G(M , M 0 ) 0, M M 0 , z 0 G z0 0
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HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
在区域外找出区域内一点关于边界的象点，在这两个点放 置适当的电荷，这两个电荷产生的电位在曲面边界上相互抵消。 这两个电荷在区域中形成的电位就是所要求的格林函数。
0
其通解为：V (r) c1 ln r c2, (r 0, c1, c2 为任意常数)。
若取
c1
1, c2
0,
则得到特解
V0 (r)
ln
1,
r
称此解为二维
Laplace方程的基本解.
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第4章格林函数法
4.1.2 格林公式
由高斯公式
P cos(n,
v(M ) 0, M
v
1
4 rMM0
(4.2.8)
称由函数v确定的格林函数为第一边值问题的格林函数。
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第4章格林函数法
4.2.2 格林函数的性质
1. 格林函数 G(M , M 0 ) 在除去点 M M 0 外处处满足
Laplace方程，当 M M 0 时， G(M , M 0 ) ,
dS
(4.2.3)
选择调和函数v满足
1 v
4 rMM0
,于是有：
u(M0)
u ( 1 v)dS
n 4rMM0
(4.2.4)
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第4章格林函数法
记
G(M , M0)
1
4 rMM0
v
(4.2.5)
则有
u(M
0
)
u
Gds n
(4.2.6)
称 G(M , M 0 ) 为Laplace方程的格林函数。若G(M , M 0 ) 存在
由于调和函数有积分表示:
u
(M
0
)
1
4
u(M )
(
1
)
1
u(M
)
dS
(4.2.1)
n rMM0 rMM0 n
又因为Dirichlet边值问题uu 0,fx , 的解唯一,故希望
将此问题的解用积分表示出来。但由于在积分表达示中，u
在边界上的值虽然已知,而 u 在边界上的值却不知道.那么, n
u
SR
(
M
1
)ds
u(M1)
这与平均值性质矛盾。由于 R 的任意性，则在球 kR 中
恒有 u u(M1 ) .任取 N ,在 中作连结 M 1 ， N 两
点的折线 L ，记L到 的边界 的最小距离为 d，以M 1
为中心，小于d 的数为半径在 内作求 K1 ，则在 K1上
u(M ) u(M1 ) 。设 M 2 是 K1 的球面 S1 与折线 L 的交点，
第4章格林函数法
4.3 格林函数的应用 用镜象法求特殊区域上的函数。
4.3.1 上半空间内的Green函数及Dirichlet问题
求解上半空间 z 0 内的Dirichlet问题
uxx uyy uzz 0, z 0 u z0 f (x, y), x, y
（4.3.1）
先求上半空间 z 0 内的Green函数 G(M , M 0 )，即求解问题
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第四章
第4章格林函数法
格林函数法
分离变量法主要适用于求解各种有界问题，而 傅立叶变换法则主要适用于求解各种无界问题， 这两种方法所得到的解一般分别为无穷级数和 无穷积分的形式。格林函数法给出的解则是有 限的积分形式，十分便于理论分析和研究。
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性质1. 设 u(x, y, z) 是区域 内的调和函数，它在
上有一阶连续偏导数，则
udS n
0,
其中
,
n
是 的外法线方向。
证明 只要在Green公式中取 v 1即证。
注：此性质表明调和函数的法向导数沿区域边界的积分为零。 对稳定的温度场，流入和流出物体界面的热量相等，否则就 不能保持热的动态平衡，而使温度场不稳定。
(uv
vu)dV
(u
v n
v
u )dS n
调和函数：具有二阶偏导数并且满足拉普拉斯方程的连续函数。
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4.1.3 调和函数的积分表达式
由Green公式可导出调和函数的积分表示。由于函数：
1
1
rMM0
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2
除在 M0 点外处处满足三维Laplace方程u 0，于是有
定理：若函数 u 在 上有一阶连续偏导数，且在
内调和，则
u
(M
0
)
1
4
u(M )
(
1 )
1
u(M
)
dS
n rMM0 rMM0 n
调和函数在区域内任一点的值可以通过积分表达式用这个
函数在区域边界上的值和边界上的法向导数来表示。
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思考：Laplace方程Neumann问题有解的必要条件是什么？
u
0, u n
|
f.
udS n
f
dS
0.
性质2 (平均值定理) 设函数 u(M ) 在区域 内调和，
M 0 是 内任意一点，若 a 是以 M 0 为中心，a为半径
令P u
x) Q cos(n, y)
v ,Q u v ,
R
R cos(n,
u v
z)
d
S
P
x
Q y
R z
,则得到格林第一公式：
dV
x
y
z
uvdV
(
u x
v x
u y
v y
u z
v )dV z
u
vdS n
vudV
( u x
v x
u y
v y
u z
v )dV z
v
udS n
将以上两公式相减，得到格林第二公式：
能因否为作,此为时边的界解条已件经加是上唯一un的了|.那的么值只呢有？想显办然法这去是掉行不un通的|，
为此，引入格林函数的概念。
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格林函数的物理背景
原点处点电荷电量 0 ，点电荷密度 0 r
M (x, y, z) 处点电位u(M ) 1
上有
n
(1) r
1 r2
1 a2
，所以
1
u(M 0 ) 4a2
udS.
a
上式称为调和函数的球面平均值公式。
性质3 (极值原理) 设函数 u(x, y, z) 在区域 内调和，
它在 上连续且不为常数，则它的最大值与最小值
只能在边界上达到。
推论1 设在 内有 u 0, v 0;u, v 在
上连续且在边界 上有 u v，则在 内有 u v.
推论2
Dirichlet问题uu0,f
(
(x, y, z x, y, z)
)
的解是唯一的。
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证明： （ 反证法）假设 u 在 内某点 M 1 达到最大值，
如图4.1 , 以 M 1 为中心，任意长 R 为半径作球 k R ,使
的球面，此球完全落在区域 的内部，则有
1
u(M 0 ) 4a2
udS
a
证明： 由调和函数的积分表示：
1
u(M 0 ) 4
a
u
n
(1) r
1 r
u n
dS
及由性质1，有
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1 u
1 u
dS
dS 0
a r n
a a n
又因为，在a
任意性 ,就得到整个 上有 u( N ) u( M 1 ) ,这与 u 不为
常数矛盾.
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K1 M2 l M1 K2 M3
S1 S2
Kn N Mn Sn
图4.1
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4.2 格林函数
1
其阶数与 相同。
rMM0
2. 在边界上，格林函数恒等于零：G(M , M
3. 在区域 内成立不等式：0 G(M , M0
（用极值原理证明）
0
)
)
0.
1
4rMM0
4. G(M1, M2 ) G(M2, M1) （由格林第二公式证明）
5.
G n
dSM
1
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格林函数又称为点源函数或影响函数。顾名思
义，它表示一个点源在一定的边界条件和(或)初值条
件下所产生的场或影响。由于任意分布的源所产生的
场均可看成许许多多点源产生的场的叠加，因此格林
函数一旦求出，就可算出任意源的场。格林函数法以 统一的方式处理各类数学物理方程，既可以研究常微 分方程，又可以研究偏微分方程；既可以研究齐次方 程又可以研究非齐次方程；既可以研究有界问题，又 可以研究无界问题。它的内容十分丰富，应用极其广 泛。这一章，我们主要介绍用格林函数求解拉普拉斯