n
n
n
∑
n
t =1
Ψ i ( xt ) = 0
i=1,2…k (8-8)
∑
于是
−
t =1
Ψ i ( xt ) Ψ j ( xt ) = 0
i≠j
1 n Ψ i ( xt ) = (∑ Ψ i ( xt ) = 0 n t =1
0 i≠j
2 i
(8-9)
Lij =
n
(8-10)
∑Ψ
t =1
n
( xt )
x '− a x = h
' i
(8-1)
式中ｈ 式中ｈ——因素水平间的间距 因素水平间的间距 在数学分析中讲到,相当广泛一类曲线可以用多项式去逼近 相当广泛一类曲线可以用多项式去逼近,把这个思 在数学分析中讲到 相当广泛一类曲线可以用多项式去逼近 把这个思 想用到回归分析上,就产生了多项式回归 就产生了多项式回归。 想用到回归分析上 就产生了多项式回归。 设对应于ｘ ＝ｔ的实验结果为 的实验结果为ｙ ，（ｔ＝１ ｎ）。对这 设对应于ｘｉ＝ｔ的实验结果为ｙｔ，（ｔ＝１，２……ｎ）。对这 ｎ）。 一组响应值(观测值 我们配一个ｋ次多项式。 观测值)我们配一个 一组响应值 观测值 我们配一个ｋ次多项式。 (8-2) y = a0 + a1x + a2ｘ２ + …. + akxk
∧
(8-3)
（ｘ）看作是新变量 看作是新变量,则 ８ ３ 式就是一个ｋ次线性回归方程,其 将Ψｉ（ｘ）看作是新变量 则(８-３）式就是一个ｋ次线性回归方程 其 回归系数ｂ 由下面正规方程定: 回归系数ｂｉ由下面正规方程定 ｌ１１ｂ１＋ｌ１２ｂ２＋…＋ｌ１ｋ ｂｋ＝ｌ１ｙ ＋ｌ (8-4) ｌ２１ｂ１＋ｌ２２ｂ２＋…＋ｌ２ｋ ｂｋ＝ｌ２ｙ ＋ｌ …… ｌｋ１ｂ１＋ｌｋ２ｂ２＋…＋ｌｋｋｂｋ＝ｌｋｙ ＋ｌ 又 − − − −
2 2 t
n
−
n
(8-21)
而回归平方和
U = ∑ ( y − y ) = ∑ bi lij = ∑ bi Bi
2 t =1 i =1 i =1
n
∧
−
n
k
(8-22)
在用交多项式配回归中, 每次多项式Φ （ｘ）的系数 的系数ｂ 在用交多项式配回归中 每次多项式 ｉ（ｘ）的系数ｂｉ及相应的
Bi == ∑ φi ( xt ) yt
均方 1 1 … 1
F
一次φ ( x ) 1 回归 二次φ ( x ) 2 三次φ ( x ) 3
U
b1 B1 b2 B2 ⋅⋅⋅ bk Bk
Q = l yy − ∑ bi Bi
i =1 k
b1 B1 b2 B2 ⋅⋅⋅ bk Bk
b1 B1 S1 b2 B2 F2 = S2 ⋅⋅⋅ bB F3 = 3 3 S3 F1 =
n
t =1 k
( xt )yt ( xt )yt
(8-12)
∑
t =1
2 k
∑
t =1
于是Ψ （ｘ）的回归系数ｂｉ立即可以求得 的回归系数ｂｉ 于是 ｉ（ｘ）的回归系数ｂｉ立即可以求得
n
bi =
∑
t =1 n
Ψ i ( xt )yt Ψ
2 i
=
∑
t =1
( xt )
Bi Si
(8-13)
而常数项ｂ０根据（８-５）和（８-９）式也有更简单的表达式: 式也有更简单的表达式: 而常数项ｂ 根据（
i =1 n
只与ｙ 有关,而不随其它各次多项式的增减而变化 而不随其它各次多项式的增减而变化,在整个回归中多 只与ｙｔ及Φｉ（ｘｔ）有关 而不随其它各次多项式的增减而变化 在整个回归中多 配一项Φ （ｘ）就使回归平方和增加一项 就使回归平方和增加一项ｂ 配一项 ｉ（ｘ）就使回归平方和增加一项ｂｉＢｉ,因此可以把 因此可以把
这一组多项式称为正交多项式。式中ｘ的取值ｘ 这一组多项式称为正交多项式。式中ｘ的取值ｘ１、ｘ２…ｘｔ…ｘｎ ｘ ｘ 一组为标准等距点,多项式中 为因素取值的个数(即水平数 多项式中ｎ 即水平数),若不是可用 一组为标准等距点 多项式中ｎ为因素取值的个数 即水平数 若不是可用 (８-１)式化为标准等距点 式化为标准等距点, ８ １ 式化为标准等距点
（ｘ），Ψ （ｘ），…， （ｘ）分别是 的一次,二次及 分别是ｘ 二次及ｋ 设Ψ１（ｘ）， ２（ｘ）， ，Ψｋ（ｘ）分别是ｘ的一次 二次及ｋ次 多项式,则 ８ ２ 也可以用Ψ （ｘ）来表示 来表示。 多项式 则(８-２）也可以用 ｉ（ｘ）来表示。
y = b0 + b1Ψ1 ( x) + b2 Ψ 2 ( x) + ⋅⋅⋅ + bk Ψ k ( x)
1 n y = ∑ yt n t =1
Bi = liy = ∑ φi ( xt ) yt
从而
t =1 n
−
(8-16)
(8-17)
Bi bi = Si
（8－18）
b0 = y
则回归方程为∧Βιβλιοθήκη −i=1,2,….k
(8-19)
y = b0 + b1φ1 ( x) + b2φ2 ( x) + ⋅⋅⋅ + bkφk ( x) = b0 + b1λ1Ψ1 ( x) + b2 λ2 Ψ 2 ( x) + ⋅⋅⋅ + bk λk Ψ k ( x)
(8-15)
在几个整数点上的值都为整数。对给定的ｎ 水平数 相应的λ 水平数),相应的 在几个整数点上的值都为整数。对给定的ｎ(水平数 相应的 ｉ及Φ
Si = ∑ φi2 ( xt )
i =1
n
都已制成表(见附录中正交多项式表 实际计算可以充分利用这些表进行 都已制成表 见附录中正交多项式表),实际计算可以充分利用这些表进行。 见附录中正交多项式表 实际计算可以充分利用这些表进行。
b0 = y − b1 ( x) Ψ1 ( x) − b2 Ψ 2 ( x) − ⋅⋅⋅ − bk Ψ k ( x)
(8-5)
其中: 其中:
lij = ∑ [ Ψ i ( xt ) − Ψ i ( xt )][Ψ j ( xt ) − Ψ j ( xt )]
t =1 n 1 n = ∑ Ψ i ( xt ) Ψ j ( xt ) − (∑ Ψ i ( xt ))(∑ Ψ j ( xt ) n t =1 t =1 t =1 n
n
−
−
(8-6)
liy = ∑ [ Ψ i ( xt ) − Ψ i ( xt )][ yt − y ]
t =1
n
n
−
i,j=1,2…k (8-7) i=1,2…k
1 = ∑ Ψ i ( xt ) yt − (∑ Ψ i ( xt ))(∑ yt ) n t =1 t =1 t =1
为了简化计算,我们选择这样的 （ｘ）,使 为了简化计算 我们选择这样的Ψｉ（ｘ） 使 我们选择这样的
(8-20)
(2) 计算各个 ｉ的系数ｂｉ后,就可以按第七章讲的多元线性回归的程序作方 计算各个Φ 的系数ｂ 就可以按第七章讲的多元线性回归的程序作方 差分析,ｙ的总平方和ｌ 仍按通常的公式计算,即 差分析 ｙ的总平方和ｌｙｙ仍按通常的公式计算 即
1 n l yy = ∑ ( yt − y ) = ∑ y − (∑ yt ) 2 n t =1 t =1 t =1
剩余
n-k-1
S2 =
Q n − k −1
总计
lyy
n-1
进行F检验 Ｆ 的自由度为(1,ｎ－ｋ－ ｎ－ｋ－１ 对于那些不显著的高次项可 进行 检验,Ｆｉ的自由度为 ｎ－ｋ－１）,对于那些不显著的高次项可 检验 以把它们从回归方程取消。而如果检验的结果都显著 同时所配多项式的 以把它们从回归方程取消。而如果检验的结果都显著,同时所配多项式的 精度不够满意的话则可继续增添更高次的项。 精度不够满意的话则可继续增添更高次的项。 例８-１为了考察维尼纶纤维在缩醛化工序中甲醛浓度ｘ与纤维醛化度ｙ １为了考察维尼纶纤维在缩醛化工序中甲醛浓度ｘ与纤维醛化度ｙ 的定量关系,对 种不同的甲醛浓度各进行了若干次实验 种不同的甲醛浓度各进行了若干次实验,测出各种浓度的 的定量关系 对7种不同的甲醛浓度各进行了若干次实验 测出各种浓度的 平均缩醛化度如下: 平均缩醛化度如下
xi' =
x '− a h
设自变量(因素 是可控制的 因素水平取值的间距并非都为ｈ＝ 但 设自变量 因素)X是可控制的 因素水平取值的间距并非都为ｈ＝１,但 因素 是可控制的,因素水平取值的间距并非都为ｈ＝１ 可有意识地安排它取某间隔的数值. 是,可有意识地安排它取某间隔的数值 可有意识地安排它取某间隔的数值 任何一组等距点ｘ ＝ａ＋２ 任何一组等距点ｘ１＝ａ＋ｈ，ｘ２＝ａ＋２ｈ……ｘt＝ａ＋ｔｈ ｘ ＝ａ＋ｔｈ…… ＝ａ＋ｎｈ，都可以通过下式化为一组标准等距点 ｈ＝１ 都可以通过下式化为一组标准等距点(即 ｘｎ＝ａ＋ｎｈ，都可以通过下式化为一组标准等距点 即ｈ＝１的一组 点),1,2……ｔ……ｎ(即ｈ＝１的一组点 。 ｔ ｎ 即ｈ＝１的一组点)。
− n +1 x= 2
由于Ψ （ｘ），ｉ＝１ 由于 ｉ（ｘ），ｉ＝１，２…ｎ的值不一定都为整数 因此为方便起 ｎ的值不一定都为整数,因此为方便起 通常引进适当的系数λ 见,通常引进适当的系数 ｉ，使 通常引进适当的系数
φi ( x) = λi Ψ i ( x)
（ｘ）在 ｎ ｉ（ｘ）在1,2,…,ｎ各整数点的数值及
第八章
正交多项式回归 正交多项式回归
８.１正交多项式回归
正交多项式回归设计是将正交试验法与多项式回归分 析结合起来,使之兼有两者的优点, 析结合起来,使之兼有两者的优点,是一种很好的试验设计 方法。 方法。