2.直线与平面所成角的求法 如图所示,设直线l的方向向量为e,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角
|e n|
为φ,两向量e与n的夹角为θ,则有sin φ=|cos θ|=③ |e||n| .
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3.二面角的求法 a.如图(1),AB,CD分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β内与棱l垂直的异面射线 (A,C在棱l上),则二面角的大小θ=④ < AB,CD> .
|v1 v2|
|v1||v2|
求解.
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易错警示 注意向量的夹角与异面直线所成的角的区别 当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,就是此异面直线所成的角;当 异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角才是异面直线所成的角.
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1-1 (2018课标全国Ⅱ理,9,5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=
n n
a b
0,求得.
0
2.方向向量和法向量均不为零向量且不唯一.
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1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).
(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角. ( ✕ )
(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.
(✕)
(3)两个平面的法向量所成的角就是这两个平面所成的角. ( ✕ )
(4)两异面直线夹角的范围是
0,
π 2
,直线与平面所成角的范围是0,
π 2
,二面角
的范围是[0,π]. ( √ )
(5)若二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量n1,n2所成角为θ,则二面角α-l-β的
大小是π-θ. ( ✕ )
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2.直线l的方向向量为s=(-1,1,1),平面α的法向量为n=(2,x2+x,-x),若直线l∥平面 α,则x的值为 ( D ) A.-2 B.- 2 C. 2 D.± 2
(1)证明:依题意, AB=(1,0,0)是平面ADE的法向量,又 BF =(0,2,h),可得 BF ·AB =0, 又因为直线BF⊄平面ADE,所以BF∥平面ADE. (2)依题意, BD =(-1,1,0), BE =(-1,0,2), CE =(-1,-2,2). 设n=(x,y,z)为平面BDE的法向量,
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3.设u=(-2,2,t),v=(6,-4,4)分别是平面α,β的法向量.若α⊥β,则t= ( C ) A.3 B.4 C.5 D.6
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4.如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1 的中心,则EF和CD所成的角的度数是 ( B )
3
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解析 依题意,可以建立以A为原点,分别以 AB, AD, AE的方向为x轴,y轴,z轴正 方向的空间直角坐标系(如图),
可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2). 设CF=h(h>0),则F(1,2,h).
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=
-
1 2
,0,1,所以cos<
BM
,
AN
>=
BM |BM
AN ||AN|
=
4 6
= 30 .
5 10
22
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探究 将本例中的条件“BC=CA=CC1”改为“BC=CA=2CC1”,其余条件不
变,则BM与AN所成的角为 ( A )
A. π B. π
2
4
C. π D. π
3
6
答案 A 建系方式和例题相同,设BC=CA=2CC1=2,则A(2,0,0),B(0,2,0),M(1,
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第一课时 利用空间向量空间 角
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1.两条异面直线所成角的求法
设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则
a与b的夹角β
范围
[0,π]
求法
cos β= a b
|a||b|
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l1与l2所成的角θ
①
0,
π 2
|a b|
cos θ=|cos β|=② |a||b|
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b.如图(2)(3),n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大 小θ满足cos θ=⑤ -cos<n1,n2> 或⑥ cos<n1,n2> .
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常用结论
1.确定平面的法向量的方法
(1)直接法:观察是否有垂直于平面的法向量,若有可直接确定.
(2)待定系数法:取平面的两个相交向量a,b,设平面的法向量为n=(x,y,z),由
1,1),N(1,0,1), AN =(-1,0,1),BM =(1,-1,1),记BM与AN所成的角为θ,则cos θ=0,故
BM与AN所成的角为 π .
2
方法技巧
用向量法求异面直线所成角的步骤
(1)选好基底或建立空间直角坐标系;
(2)求出两直线的方向向量v1,v2;
(3)代入公式|cos<v1,v2>|=
A. 1
B. 2
C. 30
D. 2
10
5
10
2
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解析 以C为坐标原点,直线CA为x轴,直线CB为y轴,直线CC1为z轴建立空间
直角坐标系C-xyz,如图,设CA=1,则B(0,1,0),M
1 2
,
1 2
,1,A(1,0,0),N
1 2
,0,1
,故
BM
=
3
1 2
,-
1 2
,1 ,
AN
A.65° C.30°
B.45° D.135°
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5.过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD,若AB=PA,则平面ABP与平
面CDP所成的锐二面角为
.
答案 45°
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考点一 异面直线所成的角
典例1 (2019广东惠州调研)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别 是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成的角的余弦值为 ( C )
3 ,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为 ( C )
A.1 B. 5 C. 5 D. 2
5
6
5
2
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考点二 直线与平面所成的角
典例2 (2019天津,17,13分)如图,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AD∥BC,AD⊥AB, AB=AD=1,AE=BC=2. (1)求证:BF∥平面ADE; (2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值; (3)若二面角E-BD-F的余弦值为1 ,求线段CF的长.