当b1 > = b0 / a1时， Re[h(jω)] > 0，W(s) 为严格正实函数 当b1 < b0 / a1时， W(s) 不是正实函数
正实函数判定引理

定理 1 设h(s) = M(s)/N(s) , 如满足：

M(s)与N(s) 都具有实系数；
M(s)与N(s) 都是古尔维茨多项式； M(s)与N(s) 的阶数之差不超过1； 1/ h(s) 仍为正实函数；
对于任意给定的正定矩阵 Q ，存在唯一的正定对称 矩阵P，使 ATP+PA=－Q 成立。
线性定常系统的李雅普洛夫稳定性分析
【例2】设系统状态方程为： x1 求系统的Liyapunov函数 【解】设
4 x1 0 x 8 12 x 2 2
x0 xe , t t0
若对任意规定ε，在 t →0过程中， 满足：
x(t; x0 , t0 ) xe , t t0
则平衡点 xe 是在李雅普洛夫意 义下是稳定的。 δ与ε有关，通常也与 t0有关。 如果δ与t0无关，则为一致稳定。

李雅普洛夫意义下的稳定性

渐近稳定
1. 2. 3. 4.
1. 正实函数与正实矩阵

定义1 (正实函数) 复变量 s = ζ+ jω的有理函数
h(s) 若满足：

当s 为实数时，h(s)是实的；
对于所有Re s > 0 的 s ，Re[h(s)] >= 0;

则h(s) 称为正实函数。
正实函数与正实矩阵

定义2 (正实函数) 复变量 s = ζ+ jω的有理函数h(s) 若满
李雅普洛夫第二法

定理4 对定常系统 x f ( x) ,
t 0
其中f (0) = 0，如果存在一个具有连续一阶导数的标量 函数V(x), V(0) = 0, 对于状态空间的一切非零x 满足：

V(x)为正定的； V(x)的导数为半负定的； 对任意 x X , 当
V ( x(t; x0 ,0))

能量函数总大于零； 对稳定系统，能量函数具有衰减特性，即能量函数 的导数应小于零。

李雅普洛夫第二法

定理2 对连续时间非线性时变自由系统
x f ( x, t ) , t t 0
其中f (0, t ) = 0为系统的平衡状态。如果存在一个对x 和 t 具有连续一阶偏导数的标量函数V(x,t ), V(0,t ) = 0, 且满足如下条件：

V(x,t)正定且有界，或V(x)为正定的； V(x,t)对时间 t 的导数正定且有界， V(x)的导数为正 定的；
则系统平衡状态为不稳定。
李雅普洛夫第二法举例
【例1】设系统状态方程为
2 1 x2 x1 ( x12 x2 ) x 2 x2 x1 x2 ( x12 x2 )
正实函数举例
【例1】
1 W (s) , a0 sa
a j W ( j ) 2 a 2 a Re[W ( j )] 2 0 2 a
故W(s) 为严格正实的。
W(s) 极点为s＝－a，a > 0，且
正实函数举例
【例2】
1 W ( s) 2 , a0 0 , a1 0 s a1s a0

设平衡点 xe 是在李雅普洛夫意义 下是稳定的，同时满足
lim x (t ; x0 , t0 ) xe 0
t
则称该平衡状态是渐近稳定的。
李雅普洛夫意义下的稳定性

大范围（全局）渐近稳定

当初始条件扩展至整个状态空间，平衡状态 均具有渐近稳定性，称为大范围（全局）渐 近稳定。
对线性系统，如果是渐近稳定的，则必定是 大范围渐近稳定的。 非线性系统的稳定性往往与初始条件有关。
xe f ( xe , t ) 0
即 x不再随时间变化

对线性定常系统： 其平衡状态满足
x Ax
Axe 0
当A 非奇异，只有唯一零解（即零状态）； 当A 奇异，有无穷多个平衡点。

对非线性系统，可能有一个或多个平衡状态。
李雅普洛夫意义下的稳定性

李雅普洛夫意义下的稳定性

对平衡状态xe，初始状态 x0，
5 1 16 16 P 1 1 16 16
故系统渐近稳定
线性定常系统的李雅普洛夫稳定性分析

线性定常离散系统渐近稳定性的判定
设线性定常离散系统状态方程为：
x(k 1) Φx(k ) , x(0) x0 , k 0,1,2,... 取正定二次型函数
V ( x (k )) x T (k ) Px(k ) 则有 V ( x (k )) V ( x (k＋ )) V ( x (k )) ＝ 1－ ＝x T (k 1) Px( k 1) x T (k ) Px(k ) [Φ x (k )]T P[Φx( k )] x T (k ) Px(k ) 令 则 Φ T PΦ P Q V ( x (k ))＝－x T ( k )Qx(k )
4. 线性定常系统的李雅普洛夫稳定性分析

线性定常连续系统渐近稳定性的判定

对系统
x Ax , x(0) x0 , t 0,
选择一正定二次型函数 P 为正定对称矩阵
V ( x) xT Px
则有 令 则

V ( x ) x T Px x T Px x T ( AT P PA) x AT P PA＝－Q V ( x ) x T Qx

V(x,t)正定且有界，即有 x V ( x, t ) x 0

V(x,t)对时间 t 的导数负定且有界，即有V ( x, t ) r x 0
当 x 时， x , V ( x, t )

则系统原点平衡状态为大范围一致渐近稳定的。
李雅普洛夫第二法
足：

当s 为实数时，h(s)是实的； h(s)在右半开平面 Re s > 0 上没有极点； h(s)在虚轴上如果存在极点，则是相异的（即无重极 点），且其留数为正或零； 对于任意实数ω ,当s = jω不是 h(s) 的极点时，有Re[h(j ω)] >= 0;

则h(s) 称为正实函数。
p11 P p21
p12 1 0 , 且p21 p12 , Q 0 1 p22
则由 ATP+PA=－Q 可解得
5 p11 , 16
1 p12 p21 , 16
1 p22 16
线性定常系统的李雅普洛夫稳定性分析
显然，
为正定矩阵 验证： 5 1 1 2 1 1 V ( x) xT Px x12 x1 x2 x2 x12 ( x1 x2 ) 2 , 正定 16 8 16 4 16 ( x) 1 x x 1 ( x x )(x x ) 1 2 V 1 1 1 2 2 8 2 2 x1 x2 ( x1 x2 ) 2 ( x12 x2 )， 负定

系统的每一平衡状态是在李雅普洛夫意义下稳定的充要 条件为：A 的所有特征值均具有非正实部，且具有零实 部的特征值为单根；

系统的唯一平衡状态 xe=0 是渐近稳定的充要条件为：A 的所有特征值均具有负实部。
3. 李雅普洛夫第二法
又称直接法，引入一个能量函数（即李雅普洛
夫函数），利用该函数及其导数函数的符号特征直 接对平衡状态的稳定性做出判断。
李雅普洛夫第二法举例
【例2】设系统状态方程为
x1 x2
x2 x1 (1 x2 ) 2 x2
【解】显然，原点为系统的唯一平衡状态 选一正定的标量函数

V(x) 对时间的导数为半负定

检验 V ( x(t; x0 ,0))
是否不恒为0

当 x 时, V ( x) 故系统在原点处是大范围渐近稳定的。
自适应控制理论基础
一 二 三
李雅普洛夫稳定性理论 动态系统的正实性 超稳定性理论
一 李雅普洛夫稳定性理论
1. 2. 3. 4.
李雅普洛夫意义下的稳定性 李雅普洛夫第一法 李雅普洛夫第二法 线性定常系统李雅普洛夫稳定性分析
1. 李雅普洛夫意义下的稳定性

平衡状态
满足
x f ( x, t )
可以验证，W(s) 在右半平面无极点，
a0 2 ja1 W ( j ) (a0 2 ) 2 (a1 ) 2 a0 2 Re[W ( j )] 2 2 2 (a0 ) (a1 )
可知，当ω2> a0时， Re[h(jω)] < 0，故W(s) 不是正实函数
【解】显然，原点为系统的唯一平衡状态 选一正定的标量函数
2 2 V ( x) x1 x2

沿任意轨迹V(x)对时间的导数
2 2 V ( x) 2 x1 x1 2 x2 x2 2( x1 x2 )2

当 x 时, V ( x)
即为负定的
故系统在原点处是大范围渐近稳定的。
不恒为0 ；
x 时, V ( x)
则系统原点平衡状态为大范围一致渐近稳定的。
李雅普洛夫第二法

定理 5 （系统不稳定判定）
对时变或定常系统， 如果存在一个具有连续一阶（偏）导数的标量函数 V(x,t), 或V(x), （其中V(0,t) = 0, V(0) = 0），对于状态空 间中围绕原点的某个域的一切 x和一切 t > t0 满足：
正实函数与正实矩阵