b
正交函数系
正交函数系的性质
Th3.3, [a , b]上关于权函数 ( x )的正交函数系
0 , 1 , n必线性无关
证: （反证法） 假设 0 , 1 , n线性相关，则存在不全 为0 的c0 , c1 , cn 使得c0 0 cn n 0
不妨设ci 0,同乘 ( x ) i ( x )后积分 c0 ( 0 , i ) ci ( i , i ) cn ( i , n ) 0
j ( x)ຫໍສະໝຸດ 常用正交多项式系1.切比雪夫多项式系{Tk ( x )}, 令x cos Tn ( x ) cos n , 一般地
T1 ( x ) x T0 ( x ) 1 Tk 1 ( x ) 2 xTk ( x ) Tk 1 ( x ) k 1
它在[1，上关于权函数 ( x ) 1]
由Th3.3得 0 , 1 , k 1线性无关
对任意 k 1次多项式 Qk 1 ( x )有 Q k 1 ( x ) b j j ( x )
j0 k 1
( x ) k ( x )Qk 1 ( x )dx
a
b
( x ) k ( x )[ b j j ( x )]dx 0
1 1 x
2
正交
(Tn , Tm )
1
1
nm 0 1 Tn ( x )Tm ( x )dx / 2 n m 0 1 x2 nm0
前四项为 : T（x ) 1, T1 ( x ) x 0 T2 ( x ) 2 x 1, T3 ( x ) 4 x 3 x
前四项为：P0 ( x ) 1, P1 ( x ) x P2 ( x ) ( 3 x 1) / 2
2
P3 ( x ) (5 x 3 3 x ) / 2
在[1,1]上关于权函数 ( x ) 1正交 nm 0 2 ( Pn , Pm ) Pn ( x ) Pm ( x )dx nm 1 2n 1
1
注：在[a , b]上关于 ( x ) 1的正交多项式 ba ba 令x t , x [a , b]时 2 2 t [1,1] 2 x (b a ) ~ Pn ( x ) Pn ( t ) Pn ( ) ba
其它正交多项式系
• 拉盖尔(Laguerre)正交多项式系p77 • 埃尔米特(Hermite)正交多项式系p78
ci ( i , i ) 0 ci 0矛盾
Th3.4设 k ( x )( k 0,1, n)是最高次项系数 不为0的k次多项式，则 0 , 1 , n 是[a , b] 上关于权函数 ( x )的正交多项式系的充要 条件是k 1次多项式Qk 1 ( x )，均有 ( k , Qk 1 ) ( x ) k ( x )Qk 1 ( x )dx 0
又 k为k次多项式
2 2 k ( x ) 0, 且 k ( x ) 0, ( k 0,1,)
2 ( k , k ) ( x ) k ( x )dx 0 a
b
0 , 1 , n为正交多项式
( )设 0 , 1 , n为[a , b]上的关于权 ( x ) 的正交多项式系
正交多项式系
邹昌文
正交函数系
def .某函数系{ 0 , 1 , n }中每个函数 k ( x )都 在[a , b]上连续且不恒为零，权函数 ( x ) 0 i j 0 如果( i , j ) ( x ) i j dx a i j 0 则称此函数系 0 , n为[a , b]上关于权函数的
b a j 0
k 1
正交多项式的构造
给定区间[a , b]及权函数 ( x )，由线性无关幂函数 {1, x , , x n ,}，逐个正交化得{ n ( x )} 0
n 1 j0
0 ( x ) 1, n ( x ) x n
( n 1,2,)
( x n , j ( x )) ( j ( x ), j ( x ))
2 3
2.勒让德( Legende)多项式系 Pk ( x )} {
1 dn 2 n Pn ( x ) n ( x 1) n 2 n! dx
递推公式 P1 ( x ) x P0 ( x ) 1 2k 1 k Pk 1 ( x ) k 1 xPk ( x ) k 1 Pk 1 ( x ) k 1
a b
证： )k 1次多项式Qk 1有 (

b
a
( x )k ( x )Qk 1 ( x )dx 0
( k 1, 2,)
特别地，对 j ( x )( j 0,1, k 1)有

b
a
( x ) k ( x ) j ( x )dx 0
即k j , ( k , j ) 0