全等三角形经典例题（全等三角形的概念和性质）类型一、全等形和全等三角形的概念1、全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC 和△A 1B 1C 1是全等(合同)三角形，点A 与点A 1对应，点B 与点B 1对应，点C 与点C 1对应，当沿周界A→B→C→A，及A 1→B 1→C 1→A 1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形(如图1)，若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形(如图2)，两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180°，下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是( )（答案）B ；提示：抓住关键语句，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180°，B 答案中的两个三角形经过翻转180°就可以重合，故选B ；其它三个选项都需要通过平移或旋转使它们重合.类型二、全等三角形的对应边，对应角 类型三、全等三角形性质3、如图，将长方形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=︒，那么DAE∠等于（ ）．A.60° B.45° C.30° D.15°（答案）D ；（解析）因为△AFE 是由△ADE 折叠形成的，所以△AFE ≌△ADE ，所以∠FAE ＝∠DAE ，又因为60BAF ∠=︒，所以∠FAE ＝∠DAE ＝90602︒-︒＝15°.（点评）折叠所形成的三角形与原三角形是全等的关系，抓住全等三角形对应角相等来解题.举一反三：（变式）如图，在长方形ABCD 中，将△BCD 沿其对角线BD 翻折得到△BED ，若∠1＝35°，则∠2＝________.（答案）35°；提示：将△BCD 沿其对角线BD 翻折得到△BED ，所以∠2＝∠CBD ，又因为AD ∥BC ，所以∠1＝∠CBD ，所以∠2＝35°.4、 如图，△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB ，AC 翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，∠α的度数是_________.（答案）∠α＝80°（解析）∵∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，设∠1＝28x ，∠2＝5x ，∠3＝3x ，∴28x ＋5x ＋3x ＝36x ＝180°，x ＝5° 即∠1＝140°，∠2＝25°，∠3＝15°∵△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB ，AC 翻折180°形成的， ∴△ABE ≌△ADC ≌△ABC ∴∠2＝∠ABE ，∠3＝∠ACD∴∠α＝∠EBC ＋∠BCD ＝2∠2＋2∠3＝50°＋30°＝80°（点评）此题涉及到了三角形内角和，外角和定理，并且要运用全等三角形对应角相等的性质来解决问题.见“比例”设未知数x 是比较常用的解题思路. 举一反三：（变式）如图，在△ABC 中，∠A :∠ABC:∠BCA ＝3:5:10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN 等于（ ）A ．1:2 B ．1:3 C ．2:3 D ．1:4（答案）D ；提示：设∠A＝3x ，∠ABC ＝5x ，∠BCA＝10x ，则3x ＋5x ＋10x ＝18x ＝180°，x ＝10°.又因为△MNC≌△ABC，所以∠N ＝∠B ＝50°，CN ＝CB ，所以∠N ＝∠CBN ＝50°，∠ACB ＝∠MCN ＝100°，∠BCN ＝180°－50°－50°＝80°，所以∠BCM：∠BCN＝20°：80°＝1：4.（全等三角形判定一（SSS ，SAS ））类型一、全等三角形的判定1——“边边边”1、如图，在△ABC 和△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD ＝CE ，求证：∠BAD ＝∠CAE.(答案与解析）证明：在△ABD 和△ACE 中，AB AC AD AE BD CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACE （SSS ）∴∠BAD ＝∠CAE （全等三角形对应角相等）.(点评）把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的判定和性质. 要证∠BAD ＝∠CAE ，先找出这两个角所在的三角形分别是△BDA 和△CAE ，然后证这两个三角形全等.举一反三：(变式）已知：如图，AD ＝BC ，AC ＝BD.试证明：∠CAD ＝∠DBC.(答案）证明：连接DC ， 在△ACD 与△BDC 中()AD BC AC BDCD DC ⎧=⎪=⎨⎪=⎩公共边∴△ACD≌△BDC（SSS ）∴∠CAD ＝∠DBC （全等三角形对应角相等）类型二、全等三角形的判定2——“边角边”2、3、举一反三：(变式）已知，如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，并且AE ＝12（AB ＋AD ），求证：∠B ＋∠D ＝180°.(答案）证明：在线段AE 上，截取EF ＝EB ，连接FC ，∵CE ⊥AB ，∴∠CEB ＝∠CEF ＝90°在△CBE 和△CFE 中，CEB CEF EC =EC EB EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△CBE 和△CFE （SAS ）∴∠B ＝∠CFE∵AE ＝12（AB ＋AD ），∴2AE ＝ AB ＋AD ∴AD ＝2AE －AB∵AE ＝AF ＋EF ，∴AD ＝2（AF ＋EF ）－AB ＝2AF ＋2EF －AB ＝AF ＋AF ＋EF ＋EB －AB ＝AF ＋AB －AB ，即AD ＝AF在△AFC 和△ADC 中(AF AD FAC DAC AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩角平分线定义）∴△AFC ≌△ADC （SAS ）∴∠AFC ＝∠D∵∠AFC ＋∠CFE ＝180°，∠B ＝∠CFE.∴∠AFC ＋∠B ＝180°，∠B ＋∠D ＝180°. 类型三、全等三角形判定的实际应用4、如图，公园里有一条“Z 字形道路ABCD ，其中AB ∥CD ，在AB ，BC ，CD 三段路旁各有一个小石凳E ，M ，F ，且BE ＝CF ，M 在BC 的中点.试判断三个石凳E ，M ，F 是否恰好在一条直线上？Why ？(答案与解析）三个小石凳在一条直线上证明：∵AB 平行CD （已知）∴∠B ＝∠C （两直线平行，内错角相等）∵M 在BC 的中点（已知）∴BM ＝CM （中点定义）在△BME 和△CMF 中BE CF B D BM M C =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BME ≌△CMF （SAS ）∴∠EMB ＝∠FMC （全等三角形的对应角相等）∴∠EMF ＝∠EMB ＋∠BMF ＝∠FMC ＋∠BMF ＝∠BMC ＝180°（等式的性质）∴E ，M ，F 在同一直线上(点评）对于实际应用问题，首先要能将它化成数学模型，再根据数学知识去解决. 由已知易证△BME ≌△CMF ，可得∠EMB ＝∠FMC ，再由∠EMF ＝∠EMB ＋∠BMF ＝∠FMC ＋∠BMF ＝∠BMC ＝180°得到E ，M ，F 在同一直线上.（全等三角形判定二（ASA ，AAS ））类型一、全等三角形的判定3——“角边角”1、如图，G 是线段AB 上一点，AC 和DG 相交于点E.请先作出∠ABC 的平分线BF ，交AC 于点F ；然后证明：当AD∥BC，AD ＝BC ，∠ABC＝2∠ADG 时，DE ＝BF.(答案与解析）证明：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠C∵BF 平分∠ABC ∴∠ABC＝2∠CBF ∵∠ABC ＝2∠ADG ∴∠CBF＝∠ADG在△DAE 与△BCF 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠C DAC BC AD CBF ADG∴△DAE≌△BCF（ASA ）∴DE＝BF(点评）利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下： (1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形； (2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．(变式）已知：如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ．求证：HN ＝PM.(答案）证明：∵MQ 和NR 是△MPN 的高， ∴∠MQN ＝∠MRN ＝90°， 又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4 ∴∠1＝∠2在△MPQ 和△NHQ 中，12MQ NQ MQP NQH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MPQ ≌△NHQ （ASA ） ∴PM ＝HN类型二、全等三角形的判定4——“角角边”2、已知：如图，90ACB ∠=︒，AC BC =，CD 是经过点C 的一条直线，过点A 、B 分别作AE CD ⊥、BF CD ⊥，垂足为E 、F ，求证：CE BF =. (答案与解析）证明：∵ CD AE ⊥，CD BF ⊥ ∴︒=∠=∠90BFC AEC∴︒=∠+∠90B BCF∵,90︒=∠ACB ∴︒=∠+∠90ACF BCF ∴B ACF ∠=∠在BCF ∆和CAE ∆中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠BC AC B ACE BFC AEC ∴BCF ∆≌CAE ∆（AAS ）∴BF CE =(点评）要证BF CE =，只需证含有这两个线段的BCF ∆≌CAE ∆.同角的余角相等是找角等的好方法. 3、平面内有一等腰直角三角板（∠ACB ＝90°）和一直线MN ．过点C 作CE ⊥MN 于点E ，过点B 作BF ⊥MN 于点F ．当点E 与点A 重合时（如图1），易证：AF ＋BF ＝2CE ．当三角板绕点A 顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF 、BF 、CE 之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．(答案与解析）解：图2，AF ＋BF ＝2CE 仍成立， 证明：过B 作BH ⊥CE 于点H ，∵∠CBH ＋∠BCH ＝∠ACE ＋∠BCH ＝90°∴∠CBH ＝∠ACE在△ACE 与△CBH 中， 90ACH CBH AEC CHB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ACE ≌△CBH ．（AAS ）∴CH ＝AE ，BF ＝HE ，CE ＝EF ， ∴AF ＋BF ＝AE ＋EF ＋BF ＝CH ＋EF ＋HE ＝CE ＋EF ＝2EC ．(点评）过B 作BH ⊥CE 与点H ，易证△ACH ≌△CBH ，根据全等三角形的对应边相等，即可证得AF ＋BF ＝2CE ．正确作出垂线，构造全等三角形是解决本题的关键. 举一反三：(变式）错误!未找到引用源。