江苏省扬州市广陵区2020年中考数学二模试卷一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．﹣2的倒数是（）A．﹣B．C．﹣2D．22．函数y＝中自变量x的取值范围是（）A．x＞2B．x≥2C．x≤2D．x≠23．下列计算正确的是（）A．2a+3b＝5ab B．（a﹣b）2＝a2﹣b2C．（2x2）3＝6x6D．x8÷x3＝x54．下列水平放置的四个几何体中，主视图与其它三个不相同的是（）A．B．C．D．5．已知正多边形的一个内角是140°，则这个正多边形的边数是（）A．九B．八C．七D．六6．小明根据演讲比赛中九位评委所给的分数制作了如下表格：平均数中位数众数方差8.58.38.10.15如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不发生变化的是（）A．平均数B．众数C．中位数D．方差7．在二次函数y＝﹣x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x﹣3﹣2﹣112345y﹣14﹣7﹣22m n﹣7﹣14则m、n的大小关系为（）A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．无法确定8．两块等腰直角三角形纸片AOB和COD按图1所示放置，直角顶点重合在点O处，其中AB＝3，CD＝6．保持纸片AOB不动，将纸片COD绕点O逆时针旋转α（0°＜α＜90°），如图2所示．当BD与CD在同一直线上（如图3）时，tanα的值等于（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．我国最大的领海南海总面积有3500 000平方公里，将数3500 000用科学记数法表示应为．10．若2x＝3y，且x≠0，则的值为．11．若关于x的方程x2﹣8x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝．12．如图，转盘中6个小扇形的面积都相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域的概率为．13．如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，如果∠1＝27°，那么∠2＝°．14．已知圆锥的底面半径是2，母线长是4，则圆锥的侧面积是．15．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝100°，则∠BCD＝．16．计算：40382﹣4×2018×2020＝．17．如图，在菱形OABC中，点A的坐标是（2，1），点B的横坐标是3，则点C的坐标是．18．如图，将直线y＝x向下平移b个单位长度后得到直线l，l与反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象相交于点A，与x轴相交于点B，则OA2﹣OB2＝10，则k的值．三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）（1）计算：﹣3tan30°；（2）解不等式：．20．（8分）先化简再求值：，其中a是方程a2+a＝0的一个根．21．（8分）为了解某校初二学生每周上网的时间，两位学生进行了抽样调查．小丽调查了初二电脑爱好者中40名学生每周上网的时间；小杰从全校400名初二学生中随机抽取了40名学生，调查了每周上网的时间．小丽与小杰整理各自样本数据，如表所示．时间段（小时/周）小丽抽样人数小杰抽样人数0～16221～210102～31663～482（每组可含最低值，不含最高值）（1）你认为哪位同学抽取的样本不合理？请说明理由．（2）根据合理抽取的样本，把上图中的频数分布直方图补画完整；（3）专家建议每周上网2小时以上（含2小时）的同学应适当减少上网的时间，估计该校全体初二学生中有多少名同学应适当减少上网的时间？22．（8分）在不透明的袋子中有四张标着数字1，2，3，4 的卡片，这些卡片除数字外都相同．甲同学按照一定的规则抽出两张卡片，并把卡片上的数字相加．如图是他所画的树状图的一部分．（1）由如图分析，甲同学的游戏规则是：从袋子中随机抽出一张卡片后（填“放回”或“不放回”），再随机抽出一张卡片；（2）帮甲同学完成树状图；（3）求甲同学两次抽到的数字之和为偶数的概率．23．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F 为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．（1）在图中找出一对相似三角形，并说明理由；（2）若AB＝8，AD＝，AF＝，求AE的长．24．（10分）甲、乙两公司为“见义勇为基金会”各捐款60000元，已知乙公司比甲公司人均多捐40元，甲公司的人数比乙公司的人数多20%．请你根据以上信息，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解答过程．25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是的中点，连接AE交BC 于点F，∠ACB＝2∠EAB．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若cos C＝，AC＝8，求BF的长．26．（10分）如图①，老旧电视机屏幕的长宽比为4：3，但是多数电影图象的长宽比为2.4：1，故在播放电影时电视机屏幕的上方和下方会有两条等宽的黑色带子．（1）若图①中电视机屏幕为20寸（即屏幕对角线长度）：①该屏幕的长＝寸，宽＝寸；②已知“屏幕浪费比＝”，求该电视机屏幕的浪费比．（2）为了兼顾电影的收视需求，一种新的屏幕的长宽比诞生了．如图②，这种屏幕（矩形ABCD）恰好包含面积相等且长宽比分别为4：3的屏幕（矩形EFGH）与2.4：1的屏幕（矩形MNPQ）．求这种屏幕的长宽比．（参考数据：≈2.2，结果精确到0.1）27．（12分）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2；（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．28．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（3，2），且与直线y＝﹣x+交于B、C 两点，点B的坐标为（4，m）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+P A的最小值；（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使∠AQM＝45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2020年江苏省扬州市广陵区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．﹣2的倒数是（）A．﹣B．C．﹣2D．2【分析】根据倒数的定义即可求解．【解答】解：﹣2的倒数是﹣．故选：A．【点评】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．2．函数y＝中自变量x的取值范围是（）A．x＞2B．x≥2C．x≤2D．x≠2【分析】根据被开方数大于等于0，列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，解得x≥2．故选：B．【点评】本题考查了函数自变量的范围，当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．3．下列计算正确的是（）A．2a+3b＝5ab B．（a﹣b）2＝a2﹣b2C．（2x2）3＝6x6D．x8÷x3＝x5【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则、完全平方公式分别化简得出答案．【解答】解：A、2a+3b，无法计算，故此选项错误；B、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故此选项错误；C、（2x2）3＝8x6，故此选项错误；D、x8÷x3＝x5，故此选项正确；故选：D．【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、积的乘方运算、完全平方公式等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．4．下列水平放置的四个几何体中，主视图与其它三个不相同的是（）A．B．C．D．【分析】分别找到四个几何体从正面看所得到的图形比较即可．【解答】解：A、主视图为长方形；B、主视图为长方形；C、主视图为长方形；D、主视图为三角形．则主视图与其它三个不相同的是D．故选：D．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．5．已知正多边形的一个内角是140°，则这个正多边形的边数是（）A．九B．八C．七D．六【分析】首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数．【解答】解：∵正多边形的一个内角是140°，∴它的外角是：180°﹣140°＝40°，360°÷40°＝9．即这个正多边形是九边形．故选：A．【点评】此题主要考查了多边形的外角与内角，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求出求边数．6．小明根据演讲比赛中九位评委所给的分数制作了如下表格：平均数中位数众数方差8.58.38.10.15如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不发生变化的是（）A．平均数B．众数C．中位数D．方差【分析】根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数．【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数不发生变化；故选：C．【点评】本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义，难度不大．7．在二次函数y＝﹣x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x﹣3﹣2﹣112345y﹣14﹣7﹣22m n﹣7﹣14则m、n的大小关系为（）A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．无法确定【分析】从表中任意选取两组已知数代入二次函数的解析式求得解析式，再分别代入x ＝2和x＝3，求得m与n的值便可．【解答】解：把x＝1，y＝2和x＝﹣1，y＝﹣2都代入y＝﹣x2+bx+c中，得解得，，∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+1，把x＝2，y＝m和x＝3，y＝n代入y＝﹣x2+2x+1得，m＝﹣4+4+1＝1，n＝﹣9+6+1＝﹣2，∴m＞n，故选：A．【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及求函数的值，正确解方程组是解决本题的关键．8．两块等腰直角三角形纸片AOB和COD按图1所示放置，直角顶点重合在点O处，其中AB＝3，CD＝6．保持纸片AOB不动，将纸片COD绕点O逆时针旋转α（0°＜α＜90°），如图2所示．当BD与CD在同一直线上（如图3）时，tanα的值等于（）A．B．C．D．【分析】延长BD交OA于G，交AC于E，只要证明△AOC≌△BOD即可解决问题．如图2中，设AC＝x，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出x，再根据三角函数的定义即可解决问题．【解答】解：如图1，延长BD交OA于G，交AC于E．∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠DOB，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD，∠CAO＝∠DBO，∵∠DBO+∠OGB＝90°，∵∠OGB＝∠AGE，∴∠CAO+∠AGE＝90°，∴∠AEG＝90°，∴BD⊥AC，如图2中，设AC＝x，∵BD、CD在同一直线上，BD⊥AC，∴△ABC是直角三角形，∴AC2+BC2＝AB2，∴x2+（x+6）2＝（3）2，解得x＝3或x＝﹣9（舍去），∴BC＝＝9，∵∠ODC＝∠α+∠DBO＝45°，∠ABC+∠DBO＝45°，∴∠α＝∠ABC，∴tanα＝tan∠ABC＝＝．故选：C．【点评】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题．二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．我国最大的领海南海总面积有3500 000平方公里，将数3500 000用科学记数法表示应为3.5×106．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：3500 000＝3.5×106，故答案为：3.5×106．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．10．若2x＝3y，且x≠0，则的值为．【分析】直接利用比例的性质得出x＝y，进而代入求出答案．【解答】解：∵2x＝3y，且x≠0，∴x＝y，∴＝＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确得出x＝y是解题关键．11．若关于x的方程x2﹣8x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝16．【分析】根据判别式的意义得到△＝（﹣8）2﹣4m＝0，然后解关于m的方程即可．【解答】解：△＝（﹣8）2﹣4m＝0，解得m＝16．故答案为16．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．12．如图，转盘中6个小扇形的面积都相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域的概率为．【分析】首先确定在图中红色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向红色区域的概率．【解答】解：∵圆被等分成6份，其中红色部分占2份，∴落在阴影区域的概率＝＝，故答案为．【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率；此题将概率的求解设置于几何图象或游戏中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．13．如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，如果∠1＝27°，那么∠2＝57°．【分析】先根据三角形内角和定理求出∠4的度数，根据平行线性质求出∠3，根据邻补角定义求出即可．【解答】解：∵将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，∠1＝27°，∴∠4＝90°﹣30°﹣27°＝33°，∵AD∥BC，∴∠3＝∠4＝33°，∴∠2＝180°﹣90°﹣33°＝57°，故答案为：57°．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，邻补角的定义的应用，解此题的关键是能求∠3的度数，难度适中．14．已知圆锥的底面半径是2，母线长是4，则圆锥的侧面积是8π．【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．【解答】解：底面半径是2，则底面周长＝4π，圆锥的侧面积＝×4π×4＝8π．【点评】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．15．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝100°，则∠BCD＝130°．【分析】根据圆内接四边形的对角互补求得∠A的度数，再根据圆周角定理求解即可．【解答】解：∵∠BOD＝100°∴∠A＝50°∠BCD＝180°﹣∠A＝130°故答案为：130°．【点评】此题主要考查了圆周角定理和圆内接四边形，关键是掌握圆内接四边形的对角互补．16．计算：40382﹣4×2018×2020＝4．【分析】根据有理数的混合计算解答即可．【解答】解：40382﹣4×2018×2020＝（2018+2020）2﹣4×2018×2020＝（2018﹣2020）2＝4，故答案为：4．【点评】此题考查有理数的混合计算，关键是根据有理数的混合计算解答．17．如图，在菱形OABC中，点A的坐标是（2，1），点B的横坐标是3，则点C的坐标是（1，2）．【分析】作AD⊥x轴于D，BF⊥x轴于F，AE⊥BF于E，BG⊥y轴于H，CG⊥BH于G，CM⊥Y轴于M，则四边形BHOF是矩形，四边形ADFE是矩形，四边形GHMC是矩形，证明Rt△ABE≌Rt△AOD，得出BE＝OD＝2，求出BF＝3，同理可证：△CBG≌△AOD，得出CG＝AD＝1，BG＝OD＝2，得出HM＝1，OM＝2，即可得出结果．【解答】解：作AD⊥x轴于D，BF⊥x轴于F，AE⊥BF于E，BG⊥y轴于H，CG⊥BH 于G，CM⊥Y轴于M，如图所示：则四边形BHOF是矩形，四边形ADFE是矩形，四边形GHMC是矩形，∠ADO＝∠AEB ＝∠CGB＝∠CMO＝90°，∵点A的坐标是（2，1），点B的横坐标是3，∴OD＝2，EF＝AD＝1，BH＝3，∴AE＝1，∴AE＝AD，∵四边形OABC是菱形，∴OA＝AB＝BC＝OC，在Rt△ABE和Rt△AOD中，，∴Rt△ABE≌Rt△AOD（HL），∴BE＝OD＝2，∴BF＝3＝BH，同理可证：△CBG≌△AOD，∴CG＝AD＝1，BG＝OD＝2，∴HM＝1，OM＝3﹣1＝2，∴C（1，2）；故答案为：（1，2）．【点评】本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．18．如图，将直线y＝x向下平移b个单位长度后得到直线l，l与反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象相交于点A，与x轴相交于点B，则OA2﹣OB2＝10，则k的值5．【分析】由平移的性质得直线l：y＝x﹣b，所以B（b，0），联立一次函数与反比例函数关系式得：x﹣b＝，设点A的坐标为（x，x﹣b），由OA2﹣OB2＝10得2k＝10，所以k ＝5【解答】解：直线y＝x向下平移b个单位长度后得到直线l：y＝x﹣b∴B（b，0）∵l与反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象相交于点A∴x﹣b＝即：x2﹣bx﹣k＝0∴x2＝bx+k设A点坐标为（x，x﹣b）∵OA2﹣OB2＝x2+（x﹣b）2﹣b2＝2x2﹣2bx＝2k∴2k＝10k＝5故答案为：5【点评】本题主要涉及到一次函数和反比例函数的相关知识．掌握函数的平移规律及反比函数的相关性质即可解题．三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）（1）计算：﹣3tan30°；（2）解不等式：．【分析】（1）根据实数的运算解答即可；（2）根据一元一次不等式的解法解答即可．【解答】解：（1）原式＝＝；（2）去分母得：3（1﹣2x）﹣6≥2（x+2），移项、合并同类项得：﹣8x≥7，化系数为1得：x≤﹣．【点评】此题考查一元一次不等式的解法，关键是根据一元一次不等式的解法和实数的运算解答．20．（8分）先化简再求值：，其中a是方程a2+a＝0的一个根．【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后求出方程a2+a＝0的解，然后将使得原分式有意义的a的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：＝＝＝，由方程a2+a＝0，得a1＝0，a2＝﹣1，∵当a＝0时，原分式无意义，∴a＝﹣1，当a＝﹣1时，原式＝＝﹣．【点评】本题考查分式的化简求值、解一元二次方程，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．21．（8分）为了解某校初二学生每周上网的时间，两位学生进行了抽样调查．小丽调查了初二电脑爱好者中40名学生每周上网的时间；小杰从全校400名初二学生中随机抽取了40名学生，调查了每周上网的时间．小丽与小杰整理各自样本数据，如表所示．时间段（小时/周）小丽抽样人数小杰抽样人数0～16221～210102～31663～482（每组可含最低值，不含最高值）（1）你认为哪位同学抽取的样本不合理？请说明理由．（2）根据合理抽取的样本，把上图中的频数分布直方图补画完整；（3）专家建议每周上网2小时以上（含2小时）的同学应适当减少上网的时间，估计该校全体初二学生中有多少名同学应适当减少上网的时间？【分析】（1）根据抽样调查时，抽取的样本要有代表性，即可作出判断；（2）根据统计表即可直接补全直方图；（3）利用总人数400乘以对应的比例即可．【解答】解：（1）小丽；因为她没有从全校初二学生中随机进行抽查，不具有代表性．（2）如图所示：；（3）该校全体初二学生中应适当减少上网的时间的人数是：400×＝80（名）．答：该校全体初二学生中有80名同学应适当减少上网的时间．【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．22．（8分）在不透明的袋子中有四张标着数字1，2，3，4 的卡片，这些卡片除数字外都相同．甲同学按照一定的规则抽出两张卡片，并把卡片上的数字相加．如图是他所画的树状图的一部分．（1）由如图分析，甲同学的游戏规则是：从袋子中随机抽出一张卡片后不放回（填“放回”或“不放回”），再随机抽出一张卡片；（2）帮甲同学完成树状图；（3）求甲同学两次抽到的数字之和为偶数的概率．【分析】（1）根据小明画出的树形图知数字1在第一次中出现，但没有在第二次中出现可以判断；（2）根据本实验是一个不放回试验作出树状图即可；（3）根据树状图利用概率公式求解即可．【解答】解：（1）观察树状图知：第一次摸出的数字没有在第二次中出现，∴甲同学的实验是一个不放回实验，故答案为：不放回；（2）补全树状图为：（3）由树状图得：共有12种情况，两次抽到的数字之和为偶数的有4种，故P（两次抽到的数字之和为偶数）＝＝．【点评】本题考查了列表法和树状图法，利用列表法或树状图法展示某一随机事件中所有等可能出现的结果数n，再找出其中某一事件所出现的可能数m，然后根据概率的定义可计算出这个事件的概率．23．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F 为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．（1）在图中找出一对相似三角形，并说明理由；（2）若AB＝8，AD＝，AF＝，求AE的长．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到∠ADF＝∠DEC，根据平行线的性质、等量代换得到∠AFD＝∠C，根据相似三角形的判定定理证明结论；（2）根据相似三角形的性质求出DE，根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：（1）△ADF∽△DEC，理由如下：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠C+∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC，∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，∴∠AFD＝∠C，∵∠ADF＝∠DEC，∠AFD＝∠C，∴△ADF∽△DEC；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝8，由（1）可知△ADF∽△DEC，∴＝，即＝，解得，DE＝12，在Rt△ADE中，AE＝＝6．【点评】本题考查的是平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．24．（10分）甲、乙两公司为“见义勇为基金会”各捐款60000元，已知乙公司比甲公司人均多捐40元，甲公司的人数比乙公司的人数多20%．请你根据以上信息，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解答过程．【分析】首先提出问题，例如，求甲、乙两公司的人数分别是多少？则本题的等量关系是：乙公司的人均捐款﹣甲公司的人均捐款＝40，根据这个等量关系可得出方程求解．【解答】问题：求甲、乙两公司的人数分别是多少？解：设乙公司人数为x，则甲公司的人数为（1+20%）x，根据题意得：﹣＝40解得：x＝250经检验x＝250是原方程的根，故（1+20%）×250＝300（人），答：甲公司为300人，乙公司250人．【点评】本题考查了分式方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是的中点，连接AE交BC 于点F，∠ACB＝2∠EAB．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若cos C＝，AC＝8，求BF的长．【分析】（1）如图①，连接AD．根据直径所对的圆周角为直角及同圆中等弧所对的圆周角相等，及∠ACB＝2∠EAB．求得∠BAD+∠CAD＝90°，则BA⊥AC，根据切线的判定定理可得证；（2）如图②，过点F做FH⊥AB于点H，先在Rt△ADC和Rt△BAC中，分别求得CD、BC、BD．再在Rt△BFH中，由三角函数可求得FH及DF，则可用BD的值减去DF的值，求得BF．【解答】（1）证明：如图①，连接AD．图①∵E是的中点，∴∴∠DAE＝∠EAB．∵∠C＝2∠EAB，∴∠C＝∠BAD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°∴∠C+∠CAD＝90°∴∠BAD+∠CAD＝90°即BA⊥AC．∴AC是⊙O的切线．（2）解：如图②，过点F做FH⊥AB于点H．图②∵AD⊥BD，∠DAE＝∠EAB，∴FH＝FD，且FH∥AC．在Rt△ADC中，∵cos C＝，AC＝8，∴CD＝6．同理，在Rt△BAC中，可求得BC＝∴BD＝设DF＝x，则FH＝x，BF＝﹣x∵FH∥AC，∴∠BFH＝∠C．∴cos∠BFH＝＝即＝解得x＝2．∴BF＝．【点评】本题考查了圆的切线的判定定理及三角函数在线段求值中的应用，熟练掌握相关定理及相似或三角函数的计算技巧，是解题的关键．26．（10分）如图①，老旧电视机屏幕的长宽比为4：3，但是多数电影图象的长宽比为2.4：1，故在播放电影时电视机屏幕的上方和下方会有两条等宽的黑色带子．（1）若图①中电视机屏幕为20寸（即屏幕对角线长度）：①该屏幕的长＝16寸，宽＝12寸；②已知“屏幕浪费比＝”，求该电视机屏幕的浪费比．（2）为了兼顾电影的收视需求，一种新的屏幕的长宽比诞生了．如图②，这种屏幕（矩形ABCD）恰好包含面积相等且长宽比分别为4：3的屏幕（矩形EFGH）与2.4：1的屏幕（矩形MNPQ）．求这种屏幕的长宽比．（参考数据：≈2.2，结果精确到0.1）【分析】（1）①根据电视机屏幕的长宽比为4：3，设长为4x，则宽为3x，再由勾股定理求出x的值，进而可得出结论；②设在该屏幕上播放长宽比为2.4：1的视频时，视频的宽为a寸（长为16寸），求出a 的值，得出黑色带子的宽度，进而得出其比值；（2）根据题意得出＝，＝，得PQ＝BC，FG＝EF．再由S矩形EFGH ＝S矩形MNPQ即可得出＝，进而可得出结论．【解答】解：（1）①∵电视机屏幕的长宽比为4：3，∴设长为4x，则宽为3x，∵电视机屏幕为20寸，∴（4x）2+（3x）2＝202，解得x＝4，∴4x＝16，3x＝12，∴该屏幕的长为16寸，宽为12寸；故答案为：16；12．②设在该屏幕上播放长宽比为2.4：1的视频时，视频的宽为a寸（长为16寸）．∵＝，解得a＝．∴黑色带子的宽的和＝12﹣＝．∴屏幕浪费比＝＝；（2）由题意：＝，＝，得：PQ＝BC，FG＝EF．∵S矩形EFGH＝S矩形MNPQ，∴BC•BC＝EF•EF．∴＝，∴＝≈1.8．答：这种屏幕的长宽比约为1.8．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．27．（12分）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2；（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．【解答】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．证明：∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；（2）如图2，∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2．（3）连接CG、BE，∵∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，∵AC＝4，AB＝5，∴BC＝3，CG＝4，BE＝5，∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73，∴GE＝．【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．28．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（3，2），且与直线y＝﹣x+交于B、C 两点，点B的坐标为（4，m）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+P A的最小值；（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使∠AQM＝45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点B的坐标为（4，m）代入y＝﹣x+，m＝﹣4+＝﹣，B的坐标为（4，﹣），将A（3，2），B（4，﹣）代入y＝﹣x2+bx+c，解得b＝1，c＝，因此抛物线的解析式y＝；。