2020高考虽然延迟，但是练习一定要跟上，加油，孩子们！ 一、填空题（4′×12）1．函数))((R x x f y ∈=图象恒过定点)1,0(，若)(x f y =存在反函数)(1x f y -=，则1)(1+=-x fy 的图象必过定点 ()1,1 。

2．已知集合{}R x y y A x ∈-==,12，集合{}R x x x y y B ∈++-==,322，则集合{}B x A x x ∉∈且=()+∞,2 。

3．若角α终边落在射线)0(043≤=-x y x 上，则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+)22arccos(tan α 71- 。

4．关于x 的方程)(01)2(2R m mi x i x ∈=+++-有一实根为n ，则=+ni m 1 i 2121- 。

5．数列{}n a 的首项为21=a ，且))((21211N n a a a a n n ∈+++=+Λ，记n S 为数列{}n a 前n 项和，则n S =1232-⎪⎭⎫⎝⎛⋅n 。

6．新教材同学做：若y x ,满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥-≤-≥+≤+1315y x y x y x y x ，则目标函数y x s 23-=取最大值时=x 4 。

老教材同学做：若)(13N n x x n∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-的展开式中第3项为常数项，则展开式中二项式系数最大的是第 5 项。

7．已知函数)20,0)(2sin()(πϕϕ<<>+=A x A x f ，若对任意R x ∈有)125()(πf x f ≥成立，则方程0)(=x f 在[]π,0上的解为 326ππor 。

8．新教材同学做：某校高二（8）班四位同学的数学期中、期末和平时成绩可分别用矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=6078929083768588,75809095321，XX X 表示，总评成绩分别按期中、期末和平时成绩的30%、40%、30%的总和计算，则四位同学总评成绩的矩阵X 可用321，X ，X X 表示为3213.04.03.0X X X X ++= 。

老教材同学做：某足球队共有11名主力队员和3名替补队员参加一场足球比赛，其中有2名主力和1名替补队员不慎误服违禁药物，依照比赛规定，比赛后必须随机抽取2名队员的尿样化验，则能查到服用违禁药物的主力队员的概率为 9125。

（结果用分数表示）9．将最小正周期为2π的函数)2,0)(sin()cos()(πϕωϕωϕω<>+++=x x x g 的图象向左平移4π个单位，得到偶函数图象，则满足题意的ϕ的一个可能值为 4π。

10．据某报《自然健康状况》的调查报道，所测血压结果与相应年龄的统计数据如下表，观察表中数据规律，并将最适当的数据填入表中括号内。

年龄（岁） 30 35 40 45 50 55 60 65 ……收缩压 （水银柱/毫米） 110 115 120 125 130 135 （140） 145 ……舒张压 （水银柱/毫米）70 73 75 78 80 73 85 （88） ……11．若函数⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=x x x f 241log ,log 3min )(，其中{}q p ,m in 表示q p ,两者中的较小者，则2)(<x f 的解为 404<<>x or X 。

12．如图，1P 是一块半径为1的半圆形纸板，在1P 的左下端剪去一个半径为21的半圆得到图形2P ，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径是前一个被剪掉半圆的半径）可得图形ΛΛ,,,,43n P P P ，记纸板n P 的面积为n S ，则=∞→n n S lim3π。

二、选择题（4′×4）13．已知c b a ,,满足0<<<ac a b c 且，则下列选项中不一定能成立的是 （ C ）A 、ac ab >B 、0)(>-a b cC 、22ca cb <D 、0)(<-c a ac 14．下列命题正确的是（ C ）A 、若A a n n =∞→lim ，B b n n =∞→lim ，则)0(lim≠=∞→n n n n b BAb a 。

B 、函数)11(arccos ≤≤-=x x y 的反函数为R x x y ∈=,cos 。

C 、函数)(12N m x y m m ∈=-+为奇函数。

D 、函数21)32(sin )(2+-=x x x f ，当2004>x 时，21)(>x f 恒成立。

15．函数11)(2-+-=x x a x f 为奇函数的充要条件是（ B ）A 、10<<aB 、10≤<aC 、1>aD 、1≥a16．不等式)10(2sin log ≠>>a a x x a 且对任意)4,0(π∈x 都成立，则a 的取值范围为 （ B ）A 、)4,0(π B 、)1,4(π C 、)2,1()1,4(ππ⋃ D 、)1,0(三、解答题：17．（本题满分12分）新教材同学做：在ABC ∆中，角C B A ,,所对边分别为c b a ,,，已知,2,32==c aC sin B sin 00 b c 2- = 0，求ABC ∆的面积S 。

A cos 0 1解：计算行列式的值，得 0sin cos 2sin =-B A c C b ，由正弦定理，得0sin sin cos 2sin sin =-C B A C B即21cos =A ，∴︒=60A ，再由C cA a sin sin =，得213260sin 2sin =︒=C ，∴︒=30C ∴ABC ∆是直角三角形，∴3221==ac S 。

老教材同学做：在ABC ∆中，角C B A ,,所对边分别为c b a ,,，已知,2,32==c a bctgB tgA 21=+，求ABC ∆ 的面积S 。

解：由b c tgB tgA 21=+及正弦定理，得 ()B C BB B A B A sin sin 2cos sin cos cos sin =+，即 21cos =A ，（其余同上）18．（本题满分12分）设复数)0,,(1≠∈+=y R y x yi x z ，复数)(sin cos 2R i z ∈+=ααα，且1121,2z R z z ∈+在复平面上所对应点在直线x y =上，求21z z -的取值范围。

解：⎩⎨⎧=∈+11121Im Re 2z z R z z ⎩⎨⎧≠=∈-++-⇒022222y x R yi x xyi y x ⎩⎨⎧≠==-⇒0022y x y xy 1==⇒y xi z +=⇒1121z z -()()⎪⎭⎫⎝⎛+-=-+-=4sin 223sin 1cos 122πααα ∴21z z -[]12,12+-∈19．（本题满分14分）已知关于x 的不等式052<--ax ax 的解集为M 。

（1）当4=a 时，求集合M ；（2）若M M ∉∈53且，求实数a 的取值范围。

解：（1）4=a 时，不等式为04542<--x x ，解之，得 ()⎪⎭⎫⎝⎛⋃-∞-=2,452,M （2）25≠a 时，⎩⎨⎧∉∈M M 53 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--<--⇒025550953aa aa⎪⎩⎪⎨⎧<≤<>251359a ora a ()25,935,1⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈⇒a 25=a 时，不等式为0255252<--x x ， 解之，得 ()⎪⎭⎫⎝⎛⋃-∞-=5,515,M ， 则 M M ∉∈53且， ∴25=a 满足条件综上，得 (]25,935,1⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈a 。

20．（本题满分14分）如图，一个计算装置有两个数据输入口Ⅰ、Ⅱ与一个运算结果输出口Ⅲ，当Ⅰ、Ⅱ分别输入正整数n m ,时，输出结果记为),(n m f ，且计算装置运算原理如下： ① 若Ⅰ、Ⅱ分别输入1，则1)1,1(=f ；②若Ⅰ输入固定的正整数， Ⅱ输入的正整数增大1，则输出结果比原来增大3；③若Ⅱ输入1， Ⅰ输入正整数增大1，则输出结果为原来3倍。

试求：（1）)1,(m f 的表达式)(N m ∈；（2）),(n m f 的表达式),(N n m ∈； （3）若Ⅰ、Ⅱ都输入正整数n ，则输出结果),(n n f 能否为2005？若能，求出相应的n ；若不能，则请说明理由。

解：（1）()()()()11231,131,231,131,--===-=-=m m f m f m f m f Λ（2）()()()()()()133131,232,31,,1-+=-+==⨯+-=+-=-n n m f n m f n m f n m f m Λ （3）()()133,1-+=-n n n f n ，∵()20057471837,76<=+=f ，()200522082138,87>=+=f∴),(n n f 输出结果不可能为2005。

21．（本题满分16分）对数列{}n a ，规定{}n a ∆为数列{}n a 的一阶差分数列，其中)(1N n a a a n n n ∈-=∆+。

对自然数k ，规定{}n k a ∆为{}n a 的k 阶差分数列，其中)(1111n k n k n k n k a a a a --+-∆∆=∆-∆=∆。

（1）已知数列{}n a 的通项公式),(2N n n n a n ∈+=，试判断{}n a ∆，{}n a 2∆是否为等差或等比数列，为什么？（2）若数列{}n a 首项11=a ，且满足)(212N n a a a n n n n ∈-=+∆-∆+，求数列{}n a 的通项公式。

（3）对（2）中数列{}n a ，是否存在等差数列{}n b ，使得n nn n n na Cb C b C b =+++Λ2211对一切自然N n ∈都成立？若存在，求数列{}n b 的通项公式；若不存在，则请说明理由。

解：（1）()()()2211221+=+-+++=-=∆+n n n n n a a a n n n ，∴{}n a ∆是首项为4，公差为2的等差数列。

()()2222122=+-++=∆n n a n∴{}n a 2∆是首项为2，公差为0的等差数列；也是首项为2，公比为1的等比数列。

（2）n n n n a a a 212-=+∆-∆+，即n n n n n a a a a 211-=+∆-∆-∆++，即n n n a a 2=-∆，∴n n n a a 221+=+∵11=a ，∴12224⨯==a ，232312⨯==a ，342432⨯==a ，猜想：12-⋅=n n n a 证明：ⅰ）当1=n 时，01211⨯==a ； ⅱ）假设k n =时，12-⋅=k k k a1+=k n 时，()()111212222-++⋅+=+⋅=+=k k k k k k k k a a 结论也成立∴由ⅰ）、ⅱ）可知，12-⋅=n n n a（3）n n n n n na Cb C b C b =+++Λ2211，即 122112-⋅=+++n nn n n n n C b C b C b Λ ∵()1112111013212321------⋅=++++=++++n n n n n n n n n n n n C C C C n nC C C C ΛΛ ∴存在等差数列{}n b ，n b n =，使得n nn n n na Cb C b C b =+++Λ2211对一切自然N n ∈都成立。