( nω1 )
ω1
F(nω 1)
ω1
-T/2
T/2
−∞
∞
−
2π
2π
τ
τ
从周期信号FS推导非周期的FT
~ f (t ) =
n =−
F (nω ).e ∑ ω
各态历经随机过程
1 a = x (t ) = lim T →∞ T
∫
T /2
−T / 2
x (t )dt
1 R (τ ) = x (t ) X (T + τ ) = lim T →∞ T
∫
T /2
−T / 2
x (t ) X (T + τ )dt
“各态历经”的含义：随机过程中的任一实现都经历了随 机过程的所有可能状态。 因此，无需获得大量用来计算统计平均的样本函数，而只 需从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的 数字特征，从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实 际测量和计算的问题大为简化。 即各态历经随机过程，其集合平均的数字特征不随时间变 化，且与任意样本时间平均的数字特征相同。
图4-3 随机过程
¾ 随机过程的数学定义： ¾ 设随机试验E的可能结果为x(t)，试验的样本 空间S为{x1(t), x2(t)， …, xn(t),…}， xi(t)是第i 次试验的样本函数或实现，每次试验得到一 个样本函数，所有可能出现的结果的总体就 构成一随机过程，记作X(t)。 ¾ 两层含义： 随机过程X(t)在任一时刻都是随机变量； 随机过程X(t)是大量样本函数的集合。
• 设x(t)是零均值的随机信号，且x(t) 中无周期性分 量，其自相关函数 Rx (τ → ∞ ) = 0 ，自相关函数满足
富立叶变换条件 ∫−∞ Rx (τ ) dτ < 0
∞
• 工程中对信号进行隔直 处理，使 μ x = 0 。 • 对于含有周期成分的信 号，用窗函数(window function)截断，使 得 τ ≠→ ∞ 。
随机过程称为平稳随机过程。
平稳过程的数字特征有如下的性质：
3.
平稳过程的任一个状态的均值、均方值都相等。两个状 态之间的相关函数仅仅是两个状态之间的时差τ 的函数。 一维分布与时间t无关， 二维分布只与时间间隔τ有关。
4.各态历经性
平稳随机过程在满足一定条件下有一个有趣而又 非常有用的特性， 称为“各态历经性”。 若平稳随机过程的数字特征（均为统计平均）完 全可由随机过程中的任一实现的数字特征（均为时 间平均）来替代，则称平稳随机过程具有“各态历 经性”。
∞ F (nω ) ∞ F(ω) ~ jnω1t 1 f (t ) = ∑ .e .ω1 = ∑ .e jnω1t .Δ(nω1) ω1 n=−∞ nω1=−∞ 2π
傅立叶 逆变换
T1 → ∞ ω1 → 0 nω1 → ω Δ(nω1 ) → dω ∞ 2π ∞ Δω = = ω1 F(nω1) →F(ω) → ∑ ∫− ∞ T1
（4） 互相关函数
3.平稳随机过程 在实际问题中，经常会碰到这样一类随机过程：
如河水的流动，总是在某一平均值周围连续地随机波动， 且其振幅、振动特性在时间增长过程中，基本保持不变。这 样的过程称之为平稳随机过程，简称为平稳过程。 一般来说，动力学系统的随机过程一开始是不平稳的，即 所谓过渡过程。当过渡过程消失，转入稳定状态以后，即可 认为是平稳随机过程。统计特性不随时间的推移而变化的
∞ −∞
f (t ).e − jω t dt = F (ω ) e jϕ (ω )
由欧拉公式得：
F (ω ) = ∫
∞
−∞
f (t )(cos ω t − j sin ω t ) dt
实部Re(ω)为偶函数，虚部Im (ω)为奇函数
4.1.3 随机信号的功率谱密度
在很多问题中，常需要利用傅里叶变换这一工具 来确立时间函数的频率结构。但一个时间函数 x(t)，-∞<t<+∞的傅里叶变换是否存在，取决于 能否满足
1 F(−nω1) = (an + jbn ) 2
引入了负频率
周期复指数信号的频谱图
F
n
0
ω
nω
1
Fn
nω 1
1
1
0
ω
指数形式的傅里叶级数的系数
F(nω1) = Fn
1 Fn = T1
∫
t 0 + T1
t0
f (t ) e
− jn ω 1 t
dt
两种傅氏级数的系数间的关系 F0 = c0 = a0 1 jϕ n Fn = Fn e = (an − jbn ) 2 1 − jϕ n F−n = F−n e = (an + jbn ) 2
路面不平给予汽车系统的激励是一种随 机过程，汽车的振动也是随机的，即在同 一条路面上测量其振动幅值与频率，各次 试验结果都不同，而且在试验之前无法预 测其试验结果，其振幅、速度、加速度均 为非确定函数。 随机振动服从概率统计规律，只能应用 概率统计理论来进行描述。
4.1 路面不平的统计描述 4.1.1 随机过程 4.1.2 傅里叶分析 4.1.3 功率谱密度
4.1.1 随机过程 1. 随机过程概念 2. 随机过程的数字特征 3. 平稳随机过程 4. 各态历经性
4.1.1 随机过程
1 随机过程概念 自然界中，事物的变化过程，可以分为两 大类。 一类变化过程是一个确定性的，可以用 确定性函数加以描述。 一类过程，没有确定的变化，没有必然 的变化规律，也不能用确定的函数加以描 述，这样的变化过程叫做随机过程。
∫
∞
−∞
x(t ) dt < ∞
即绝对可积
如能满足，则其傅里叶变换存在。
随机信号是时域无限信号，不具备可积分条件， 因此不能直接进行傅里叶变换。 随机信号的频率、幅值、相位都是随机的，因此 从理论上讲，一般不作幅值谱和相位谱分析，而 是用具有统计特性的功率谱密度(power spectral density)来作谱分析。 自功率谱密度函数(Auto-power spectral density function) 互功率谱密度函数(cross-power spectral density function) 相干函数(coherence function)与频率响应函数 (frequency response function)
n = −ω