u3 u2
h2du2 h1du1 h3du3
解之得
→ e
3
→ O → e1 e2
u1
广义正交坐标系下线元的推导
在直角坐标系中，线元矢量 线元（模或长度）
广义正交坐标系下线元的推导
在广义坐标系中,同样有 沿 方向即 方向， 为常量，则有
广义正交坐标系下线元的推导
式中：
称为度量（或度规）因子，或Lame（拉梅）系数，它为
无线电的发明与电子技术的发展 （1890－1980，共90年）
• 1883年美国爱迪生（Edison）效应。1887年德国赫兹 （Hertz）电磁波实验。1895年俄国波波夫（Попов）和 1896年意大利马可尼（Marconi）发明无线电报，进入无 线电时代。1904年美国弗莱明（Fleming）发明电子二极 管。1906年美国福雷斯特（Forest）发明电子三极管，进 入电子时代。1946年美国电子计算机（ENIAC）。1948 年美国巴丁（Bardeen）、肖克莱（Shockley）、布拉坦 （Brattain）发明晶体管。1957年苏联发射人造地球卫星。 1958年美国基尔比（Kilby）、仙童公司的集成电路。 1960年美国梅曼（Mamann）发明激光器。1970年后是 大规模和超大规模集成电路。这期间即20世纪前大半期是 以核能、飞机、化工为代表的第三次工业革命──化工时 代。
亥姆霍兹定理
• 若矢量场的散度处处为零，称为无散场， 它等价于一个矢量场 A 的旋度，因为任一 矢量的旋度的散度必为零，即 • 一个无散场是无通量源即散度源的矢量场， 其旋度一定不会处处为零，否则它不能存 在。故无散场一定有旋，也称为有旋场， 故必有漩涡源。磁场就是这样的矢量场。
亥姆霍兹定理
• 另一种是旋度为零的矢量场即无旋场，它 等价于一个标量场φ 的梯度。因为任一标 量的梯度的旋度必为零，即：
电磁场理论第一周讲稿
绪论 矢量分析 作业及预习
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绪论
• 电磁场理论发展简介
– – – – 静电的发现、产生到研究（公元前6世纪－1785年， 共2400年） 动电的发明与电磁感应的发现及应用（1800－1889， 共90年） 无线电的发明与电子技术的发展（1890－1980，共 90年） 计算机与信息时代（1980－今，共30年） 《电磁场理论》的基本内容 电磁场理论各部分内容之间的关系
计算机与信息时代（1980－今，共20年）
• 1980年后进入以计算机为代表的第四次产业革命 ──信息时代，包括光纤通信、卫星通信、计算机 网络通信和移动通信在内的现代通信技术、激光 技术、遗传工程，还有新材料、新能源。1993年 美国提出信息高速公路。信息时代的发展方向是 三网（电话网、有线电视网、国际互联网）合一。 21世纪的主导产业是信息产业（软件产业、计算 机产业、网络服务和信息安全技术）和生物产业 （无污染的绿色工程、基因工程、生物信息工程、 天然源药物工程、精准与生态农业）。现代通信 是信息产业的排头兵。信息时代是一个知识经济 的时代。
线元矢量，线元，面元，体积元
线元矢量
线元
线元矢量，线元，面元，体积元
面元矢量
体积元
线元矢量，线元，面元，体积元
线元矢量，线元，面元，体积元
线元矢量，线元，面元，体积元
线元矢量，线元，面元，体积元
• 在圆柱坐标系有
得
线元矢量 面元矢量 体 积 元
线元矢量，线元，面元，体积元
• 在球坐标系中有 拉梅系数为 , 线元矢量
《电磁场理论》的基本内容
• • • • • • • **1. 静电场; 2. 稳恒电流的电场与磁场; **3. 静态场的解法; *4. 时变电磁场; **5. 电磁波的传播; *6. 电磁波的辐射; 7. 狭义相对论。
电磁场理论各部分内容之间的关系
矢量及其代数运算
• • • • • • 什么是矢量？ 两个矢量相加/减 矢量的数乘 矢量的点乘 矢量的叉乘 三个矢量的混合标量 积 • 三个矢量的矢量积
标量场的梯度及矢量场的散度和旋度
• • • • • 标量场的梯度 矢量场的散度和通量 矢量场的旋度和环流 标量函数的拉普拉斯运算 矢量函数的拉普拉斯运算
积分定理
• 高斯散度定理 • 司托克斯定理 • 格林定理
– 格林第一恒等式 – 格林第二恒等式
• 亥姆霍兹定理
广义正交坐标系
• 三种常用坐标系
式中负号是因 的对边矢量与 反向。
基矢之间的关系
直─柱
基矢之间的关系
柱─球
基矢之间的关系
• 在圆柱坐标系与 球坐标系中的基 矢转换时, 因
相同, 故取ρO Z 坐标面。使用单 位圆法，可得
基矢之间的关系
矩阵方程
基矢之间的关系
直－球
例题1.4，请仔细体会
广义正交坐标系下线元的推导
坐标变量 ( )， 基本单位矢量 ( )
矢量函数的旋度
矢量场 的旋度(rotation或curl)
其大小为空间某点附近单位面积 的环量最大值，，其方向是环量为最大值时面元矢量 的法线 （
）的方向。可用它表示空间各点矢量场
的旋涡强度与其旋涡源的关系。该旋度矢量的各分量为
沿着与它垂直方向上变化率的代数和，亦即旋度是 表明矢量场旋转程度的最大环量面密度矢量。
•
学习电磁场理论的方法
– –
第一章 矢量分析
• • • • 矢量及其代数运算 标量场的梯度及矢量场的散度和旋度 积分定理 广义正交坐标系
静电的发现、产生到研究（公元前6 世纪－1785年，共2400年）
• 公元前585年希腊泰勒斯（Thales）发现摩擦的琥珀吸物， 磁石吸铁。公元前300年春秋“ 管子”记载“磁石召铁， 琥珀拾芥”。战国造司南勺；1100年宋朝有船用指南针， 沈括发现地磁偏角；1405年明朝郑和的船用指南针成熟。 1600年英国吉伯（Gilbert）定性研究静电与 磁性。1672 年德国盖利克（Guericke）发明摩擦起电机。1729年英国 格雷（Gray）发现导体与绝缘体。1745年荷兰穆欣布罗 克（Musschenbrock）发明储电的莱顿瓶。1752年美国富 兰克林（Franklin）风筝实验。1754年美国戴卫斯 （Divisch）造出避雷针。1785年法国库仑（Coulomb） 用扭秤实验确定库仑定律；此后德国高斯（Gauss）完成 高斯定律。这期间1782年英国瓦特（Watt）发明的蒸汽 机导致以纺织、机械为代表的第一次工业革命──机械时 代。
矢量函数的旋度
• 举例：求距离矢量的散度。
标量函数的拉普拉斯运算
二阶微分算子
也称为Laplace算子。如拉普拉斯方程 即 其解是 的调和量。
矢量函数的拉普拉斯运算
特别的，当矢量A采用直角坐标系表示时，应有如下的结论：
三种常用坐标系
直 角 坐 标 系
三种常用坐标系
柱坐标系
三种常用坐标系
球坐标系
标量函数的梯度
• 算符是一阶微分矢量二重算子，称为 Hamilton算子、Nabla算符、劈形算符或 Del（倒三角）
• 举例：求下面标量长的梯度。
矢量函数的散度
矢量函数 的散度(divergence)
它是空间某点附近单位体积矢量函数 的通量，即通量体密度。可用它来表示空间各点 的发散强度与其通量源的关系。散度标量是矢量场 的分量沿各自坐标的变化率之和，亦即散度是表明 矢量场向外发散程度的通量体密度。
动电的发明与电磁感应的发现及应 用（1800－1889，共90年）
• 1780年意大利加伐尼（Galvani）发现青蛙的“生物电”。 1800年意大利伏特（Volta）发明伏特电池。1820年丹麦奥斯 特（Oersted）发现电流的磁效应；法国毕奥－萨伐尔（BiotSavart）定律；德国安培（Ampere）定律。1822年德国塞贝 克（Seebeck）发现热电效应。1826年德国欧姆（Ohm）定律。 1831年英国法拉第（Faraday）和美国亨利（Henry）发现电 磁感应。1833年俄国楞次（Lenz,Ленц）定律。1834年俄国雅 可比（Jacobi, Якоби）发明电动机。1843年英国焦耳（Joule） 发现电热效应。1847年德国基尔霍夫（Kirchhoff）定律。1864 年英国麦克斯韦（Maxwell）确立电磁理论，预言电磁波。 1867年德国西门子（Siemens）造自激发电机。1876年俄国亚 布洛契可夫（Яблочков）造变压器。1889年俄国多里沃－多 布罗夫斯基（Доливо－Добровольский）确立三相制，导致 以电力、钢铁为代表的第二次工业革命──电气时代。
三个矢量的矢量积
此公式又称为所谓的Back－cab规则
标量函数的梯度
标量函数f 的梯度
梯度即陡度(gradient)的模或大小为
它是标量函数f 的最大空间增加率，其方向为其变化率最 大的方向。标量f 的梯度是空间某点标量函数f 沿三个坐标 轴方向变化率的矢量和，亦即梯度是标量场的最大空间变 化率矢量。
– 坐标变量和基本坐标矢量 – 坐标变量之间的关系 – 基本坐标矢量之间的关系
• 广义正交坐标系
– 广义正交坐标系下线元的推导 – 线元矢量，线元，面元，体积元
• 广义正交坐标系中散度等的表达式
– 梯度，散度，旋度 – 拉普拉斯算符等
高斯散度定理
• 举例：1.11
司托克斯定理
• 举例：1.10
格林定理
矢量的加减
加减
矢量的加减
两点 P 与 P’ 的空间矢量分别为
空间两点P 与 P’ 之间的距离矢量为
距离矢量 R 的单位矢量为
矢量的加减
矢量的数乘
数乘
同向；
反向。
两个矢量的点乘
点积
功、通量、环量(环流)
两个矢量的叉乘
平行四边形的面积矢量