《空间向量的夹角》教学说明
z
D1 F
C1
A1
E1 B1
E
D
A
x
Cy B
《空间向量的夹角》教学说明
教教方教教 材学法学学 分目手程评 析标段序价
《空间向量的夹角》教学说明 地位作用
教材分析 教学目标 方法手段 教学程序 教学评价
知识基础：平面向量的数量积公式、夹角公式，空 间向量的坐标表示,空间向量的数量积.
理
E,F 分 别 是 A1D1,D1C1 的 中 点 ， 求 异 面 直 线 BE 与
解 掌 握
A1F所成的角．
D1
C1
D1
F
C1
巩 固
A1
B1
E A1
B1
提
D
C
高
C
A
B
B
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创设情境 建构数学 知识运用 小结作业
设 ➢鼓励学生选择不同的解题方法，培养
计
学生创新思维；
角. （4）掌握类比猜想的方法,将平面向量的夹角公式推
广到空间,将几何问题转化为代数问题,提高类比 转化的能力.
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感受•理解：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， M、N分别是AA1、BB1的中点，求直线CM与 D1N所成角的正弦值.
动活生学
求下列两个向量夹角的余弦值
（1）a ( 2 ， 3 ， 3 ) ， b ( 1 ， 0 ， 0 ) ， （2）a ( 1 ， 1 ， 1 ) ， b ( 1 ， 0 ， 1 ) .
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例
题 讲
例1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
意 ➢为学习能力不同的学生提供广阔的空
图
间；
➢体现学生的主体地位，发展学生的个性；
➢培养学生分工协作的能力，善于分析， 乐于探索的钻研精神.
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值得肯定的：
反 ➢勇于思考、积极探索；
馈 评
➢分工协作、合作交流.
价 值得注意的：
➢将求空间点的坐标转化为平面内点的坐标；
以问题为载体，学生活动为主线 探索、类比、猜想、发现并获得新知
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习复
-
动活生学
情境：如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D中，
B1E1
D1F1
1 4A1B1
,
求证DF1与BE1垂直.
D1
F1
C1
A1
B1
ED A
C B
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问题1：如图，若将E点在AA1，A1B1上移动，若移 至A1B1的E1处，又将如何确定DF1与BE1的夹角?
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比类
-
动活生学
平面内两个向量的夹角公式：
已知平面内两个非零向量，a (x 1 ， y 1 ) ， b (x 2 ， y 2 ) ， c o s < a ， b> =ab x1x2y1y2 ab x12y12 x22y22
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教材分析 教学目标 方法手段 教学程序 教学评价
✓教学中，以问题为载体，学生活动为主线; ✓将复杂的几何问题转化为代数问题,具有相当的优 越性,恰当选择,合理运用;
✓通过学生参加活动是否积极主动,能否与他人合作 探索,对学生的学习过程评价; ✓通过学生对方法的选择,对学生的学习能力评价; ✓通过题组练习、课后作业,对学生的学习效果评价.
19、上天不会亏待努力的人，也不会 同情假 勤奋的 人，你 有多努 力时光 它知道 。 20、成长这一路就是懂得闭嘴努力， 知道低 调谦逊 ，学会 强大自 己，在 每一个 值得珍 惜的日 子里， 拼命去 成为自 己想成 为的人 。6.凡 是内心 能够想 到.相信 的，都 是可以 达到的 。――[NapoleonHill]
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例 题
题组练习一
讲 解
如 图 , 在 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中 , M 是 AB 的 中 点 , 求 对 角 线 DB1 与 CM 所
理 解 掌
成方角的余弦值.
法
D1
C1
握
小
巩 固 提
① 几结何法
A1
D
B1 C
问题2：是否可以将上述夹角公式推广到空间?公式 的形式有什么变化？
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时及
-
已 知 空 间 内 两 个 非 零 向 量 ，a(x1， y1， z 1)， b(x2， y2， z2)，ababcosa， b，
从 而 有
c o s < a ， b > = a b x 1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2 ab x 1 2 y 1 2 z 1 2 x 2 2 y 2 2 z 2 2
77.一个客观的艺术不只是用来看的 ，而是 活生生 的。但 是你必 须知道 如何去 靠近它 ，因此 你必须 要做静 心。― ―[OSHO] 78.烦恼使我受着极大的影响……我 一年多 没有收 到月俸 ，我和 穷困挣 扎；我 在我的 忧患中 十分孤 独，而 且我的 忧患是 多么多 ，比艺 术使我 操心得 更厉害 ！――[米开朗 基罗]
解
理 解
B1E1 D1F1 14A1B1，求BE1与DF1所成角 的余弦值.
掌
握
D1
F1
C1
巩 固
A1
E1 B1
提 高
D
C
A
B
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创设情境
例
题
讲 解
D1
理
A1
解
掌
握
D
建构数学
F1
C1
E1 B1
C
知识运用 小结作业
方 法 小 ① 几结何法
巩
固A
B
提
高
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例 题组练习二
题
讲 必做题：
解 1.设点O(0,0,0)，A(0,1,1)，B(1,1,1)，C(0,0,1)异 面
理
直线OA与BC夹角为θ，则θ的值为 （ ）
解
掌 A.60º B.120º C.-60º D.240º
握
巩 2. 已 知 正 方 体 ABCD-
D1
C1
固 提 高
A1B1C1D1, 请 用 恰 当 的 方 法 求 异 面 直 线 AC 与 BD1
A1
所成的角.
D
B1 C
A
B
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例 题组练习二
题
讲 解
选做题：沿着正方体ABCD -A1B1C1D1对角面A1BCD1 去截正方体,得到一个新的几何体D1CC1-A1BB1，
82.成为一个成功者最重要的条件， 就是每 天精力 充沛的 努力工 作，不 虚掷光 阴。― ―[威廉 ·戴恩·飞利浦] 83.人生成功的秘诀是，当机会来到 时，立 刻抓住 它。― ―[班杰 明·戴 瑞斯李] 84.不停的专心工作，就会成功。― ―[查尔 斯·修 瓦夫]
40.你要确实的掌握每一个问题的核 心，将 工作分 段，并 且适当 的分配 时间。[富兰克 林] 85.每一年，我都更加相信生命的浪 费是在 于：我 们没有 献出爱 ，我们 没有使 用力量 ，我们 表现出 自私的 谨慎， 不去冒 险，避 开痛苦 ，也失 去了快 乐。― ―[约翰 ·B·塔 布]
79.有两种东西，我们对它们的思考 愈是深 沉和持 久，它 们所唤 起的那 种愈来 愈大的 惊奇和 敬畏就 会充溢 我们的 心灵， 这就是 繁星密 布的苍 穹和我 心中的 道德律 。 ――[康德]
80.我们的生活似乎在代替我们过日 子，生 活本身 具有的 奇异冲 力，把 我们带 得晕头 转向； 到最后 ，我们 会感觉 对生命 一点选 择也没 有，丝 毫无法 作主。 ――[索 甲仁波 切] 81.如果你是个作家，这是比当百万 富豪更 好的事 ，因为 这一份 神圣的 工作。[哈兰·爱里森]
86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴 里哼着 歌儿。 倘使你 不会唱 歌，吹 吹口哨 或用鼻 子哼一 哼也可 。如此 一来， 你想让 自己烦 恼都不 可能。 ――[戴 尔·卡 内基] 87.当一切毫无希望时，我看着切石 工人在 他的石 头上， 敲击了 上百次 ，而不 见任何 裂痕出 现。但 在第一 百零一 次时， 石头被 劈成两 半。我 体会到 ，并非 那一击 ，而是 前面的 敲打使 它裂开 。――[贾柯·瑞斯]
高
② 向量法
A
B
M
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例 题 讲
例2.如图，在几何体B1-A1BC1，已知E、F分别是A1B 和BC1的中点，求异面直线B1E与A1F的夹角.
解 问题4：如何放置几何体，可以构建恰当的空间
理
直角坐标系？
解
掌
握
巩 固 提 高
《空间向量的夹角》教学说明 教学程序
2)选择恰当方法求两异面直线的夹角.
教学难点：
1)两条异面直线的夹角与两个空间向量的夹 角之间的区别； 2)构建恰当的空间直角坐标系，并正确求出