第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
直接迭代法 N-R迭代
x g(x)
xk 1 g(xk )
1 1
x k 1 x k F(x k ) F (x k )
f1 x 1 f 2 x F(x k ) 1 f n x1 f1 f1 x2 xn f 2 f 2 x2 xn f n f n x2 xn x xk
p

塑性成形过程 计算机数值模拟
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
单调加载

s0

s s ( p )
s0
p
Байду номын сангаас
p


理想弹塑性
硬化塑性
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第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
反向加载

s0
2 s 0
s ( p )
各向同性硬化:
(3) 所有载荷段循环，并将结果进行累加
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第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
4.2 材料非线性问题及分类
• 概念：由于材料的应力应变非线性关系引起的非 线性。 • 分类：
–不依赖时间的弹、塑性问题
• 非线性弹性——橡胶 • 弹塑性——冲压成形
–依赖于时间的粘（弹、塑）性问题
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第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
硬化法则
• 塑性硬化法则规定了材料进入塑性变形后的后继 屈服函数（又称加载函数或加载曲面） – 各向同性硬化 – 运动硬化 – 混合硬化
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第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
各向同性硬化：材料进入塑性变形以后，屈服面在各方向均匀地向外 扩张，其形状、中心及其在应力空间的方位均保持不变。
• 蠕变——载荷不变，变形随时间继续变化 • 松弛——变形不变，应力随时间衰减
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非线性弹性材料行为
橡胶应力应变关系曲线
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• 弹塑性材料进入塑性 的特征：载荷卸去后 存在不可恢复的永久 变形。 • 应力应变之间不是单 值对应关系，与加载 历史有关。
问题:
当材料处于后继弹性状态而继续加载时，应力（或变 形）发展到什么程度材料再一次开始屈服呢？
把复杂应力状态下，确定材料后继弹性状态的界限的 准则就称为后继屈服条件，又称为加载条件。
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第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
一般应力状态下弹塑性材料行为
• 屈服准则（初始屈服条件） • 硬化法则 （后继屈服函数、加载函数、加载曲面） • 流动法则 • 加载、卸载准则
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
• 随着有限元算法理论、计算机硬件和软件技术的进步及实际工业的需 求，CAE技术的应用逐步由线性模拟为主向非线性模拟为主快速发展。 – 1969年，第一个商业非线性有限元程序——Marc诞生。 – 目前几乎所有的商业有限元软件都具备较强的非线性问题的分析 求解能力。 • 非线性求解技术的先进性与稳健性已经成为衡量一个结构分析程序优 劣的标准。
运动硬化
混合硬化：其实质就是将随动强化模型和等向强化模型结合起来，即 认为后继屈服面的形状、大小和位置一起随塑性变形的发展而变化 。 该模型能够更好的反映材料的Bauschinger效应 。
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第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
非线性问题的有限元求解方法 非线性问题有限元控制方程： K(q)q P •
– – –
非线性方程(组)的求解方法
直接迭代法 Newton-Raphson迭代法 修正的Newton-Raphson迭代法
•
–
非线性问题通常采用增量法求解（追踪加载过 程中应力和变形的演变历史。）
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第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
为了与初始屈服应力相区别，我们称之为后继屈服应力。 与初始屈服应力不同，它不是一个材料常数，而是依赖 于塑性变形的大小和历史。 后继屈服应力是在简单拉伸下，材料在经历一定塑性变形 后再次加载时，变形是按弹性还是塑性规律变化的界限。
F ij , ij f k0 0 1 ij ij ij f ij 2 1 2 k s0 0 3
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2
2
1
1
各向同性硬化
F 0 ( ij ) 0
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各向同性屈服准则：各个方向屈服应力相同 各向异性屈服准则：不同方向屈服应力有差异
常用的各向同性Von-Mises屈服准则： 1 1 2 0 ij s0 0 F ( ij ) ij 2 3
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第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
课程教学内容：
第一章
第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章
绪 论
塑性成形分析的理论基础 有限元法基本概念 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法 几种通用有限元分析软件介绍（ANSYS、MARC、ABAQUS） 几种典型材料成形过程计算机模拟分析实例
F ( ij , k ) f k 0 1 1 2 p f ij ij k s ( ) 2 3
材料的强化只与总的塑性变形 功有关而与加载路径无关。
应力有反复变化时，等向强化 模型与实验结果不相符合。
运动硬化：该模型假设材料随塑性变形发展时，屈服面的大小和形状 不变，仅是整体在应力空间作平动。
K(q)q P
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非线性问题可以分为三类： • 材料非线性：体系的非线性由材料的应力应变 关系的非线性引起。
– 如金属变形弹塑性行为、橡胶的超弹性行为等
• 几何非线性：结构的位移使体系的受力状态发 生了显著的变化。
– 如板壳的大挠度问题 ——平衡方程必须建立于变形后的状态
N-R迭代:
KT (qi(k ) )qi( k ) Pi( k )
Pi( k ) P(k 1) Pi(k )
q
(k ) 1
k) (k ) qi( k ) qi( q 1 i
q(k )
q( k 1)
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第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
和简单应力状态相似，材料在复杂应力状态下同样 存在初始屈服和后继屈服的问题。
材料在复杂应力状态下，在经历初始屈服和发生塑性 变形后，此时卸载，将再次进入弹性状态（称为后继弹 性状态）。
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第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
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第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
(1) 将总的外力载荷分为一系列载荷段
K(q)q P
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第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
(2) 在每一载荷段中进行迭代，直至收敛
K(q)q P
P1( k )
(k ) KT (q1 )
K(q)q P( k 1)
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第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
屈服准则（初始屈服条件）
• 在单向受力情况下，当应力达到材料的屈服强度时材料 开始产生塑性变形。 • 对于一般复杂的应力状态，应力状态由六个应力分量决 定时，显然不能根据某个单独应力分量的数值作为判断 材料是否进入塑性变形的标准。为此，引入以应力分量 为坐标的应力空间，根据代表不同应力路径的实验结果， 可以定出从弹性阶段进入塑性阶段的各个界限，即屈服 应力点。在应力空间中，这些屈服应力点形成一个区分 弹性和塑性的分界面——屈服面。描述这个屈服面的数 学表达式就是我们所要寻求的一般应力状态下的屈服准 则。
f ( xk ) xk 1 xk f ( x0 )
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第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
非线性方程组的迭代求解方法
f1 ( x1 , x2 , , xn ) 0 f ( x , x , , x ) 0 2 1 2 n f n ( x1 , x2 , , xn ) 0
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第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
三维主应力空间
F 0 ( ij )
1 1 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 s20 0 6 3
2 2


o
o
1
3
π平面上的屈服轨迹
1
σ3=0平面上的屈服轨迹
修正的N-R迭代 x k 1 x k F(x 0 ) F(x k )
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非线性问题的增量法求解过程 (1) 将总的外力载荷分为一系列载荷段 (2) 在每一载荷段中进行迭代，直至收敛 (3) 所有载荷段循环，并将结果进行累加
L
nom

s0
nom (1 nom ) p e ln(1 nom ) E

s0
F nom (1 nom ) A ln L ln(1 nom ) L0