甘肃省庆阳市环县中考数学模拟试卷（1月份）一、选择题（本题共60分，每小题6分）1．二次函数y=x2﹣2x+3的图象的顶点坐标是（）A．（1，2） B．（1，6） C．（﹣1，6）D．（﹣1，2）2．下面的几何体中，主视图为三角形的是（）A．B．C．D．3．若△ABC∽△DEF，相似比为1：3，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：9 B．1：3 C．1：2 D．1：4．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为（）A．1 B．C． D．5．已知一块蓄电池的电压为定值，以此蓄电池为电源时，电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图，则电流I关于电阻R的函数解析式为（）A． B． C．D．6．已知关于x的方程2x2﹣（4k+1）x+2k2﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k=﹣B．k≥﹣C．k＞﹣D．k＜﹣7．如图是一个用于防震的L形的包装用泡沫塑料，当俯视它时看到的图形形状是（）A．B．C．D．8．如果两圆的半径是3cm和4cm，圆心距是1cm，那么这两个圆的位置关系为（）A．外切 B．内切 C．相交 D．内含9．有一盒水彩笔除了颜色外无其他差别，其中各种颜色的数量统计如图所示．小腾在无法看到盒中水彩笔颜色的情形下随意抽出一支．小腾抽到蓝色水彩笔的概率为（）A．B．C．D．10．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AB为直径的圆交BC于D，则图中阴影部分的面积为（）A．1 B．2 C．1+D．2﹣二、填空题（本题共20分，每小题4分）11．已知两个相似三角形相似比是3：4，那么它们的面积比是．12．如果双曲线经过点（2，﹣1），那么m=．13．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，则sinA=．14．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷第九勾股，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”（注：1里=300步）你的计算结果是：出南门步而见木．15．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AD，AB的中点，EF交AC于点H，则的值为．三、解答题（本题共70分）16．计算：cos45°﹣tan30°•sin60°．17．解方程：（1）x2﹣3x﹣1=0．（2）x2+4x﹣2=0．18．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）如果BC=，AC=3，求CD的长．19．如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F．（1）△ABE与△ADF相似吗？请说明理由．（2）若AB=6，AD=12，BE=8，求DF的长．20．如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°．（1）求证：DP是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积．21．如图，一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏西30°方向，轮船航行2小时后到达B处，在B处测得灯塔C在北偏西60°方向．当轮船到达灯塔C的正东方向的D处时，求此时轮船与灯塔C的距离．（结果保留根号）22．如图，已知A（n，﹣2），B（1，4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C．（1）求反比例函数和一次函数的关系式；（2）求△AOC的面积；（3）求不等式kx+b﹣＜0的解集．（直接写出答案）甘肃省庆阳市环县中考数学模拟试卷（1月份）参考答案与试题解析一、选择题（本题共60分，每小题6分）1．二次函数y=x2﹣2x+3的图象的顶点坐标是（）A．（1，2） B．（1，6） C．（﹣1，6）D．（﹣1，2）【考点】二次函数的性质．【分析】利用配方法把抛物线的一般式写成顶点式，求顶点坐标；或者用顶点坐标公式求解．【解答】解：∵y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=（x﹣1）2+2，∴抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是（1，2）．故选A．【点评】此题考查了二次函数的性质，通过配方法求顶点式是解题的关键．2．下面的几何体中，主视图为三角形的是（）A．B．C．D．【考点】简单几何体的三视图．【专题】常规题型．【分析】主视图是从几何体的正面看所得到的图形，根据主视图所看的方向，写出每个图形的主视图及可选出答案．【解答】解：A、主视图是长方形，故A选项错误；B、主视图是长方形，故B选项错误；C、主视图是三角形，故C选项正确；D、主视图是正方形，中间还有一条线，故D选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置．3．若△ABC∽△DEF，相似比为1：3，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：9 B．1：3 C．1：2 D．1：【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方解答即可．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为1：3，∴△ABC与△DEF的面积比为1：9，故选：A．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键．4．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为（）A．1 B．C． D．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】网格型．【分析】根据网格结构，找出合适的直角三角形，根据正切的定义计算即可．【解答】解：在Rt△ABD中，BD=4，AD=3，∴tan∠ABC==，故选：D．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．5．已知一块蓄电池的电压为定值，以此蓄电池为电源时，电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图，则电流I关于电阻R的函数解析式为（）A． B． C．D．【考点】反比例函数的应用．【分析】首先设I=，再把点（4，8）代入可得k的值，进而可得函数解析式．【解答】解：设I=，∵图象经过点（4，8），∴8=，解得：k=32，∴电流I关于电阻R的函数解析式为I=．故选：C．【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，关键是掌握反比例函数的图象是双曲线，凡是函数图象经过的点必能满足解析式．6．已知关于x的方程2x2﹣（4k+1）x+2k2﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k=﹣B．k≥﹣C．k＞﹣D．k＜﹣【考点】根的判别式．【专题】计算题．【分析】由于关于x的方程2x2﹣（4k+1）x+2k2﹣1=0有两个不相等的实数根，根据△的意义得到∴△＞0，即（4k+1）2﹣4×2×（2k2﹣1）＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围．【解答】解：∵关于x的方程2x2﹣（4k+1）x+2k2﹣1=0有两个不相等的实数根，∴△＞0，即（4k+1）2﹣4×2×（2k2﹣1）＞0，解得k＞﹣，∴k的取值范围是k＞﹣．故选C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个，相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．7．如图是一个用于防震的L形的包装用泡沫塑料，当俯视它时看到的图形形状是（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】找到从上面看所得到的图形即可．【解答】解：从上面看可得到两个左右相邻的矩形，故选B．【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．8．如果两圆的半径是3cm和4cm，圆心距是1cm，那么这两个圆的位置关系为（）A．外切 B．内切 C．相交 D．内含【考点】圆与圆的位置关系．【专题】计算题．【分析】由于两圆的半径是3cm和4cm，圆心距是1cm，易得两圆半径之差等于圆心距，根据圆与圆的位置关系的判定方法可得到这两个圆内切．【解答】解：∵两圆的半径是3cm和4cm，圆心距是1cm，∴4cm﹣3cm=1cm，即两圆半径之差等于圆心距，∴这两个圆内切．故选B．【点评】本题考查了圆与圆的位置关系：设两圆的半径是r和R，圆心距是d，当d＞r+R，两圆外离；当d=r+R，两圆外切；当R﹣r＜d＜r+R（R≥r），两圆相交；当d=R﹣r（R＞r），两圆内切；当0≤d＜R﹣r（R＞r），两圆内含．9．有一盒水彩笔除了颜色外无其他差别，其中各种颜色的数量统计如图所示．小腾在无法看到盒中水彩笔颜色的情形下随意抽出一支．小腾抽到蓝色水彩笔的概率为（）A．B．C．D．【考点】概率公式；条形统计图．【分析】根据统计图求出总的水彩笔和蓝色水彩笔的支数，再根据概率公式进行计算即可．【解答】解：图中共有水彩笔2+3+4+3+6+2=20支，其中蓝色水彩笔6支，则抽到蓝色水彩笔的概率为=；故选：C．【点评】本题考查了概率的求法与运用，根据概率公式求解即可：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．10．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AB为直径的圆交BC于D，则图中阴影部分的面积为（）A．1 B．2 C．1+D．2﹣【考点】圆周角定理；等腰直角三角形．【专题】压轴题．【分析】连接AD，OD，根据已知分析可得△ODA，△ADC都是等腰直角三角形，从而得到两个弓形的面积相等，即阴影部分的面积等于△ACD的面积，根据三角形面积公式即可求得图中阴影部分的面积．【解答】解：连接AD，OD∵∠BAC=90°，AB=AC=2∴△ABC是等腰直角三角形∵AB是圆的直径∴∠ADB=90°∴AD⊥BC∴点D是BC的中点∴OD是△ABC的中位线∴∠DOA=90°∴△ODA，△ADC都是等腰直角三角形∴两个弓形的面积相等∴阴影部分的面积=S△ADC=AD2=1．故选A．【点评】本题利用了等腰直角三角形的判定和性质，直径对的圆周角是直角求解．二、填空题（本题共20分，每小题4分）11．已知两个相似三角形相似比是3：4，那么它们的面积比是9：16．【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可直接得出结果．【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是3：4，∴它们的面积为9：16．故答案为9：16．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．12．如果双曲线经过点（2，﹣1），那么m=﹣2．【考点】待定系数法求反比例函数解析式．【专题】待定系数法．【分析】把（2，﹣1）代入函数y=中可先求出m的值．【解答】解：由题意知，m=2×（﹣1）=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了待定系数法求解反比例函数解析式，此为近几年中考的热点问题，同学们要熟练掌握．13．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，则sinA=．【考点】同角三角函数的关系．【分析】根据tanA=，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出sinA的值．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∵tanA==，∴设a=3x，则b=4x，则c==5x．sinA===．故答案是：．【点评】本题考查了同角三角函数的关系．求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．14．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷第九勾股，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”（注：1里=300步）你的计算结果是：出南门315步而见木．【考点】相似三角形的应用．【分析】根据题意写出AB、AC、CD的长，根据相似三角形的性质得到比例式，计算即可．【解答】解：由题意得，AB=15里，AC=4.5里，CD=3.5里，△ACB∽△DEC，∴=，即=，解得，DE=1.05里=315步，∴走出南门315步恰好能望见这棵树，故答案为：315．【点评】本题考查的是直角三角形三边关系，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．15．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AD，AB的中点，EF交AC于点H，则的值为．【考点】平行四边形的性质；三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，又由点E，F分别是边AD，AB的中点，可得AH：AO=1：2，即可得AH：AC=1：4，继而求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，∵点E，F分别是边AD，AB的中点，∴EF∥BD，∴△AFH∽△ABO，∴AH：AO=AF：AB，∴AH=AO，∴AH=AC，∴=．故答案为：．【点评】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．三、解答题（本题共70分）16．计算：cos45°﹣tan30°•sin60°．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．【解答】解：原式=×﹣•=1﹣=．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．17．解方程：（1）x2﹣3x﹣1=0．（2）x2+4x﹣2=0．【考点】解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-配方法．【分析】（1）利用一元二次方程的求根公式直接求解即可；（2）利用配方法解方程即可．【解答】解：（1）∵a=1，b=﹣3，c=﹣1，∴b2﹣4ac=9+4=13，∴x=，∴方程的解为：x1=，x2=；（2）移项得：x2+4x=2，配方得：x2+4x+4=2+4，即（x+2）2=6，∴x+2=±，∴x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．【点评】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是根据不同的一元二次方程选择不同的求根方法，难度不大．18．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）如果BC=，AC=3，求CD的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）根据相似三角形的判定得出即可；（2）根据相似得出比例式，代入求出即可．【解答】（1）证明：∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，∴△ACD∽△ABC；（2）解：∵△ACD∽△ABC，∴=，∴=，∴CD=2．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是能根据相似三角形的判定定理推出△ACD∽△ABC．19．如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F．（1）△ABE与△ADF相似吗？请说明理由．（2）若AB=6，AD=12，BE=8，求DF的长．【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质．【专题】几何综合题．【分析】（1）根据矩形的性质和DF⊥AE，可得∠ABE=∠AFD=90°，∠AEB=∠DAF，即可证明△ABE∽△DFA．（2）利用△ABE∽△ADF，得=，再利用勾股定理，求出AE的长，然后将已知数值代入即可求出DF的长．【解答】解：（1）△ABE与△ADF相似．理由如下：∵四边形ABCD为矩形，DF⊥AE，∴∠ABE=∠AFD=90°，∠AEB=∠DAF，∴△ABE∽△DFA．（2）∵△ABE∽△ADF∴=，∵在Rt△ABE中，AB=6，BE=8，∴AE=10∴DF===7.2．答：DF的长为7.2．【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质、勾股定理和矩形的性质的理解和掌握，难度不大，属于基础题．20．如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°．（1）求证：DP是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积．【考点】切线的判定；扇形面积的计算．【分析】（1）连接OD，求出∠AOD，求出∠DOB，求出∠ODP，根据切线判定推出即可；（2）求出OP、DP长，分别求出扇形DOB和三角形ODP面积，即可求出答案．【解答】（1）证明：连接OD，∵∠ACD=60°，∴由圆周角定理得：∠AOD=2∠ACD=120°，∴∠DOP=180°﹣120°=60°，∵∠APD=30°，∴∠ODP=180°﹣30°﹣60°=90°，∴OD⊥DP，∵OD为半径，∴DP是⊙O切线；（2）解：∵∠P=30°，∠ODP=90°，OD=3cm，∴OP=6cm，由勾股定理得：DP=3cm，∴图中阴影部分的面积S=S△ODP﹣S=×3×3﹣=（﹣π）cm2扇形DOB【点评】本题考查了扇形面积，三角形面积，切线的判定，圆周角定理等知识点的应用，主要考查学生的推理和计算能力．21．如图，一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏西30°方向，轮船航行2小时后到达B处，在B处测得灯塔C在北偏西60°方向．当轮船到达灯塔C的正东方向的D处时，求此时轮船与灯塔C的距离．（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【专题】计算题．【分析】根据三角形外角和定理可求得BC的值，然后放到直角三角形BCD中，借助60°角的正弦值即可解答．【解答】解：由题意得∠CAB=30°，∠CBD=60°，∴∠ACB=30°，∴BC=BA=40海里，∵∠CDB=90°，∴sin∠CBD=．∴sin60°==．∴CD=BC×=40×（海里）．∴此时轮船与灯塔C的距离为20海里．【点评】将已知条件和所求结论转化到同一个直角三角形中求解是解直角三角形的常规思路．22．如图，已知A（n，﹣2），B（1，4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C．（1）求反比例函数和一次函数的关系式；（2）求△AOC的面积；（3）求不等式kx+b﹣＜0的解集．（直接写出答案）【考点】反比例函数综合题；不等式的解集；一次函数的图象．【专题】计算题；待定系数法．【分析】（1）由B点在反比例函数y=上，可求出m，再由A点在函数图象上，由待定系数法求出函数解析式；（2）由上问求出的函数解析式联立方程求出A，B，C三点的坐标，从而求出△AOC的面积；（3）由图象观察函数y=的图象在一次函数y=kx+b图象的上方，对应的x的范围．【解答】解：（1）∵B（1，4）在反比例函数y=上，∴m=4，又∵A（n，﹣2）在反比例函数y=的图象上，∴n=﹣2，又∵A（﹣2，﹣2），B（1，4）是一次函数y=kx+b的上的点，联立方程组解得，k=2，b=2，∴，y=2x+2；（2）过点A作AD⊥CD，∵一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点为A，B，联立方程组解得，A（﹣2，﹣2），B（1，4），C（0，2），∴AD=2，CO=2，∴△AOC的面积为：S=AD•CO=×2×2=2；（3）由图象知：当0＜x＜1和﹣2＜x＜0时函数y=的图象在一次函数y=kx+b图象的上方，∴不等式kx+b﹣＜0的解集为：0＜x＜1或x＜﹣2．【点评】此题考查一次函数和反比例函数的性质及图象，考查用待定系数法求函数的解析式，还间接考查函数的增减性，从而来解不等式．。