第5章频率特性法教材习题同步解析一放大器的传递函数为：G (s )=1+Ts K测得其频率响应，当ω=1rad/s 时，稳态输出与输入信号的幅值比为12/2，稳态输出与输入信号的相位差为－π/4。

求放大系数K 及时间常数T 。

解：系统稳态输出与输入信号的幅值比为A ==222172K T ω=+ 稳态输出与输入信号的相位差arctan 45T ϕω=-=-︒，即1T ω=当ω=1rad/s 时，联立以上方程得T =1，K =12放大器的传递函数为：G (s )=121s +已知单位负反馈系统的开环传递函数为5()1K G s s =+ 根据频率特性的物理意义，求闭环输入信号分别为以下信号时闭环系统的稳态输出。

（1）r （t ）=sin （t +30°）； （2）r （t ）=2cos （2t －45°）；（3）r （t ）= sin （t +15°）－2cos （2t －45°）； 解：该系统的闭环传递函数为65)(+=Φs s 闭环系统的幅频特性为365)(2+=ωωA闭环系统的相频特性为6arctan )(ωωϕ-=（1）输入信号的频率为1ω=，因此有37375)(=ωA ，()9.46ϕω︒=- 系统的稳态输出537()sin(20.54)37ss c t t ︒=+ （2）输入信号的频率为2ω=，因此有10()A ω=，()18.43ϕω︒=- 系统的稳态输出10()cos(263.43)2ss c t t ︒=- （3）由题（1）和题（2）有对于输入分量1：sin （t +15°），系统的稳态输出如下5371()sin( 5.54)37ss c t t ︒=+ 对于输入分量2：－2cos （2t －45°），系统的稳态输出为102()cos(263.43)ss c t t ︒=-- 根据线性系统的叠加定理，系统总的稳态输出为)4363.632cos(210)537.5sin(37375)(︒︒--+=t t t c ss绘出下列各传递函数对应的幅相频率特性与对数频率特性。

（1） 11.010)(±=s s G （2） G (s )=101) （3） )2(4)(+=s s s G（4) )2)(1(4)(++=s s s G （5）)02.0(2.0)(++=s s s s G（6）)1)(1(10)(2+++=s s s s G （7）1)(2.0+=-s e s G 解： （1）11.010)(±=s s G幅相频率特性 开环系统110()0.11G s s =-是一个不稳定的惯性环节，频率特性为110()10.1G j j ωω=-+相频特性为1()(180arctan 0.1)arctan 0.1180ϕωωω=-︒-=-︒相频特性从－180连续变化至－90。

可以判断开环奈氏曲线起点为(－10，j0)点，随的增加，A 1()逐渐减小至0，而1()逐渐增加至－90°，绘制出系统开环频率特性G 1(j )的轨迹，如图(a )虚线所示，是一个直径为10的半圆。

而开环系统210()0.11G s s =+则是一个典型的惯性环节，其幅相频率特性G 2(j )如图(a )实线所示。

对数频率特性(a) 幅相频率特性Im－10 Re →0→0→(b) 对数频率特性图 题（1）系统频率特性10/ (rad ·sL ()/（dB ） 20()/－90 －45 0 0 [－20]/ (rad ·s101001[0]－1801351()G j ω2()G j ω2()1()开环系统110()0.11G s s =-与210()0.11G s s =+的对数幅频特性完全相同，仅对数相频特性不同，如图(b )所示。

（2）G (s )=101)幅相频率特性开环系统G 1(s )=10－1)的频率特性为1()10(0.11)G j j ωω=-，其相频特性为1()180arctan 0.1ϕωω=︒-相频特性从180连续变化至90。

其开环频率特性G 1(j )的轨迹，如图(a )虚线所示。

而开环系统G 2(s )=10+1) 则是一个典型的一阶微分环节，其幅相频率特性G 2(j )如图(a )实线所示。

对数频率特性同题（1），二者的对数幅频特性完全相同，仅对数相频特性不同，如图(b )所示。

（3）)2(4)(+=s s s G系统开环传递函数的时间常数表达式为2()(0.51)G s s s =+幅相频率特性1）系统为Ⅰ型系统，A (0)=∞，(0)=－90º，低频特性始于平行于负虚轴的无穷远处。

低频渐近线如(a) 幅相频率特性Im－10Re→0 →0 →(b) 对数频率特性图 题（2）系统频率特性10/ (rad ·sL ()/（dB ） 20()/90 45 00 [－20]/ (rad ·s10 1001 [0]180135 1()G j ω2()G j ω2()1()→下确定：将频率特性表达式分母有理化为22222(10.5)2()(0.51)(10.5)(10.5)(10.25)1210.25(10.25)j j j G j j j j j j ωωωωωωωωωωωωω----===++-+-=-++则低频渐近线为20001lim Re[()]lim ()lim110.25x G j R ωωωσωωω+++→→→-====-+ 同时可知，频率特性实部与虚部均<0，故曲线只在第三象限。

2）n －m =2，则()=－180，幅相特性沿负实轴进入坐标原点。

3）此系统无开环零点，因此在由0增大到过程中，特性的相位单调连续减小，从－90º连续变化到－180。

奈氏曲线是平滑的曲线，从低频段开始幅值逐渐减小，沿顺时针方向连续变化最后终于原点。

系统的幅相频率特性G (j )见图(a )。

对数频率特性1）可知系统包含有放大、积分、一阶惯性环节，转折频率为T=2 rad ·s －1。

低频段斜率为－20dB/dec ，低频段表达式为L (ω)=20lg2－20lg ω，并通过点L (2)= 0dB 。

经过转折频率T后斜率为－40dB/dec 。

2）系统的相频特性为积分环节（－90º）与惯性环节（0º ~－90º）相频特性的叠加，为()90arctan 0.5ϕωω=-︒-转折频率处相位为(2)=－135°，对数相频特性曲线对应于该点斜对称。

(a) 幅相频率特性Im－1Re→0→(b) 对数频率特性图 题（3）系统频率特性/ (rad ·sL ()/（dB ）20()/－90[－20]/ (rad ·s1102－180－135 ()G j ω[－40]110绘制开环伯德图L ()、()，如图（b ）所示。

（4）)2)(1(4)(++=s s s G系统开环传递函数的时间常数表达式为2()(1)(0.51)G s s s =++幅相频率特性1）系统为0型系统，A (0)=2，(0)= 0º，开环奈氏曲线起点为(2，j0)点；n －m =2，则()=－180。

随的增加，A ()逐渐单调连续减小至0，而()滞后逐渐增加至－180°，幅相特性沿负实轴进入坐标原点。

2）将频率特性表达式分母有理化为222222222(1)(10.5)()(1)(10.5)(1)(10.25)2(10.5)3(1)(10.25)(1)(10.25)j j G j j j jωωωωωωωωωωωωω--==++++-=-++++频率特性虚部均<0，故曲线在第三、第四象限。

3）相位有()=－90，因此与虚轴的交点为22222(10.5)Re[()]0(1)(10.25)2/,Im[()]0.94G j rad s G j ωωωωωωω=-==++==此系统无开环零点，因此在由0增大到过程中，奈氏曲线是平滑的曲线，G (j )见图(a )。

对数频率特性(a) 幅相频率特性Im－Re→0→(b) 对数频率特性图 题（4）系统频率特性2 / (rad·sL ()/（dB ）20 ()/－18090 0 0[－20]/ (rad·s110[0]()G j ω62 [－40]1）可知系统包含有放大、两个一阶惯性环节，转折频率分别为1=1 rad·s －1、2=2 rad·s －1。

系统为0型，低频段斜率为0dB/dec ，低频段表达式为L (ω)=20lg2=6dB 。

经过转折频率1、2后斜率分别为－20、－40dB/dec 。

2）系统的相频特性是两个惯性环节相频特性的叠加，为()arctan arctan 0.5ϕωωω=--两个转折频率处相位分别为(1)=－72°，(2)=－109°。

绘制开环伯德图L ()、()，如图（b ）所示。

（5）)02.0(2.0)(++=s s s s G系统开环传递函数的时间常数表达式为0.2(51)10(51)()0.02(501)(501)s s G s s s s s ++==++幅相频率特性1）系统为Ⅰ型系统，A (0)=∞，(0)=－90º，低频特性始于平行于负虚轴的无穷远处。

低频渐近线如下确定：22210(51)10(51)(150)45010(2501)()(501)(150)(150)12500(12500)j j j j j G j j j j j j ωωωωωωωωωωωωω+-+-+===--++-++(a) 幅相频率特性(b) 对数频率特性图 题（5）系统频率特性/ (rad ·sL ()/（dB ）20()/－180[－20]/ (rad ·s－90 [－40]4060 [－20]－135 ImRe→0→()G j ω－450低频渐近线为2000450lim Re[()]lim ()lim 45012500x G j R ωωωσωωω+++→→→===-=-+同时可知，频率特性实部、虚部均<0，故曲线只在第三象限。

2）n －m =1，则()=－90，幅相特性沿负虚轴进入坐标原点。

3）此系统有开环零点，因此在由0增大到过程中，特性曲线有凹凸，最后终于原点。

系统的幅相频率特性G (j )见图(a )。

对数频率特性1）系统转折频率分别为1= rad·s －1、2= rad·s －1。

系统为I 型，低频段斜率为－20dB/dec ，低频段表达式为L (ω)=20lg10－20lg ω，因此L =54dB 。