《线性系统理论》课程设计报告书课题名称球杆系统姓名孟禹漆铖刘泽文孟凡强杨佐龙日期2013年2 月25日老师陈玮1 球杆系统建模分析本章将对球杆系统进行简单的介绍，然后采用拉格朗日方程建立其数学模型，并在此基础上分析其特性。

1.1球杆系统介绍球杆系统（Ball & Beam ）是由球杆执行系统、控制器和直流电源等部分组成。

该系统对控制系统设计来说是一种理想的实验模型。

正是由于系统的结构相对简单，因此比较容易理解该模型的控制过程。

球杆执行系统（如图1 所示）由一根V 型轨道和一个不锈钢球组成。

V 型槽轨道一侧为不锈钢杆，另一侧为直线位移电阻器。

当球在轨道上滚动时，通过测量不锈钢杆上输出电压可测得球在轨道上的位置。

V 型槽轨道的一端固定，而另一端则由直流电机（DC motor ）的经过两级齿轮减速，再通过固定在大齿轮上的连杆带动进行上下往复运动。

V 型槽轨道与水平线的夹角可通过测量大齿轮转动角度和简单的几何计算获得。

这样，通过设计一个反馈控制系统调节直流电机的转动，就可以控制小球在轨道上的位置。

图1 球杆系统执行机构原理图1.2拉格朗日方程介绍建立一个力学体系的动力学方程所需要的独立坐标称为广义坐标，广义坐标一旦确定，体系在空间的位置状态也就可以唯一确定。

广义坐标可以是坐标变量，也可能是是角动量或其他独立变量，凡能用来表述体系的位形、运动和动力学状态的独立参量都可作为广义坐标。

广义坐标的条件是：互相独立、满足约束方程、唯一确定体系的位形式动力学状态。

拉格朗日方程方法建模可以表述为：设一个机械系统的自由度为n ，对于系统可以采用广义坐标12(,,...,)n q q q q =，12(,,...)n q q q q =来描述，记该系统的总体动能为(,)T q q ，总体势能为()V q ，系统的运动特性可以用以下的拉格朗日方程描述：d 1,2,...,d i i iL Li n t q q τ⎛⎫∂∂-== ⎪∂∂⎝⎭ (1.1)其中，方程组中方程式的数目等于质点系的自由度数，i τ为作用在第i 个广义坐标i q 方向的外部力或力矩之和。

若函数L 表示系统动能T 与势能V 的差值即L=T —V ，L 称为拉格朗日函数。

即：(,)(,)()L q q T q q V q =-。

因势能不是广义速度i q 的函数，所以0iVq ∂=∂这样，系统的拉格朗日方程用L 表示为：d 1,2,...,d i i i iT T Vi n t q q q τ⎛⎫∂∂∂-=-+= ⎪∂∂∂⎝⎭ (1.2)显然，拉格朗日函数具有能量的量纲。

这不但在机械系统中成立，在电动力学中，有些问题也可求出拉格朗日函数，从而通过拉格朗日方程，来建立电动力学的运动微分方程，因此拉格朗日函数及拉格朗日方程，具有更为普遍的意义。

1.3球杆系统建模过程为了简化和清晰建模过程，可将球杆系统分解为三个部分——球杆机械部分模型，球杆角度转换部分模型和直流电机部分模型。

1.3.1球杆系统机械部分建模对于球杆系统中球和横杆的运动方程可以采用拉格朗日方法建模。

定义广义坐标(x ,α)，x 、α分别表示小球相对固定轴端的位移和导轨相对水平位置绕固定轴逆时针方向的转角，x 、α分别表示相应的位移速度和角速度。

当然，建立拉氏方程一般分以下四个步骤：1)用广义坐标表示笛卡尔坐标：12(,,...,)k k n x x q q q = 2)用广义速度表示笛卡尔坐标下的速度：d d k kk x q x x q q t q∂∂=⋅=∂∂3)(,)()L T V T q q V q =-=- 4)求出i L q ∂∂及iLq ∂∂，按自由度数建立拉格朗日方程组。

①求系统动能选取球杆系统的广义坐标为(,)q x α，系统的自由度为2，用广义坐标表示笛卡尔坐标为：1cos x x α=⋅，1sin y x α=⋅，广义速度之间的关系为：1cos sin x x x ααα=⋅-⋅⋅， (1.3)1sin cos y x x ααα=⋅+⋅⋅ (1.4) 小球沿广义坐标1x 方向运动的动能：221111()2T m x y =+2221()2m x x α=+⋅ (1.5) 小球绕径向转动的动能为：2212m T J ω=(1.6) 式中ω表示小球转动的角速度，由小球在横杆上的滚动速度和横杆的转动速度两部分组成，即：xRωα=+ (1.7) 22222x x x R R R ωααα⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1.8)因α数值很小，故可做一下近似22x R ω⎛⎫= ⎪⎝⎭，故有：2212m x T J R ⎛⎫= ⎪⎝⎭(1.9)其中m J 为小球的转动惯量，225m J mR = 横杆绕固定端转动时的动能为：2312M T J α=(1.10) 其中M J 为横杆的转动惯量，213M J ML =故系统总动能：22222123111()222m M x T T T T m x x J J R αα⎛⎫=++=+⋅++ ⎪⎝⎭ (1.11)②求系统势能 小球的势能：1sin V mgx α= (1.12)横杆本身引起的势能为：21sin 2V MgL α=(1.13) 故系统总势能：12V V V =+1sin sin 2mgx MgL αα=+(1.14) 对式1.11做以下处理，得到：222222111()222m M T x m x x J J mx x x R ααα⎡⎤∂∂⎛⎫=+⋅++=⎢⎥ ⎪∂∂⎝⎭⎢⎥⎣⎦ (1.15) 222222111()222m m M T x J m x x J J m x x x R R αα⎡⎤∂∂⎛⎫⎛⎫=+⋅++=+⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ (1.16) 1sin sin sin 2V mgx MgL mg x x ααα∂∂⎛⎫=+= ⎪∂∂⎝⎭(1.17) 对式1.15做以下处理，得到：22d d d d m m T J J m x m x t x t R R ∂⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ (1.18) 根据式1.2，得到广义坐标下x 的拉格朗日方程，即有：d d T TV t xxx ∂∂∂⎛⎫-=- ⎪∂∂∂⎝⎭ (1.19) 综合以上式1.14、1.15、1.16、1.17，得出关于广义坐标下x 的方程为：22sin m J m x mx mg R αα⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭(1.20) 当系统处于平衡状态时，α等于零，在零点附近对系统进行线性化处理，可取sin αα≈，cos 1α≈，2x α表示离心加速度，实际中其数值很小，可忽略，于是可得到近似方程：2m J m x mg R α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ (1.21) 对上式进行拉氏变换即可得球杆系统机械部分模型为：图2球杆系统的近似模型22()1()m X s mg J s s m R α=-*+ (1.22)1.3.2球杆系统角度转换部分模型在球杆的执行机构中，横杆一端固定，大齿轮、连杆与横杆一起组成了一个四连杆结构，齿轮的转动就通过连杆作用到横杆上，从而使横杆绕固定轴转动。

齿轮转角θ和横杆的转角α之间的关系可以用下式表示：()()2221cos 1cos (sin sin )L r L l r l αθαθ---++-=⎡⎤⎣⎦ (1.23)在横杆水平位置附近，齿轮转角在50±之间，故可以将其近似为一个比例关系：r Lαθ= (1.24)1.3.3球杆系统直流电机部分模型球杆系统中的电机由智能驱动器控制，其响应速度相当快且电机转角()t θ对电压()u t 的响应时间常数也很小。

因此可将直流伺服电机数学模型近似为一个纯增益K 。

1.4球杆系统状态空间描述根据以上模型的推导过程，整个球杆系统的模型可以近似为如图2所示。

故整个系统的传递函数近似为：22()1()m X s mgrK J U s s m L R =-*⎛⎫+ ⎪⎝⎭线性化的系统方程还可以用状态空间方程来表示。

我们将小球的位置(r)和 速度(r 的一阶导数 )作为变量， 将齿轮角度θ作为输入，状态方程如下所示：θm)R J L(mgd 0r r 0010r r 2⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 不过，在本实验中， 我们不用角度θ，而是用α的二阶导数来控制小球位置，这本质上就是控制横梁的转矩。

状态方程变为：u 1000ααr r 0010000m R J mg00010ααr r2⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=ααr r 0001y注意: 对于本系统是采用电机在横杆上施加转矩来控制小球的位置的。

2.球杆系统性能分析根据第一部分球杆系统的状态空间描述在这章中对球杆系统的能控性，能观性进行等方面进行分析。

2.1球杆系统的能控能观性利用matlab工具箱对球杆系统进行的能控能观性分析如下：A = [0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1;0 0 0 0];B = [0 ;0; 0; 1];C = [1 0 0 0];D = [0];N = size(A);n = N(1);CAM=ctrb(A,B);rcam=rank(CAM);if rcam == ndisp('System is controlled');elseif rcam < ndisp('System is not controlled');endob = obsv(A,C);roam=rank(ob);if roam == ndisp('System is observable');elseif rcam<ndisp('System is not observable');end结果为：所以系统是能控能观的。

2.2球杆系统的稳定性分析根据系统的状态空间方程容易得知系统有四个特征根且四个特征跟均为零，对于高阶非线性系统的平衡状态X e的稳定性要由高阶导数项G（y）来决定的；通过查取资料分析该球杆系统是非稳定的。

（查取资料前用分别用李亚普诺夫第一方法和第二法进行了分析，在采取第二法分析中由于求取的矩阵P不唯一，得不到相关的结果，最后查取资料进行了分析，并将资料付在论文最后）。

2.3球杆系统极点配置与控制器设计极点配置的方法就是通过一个适当的状态反馈增益矩阵的状态反馈方法 ,将闭环系统的极点配置到任意期望的位置。

()()()X t Ax t Bu t ，其中x 是状态变量（n 维），u 是控制信号，这里选取控制信号为u Kx ，)()()(t x BK A t x *-= ，该方程的解为()()(0)ABK tx t e x ，系统的稳态响应和瞬态响应特性由矩阵 A - B K 的特征决定。