2020年 4 月17 日高中数学作业学校:_________ 姓名：________ 班级：________ 考号：________一、多选题1 ．下列说法正确的是（）A ．从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样B．某地气象局预报： 5 月 9日本地降水概率为90%，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学C．在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好D．在回归直线方程y? 0.1x 10中，当解释变量x每增加 1 个单位时，预报变量y?增加 0.1 个单位【答案】 CD【解析】【分析】对 A, 根据分层抽样的意义辨析即可 .对 B, 根据概率的含义辨析即可 .对 C, 根据回归模型的性质辨析即可 .对 D, 根据线性回归方程的实际意义分析即可.【详解】对 A,分层抽样为根据样本特征按比例抽取 ,从匀速传递的产品生产流水线上 , 质检员每 10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测不满足.故 A 错误.对 B, 降水概率为90%,但仍然有10%的概率不下雨 ,故 B 错误 .对 C, 在回归分析模型中 , 残差平方和越小 , 说明模型的拟合效果越好正确 . 对 D, 回归直线方程y? 0.1x 10中x的系数为 0.1,故当解释变量x 每增加 1个单位时 ,预报变量y?增加 0.1 个单位正确 .故选： CD【点睛】本题主要考查了概率统计中分层抽样、概率与回归直线的基本概念与性质 .属于基础题 .222．关于函数f （x） cos2x sin2x 1，下列说法正确的是（）B ．函数 f (x)以 为周期且在区间 , 单调递增2 4 2C ．函数 f (x) 是偶函数且在区间 , 单调递减42D ．将 f(x) 的图像向右平移 1个单位得到 g(x) | cos(2 x 1)| 1 【答案】 AB 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式， 然后根据余弦函数的性质和绝对值的性质逐一判断 即可 . 详解】f (x) cos 2x sin 2x 1 cos2x 1.kk k当 x (k Z)时， f ( ) cos2 1 cosk 1 2 ，所以函数 f(x)在 kx (k Z)处取得最大值，故本选项是正确的；2当 x , 时， 2x , ，所以 f(x) cos2x 1 cos2x 1，故函数是单 4 2 2调递增函数，因此本选项是正确的；C ： f( x) cos[2( x)] 1 cos2x +1=f ( x) ，所以函数是偶函数，由上分析，函数在区间 4,2单调递减是不正确的，故本选项是错误的；D ：将 f (x) 的图像向右平移 1个单位得到 g(x) |cos[2(x 1)]| 1 cos(2x2) 1，故本选项是错误 , 故选： AB 【点睛】本题考查了余弦型函数的性质，考查了二倍角的余弦公式，考查了绝对值的性质，A ．函数 f (x) 以 为周期且在 xk2(k Z) 处取得最大值A ： f(x ) cos2( x ) 1 cos2x 1f(x) ，所以函数 f (x) 的周期为B ： f(x )cos 2( x ) 1 cos2x 2 2f (x) ，所以函数f(x) 的周期为 . 1考查4xa x当且仅当 x 2时, 等号成立； 当 x 1时, f (x) x 22ax 9 为二次函数 , 要想在 x 1处取最小 , 则对称轴要满足 x a 1,且 f (1) 4 a , 即 1 2a 9 a 4, 解得 a 2, 故选 :BCD 【点睛】本题考查分段函数的最值问题 , 处理时应对每段函数进行分类讨论 , 找到每段的最小值 4．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C:y 22px (p 0) 的焦点为 F ，准线为 l.设 l与 x 轴的交点为 K ，P 为 C 上异于 O 的任意一点， P 在 l 上的射影为 E ，于点 M ， 则( )答案】 ABD了余弦的诱导公式3．已知函数 f (x) 2x 22ax 9,x 14，若 f (x) 的最小值为 f (1)，则实数 a 的值可 xa,x 1 x以是( ) A ． 1 B ．2C ．3D ．4解析】 分析】当 x 1时 ,利用均值定理可知 x min 4 a ,当 x 1时,若 f(1) 为最小值 ,需使得对称轴满足 x a 1,且由分段函数 , f(1)4 a ,进而求解即可 详解】当 x 1, f (x)4 a , EPF 的外角 平分线交 x 轴于点 Q ，过 Q 作 QN PE 交 EP 的延长线于 N ，作 QM PF 交线段 PFA ．| PE | |PF |B ． |PF | |QF |C ． |PN | |MF |D ． | PN | | KF |解析】【分析】根据抛物线的定义进行推理判断．【详解】由抛物线的定义，PE PF ， A 正确；∵ PN // QF ，PQ是FPN的平分线，∴ FQP NPQ FPQ ，∴ | PF | |QF |， B 正确；若|PN| |MF|，由PQ是外角平分线，QN PE，QM PF得QM QN，从而有PM PN ，于是有PM FM ，这样就有QP QF ，PFQ 为等边三角形，FPQ 60 ，也即有FPE 60 ，这只是在特殊位置才有可能，因此 C 错误；连接EF ，由A、B知PE QF ，又PE / /QF ，EPQF是平行四边形，∴ EF PQ，显然EK QN ，∴ KF PN ，D 正确．【点睛】本题考查抛物线的定义与性质，掌握抛物线的定义是解题基础．、解答题5．已知函数f (x) 3 cos(2 x - ) 2sin xcosx .I ）求f （x）的最小正周期；II ）求证：当x [ , ] 时，f x44答案】（ 1）T 2）见解析解析】试题分（Ⅰ）首先根据两角差的余弦公式化简，再根据辅助角函数的最小值 . 试题解析 : （Ⅰ）所以 f x 的最小正周期 T（Ⅱ）因为 x ，445所以 2x .636所以 sin 2xsin 13 62所以当 x 4, 4时， f x【名师点睛】本题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的图象与性质，属于基础题，要求准确应用两角差的余弦公式和辅助角公式进行变形，化为标准的y Asin ωx φ 的形式，借助正弦函数的性质去求函数的周期、最值等，但要注意 函数的定义域，求最值时要注意自变量的取值 . 6．已知数列 a n 的前 n 项和为 S n ， a 1 1， S n 1 a n 1 n 2 ． （ 1）求数列 a n 的通项公式；（2）设 b n log 2a n 1，求数列 a n b n 的前 n 项和 T n ． 【答案】（ 1） a n = 2n-1（2）T n n 1 2n1【解析】 【分析】（1）根据 S n 与 a n 的关系得出数列 a n 为等比数列，即可得出数列 a n 的通项公式；（ 2）利用错位相减法求解即可 . 【详解】解：（1）当 n 2时， S 1 a 2 1，即 a 2 a 1 1 2 ； 当 n 2 时， S n 1 a n 1①， S n a n 1 1②f x sin 2x 3，最后根据公式 T求周期；（Ⅱ）先求 2x 的范围再求fx3 cos2x 3sin2x sin2x 12sin2x 23cos2x sin 2x3a3 a 4a2即 L 2 ，又 2a 2 a 3a1∴数列 a n 为等比数列，公比为 2，首项为 1n 1 n1∴ a n 1 2 2 （2） 由（ 1）可得 a n 1 2n， b n lo g 2n 22 n ，a nb n n 2n 1，∴ Tn 1 202 213 22L n2n11③2T n1 21232 223 23L n12n1n2n④③ ④得T n1222L 2n 1n 2n 1 12nn 2n1 n 2n1 ，1 2∴T nn1 2n1 ．点睛】本题主要考查了利用 S n 与 a n 的关系求数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题7．如图，在正三棱柱 ABC A 1B 1C 1中， AB 2 ， AA 1 2，由顶点 B 沿棱柱侧面经1）三棱柱的侧面展开科的对角线长； 2）该最短路线的长及 A 1M的值； AM3）平面 C 1MB 与平面 ABC 所成二面角（锐角）的大小答案】（ 1） 2 10 ；（2）最短路线的长为 2 5，此时 A 1M1；（3） 45 AMS nSn 1a n 1 a n ，即 a nan 1an 1 an ，∴a过棱 AA 1到顶点 C 1 的最短路线与棱 AA 1 的交点记为 M ，求：【分析】（ 1）易知正三棱柱ABC A1 B1C1的侧面展开图是长为 6,宽为 2的矩形 ,进而求解即可；（ 2）画出展开图 , 点B 运动到点D 的位置 ,由展开图可知DC1 为最短路径 ,进而求解即可；（3）连接DB,则DB是平面C1MB 与平面ABC的交线 ,由VDCB的性质可得CB DB ,再由平面CBB1C1 平面ABC,平面CBB1C1 平面ABC BC ,可进一步得到C1B DB ,则C1BC 是平面C1MB 与平面ABC 所成二面角的平面角（锐角） , 进而求解即可【详解】（ 1）正三棱柱ABC A1B1C1的侧面展开图是长为 6, 宽为 2的矩形 , 其对角线长为622240 2 10（2）如图 ,将侧面AA1B1B绕棱AA1旋转120 使其与侧面AA1C1C在同一平面上 ,点B 运动到点D的位置 ,连接DC1交AA1于M ,则DC1是由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA1 到顶点C1 的最短路线 ,DC1DC2CC12422220 2 5 ,DMA A1MC1, MAD MA1C1 , DA A1C1, ∴VDMA VC1MA1 , ∴ AM A1M ,故A1M 1,1 1 1AM即最短路线的长为 2 5, 此时A1M1AM3）如图 ,连接DB,则DB是平面C1MB 与平面ABC的交线,在VDCB 中 , DBC CBA ABD 60 30 90 ,∴ CB DB .又∵平面CBB1C1 平面ABC ,平面CBB1C1 平面ABC BC, DB 平面ABC,∴ DB 平面CBB1C1 , ∴ C1B DB,∴ C1BC是平面C1MB与平面ABC所成二面角的平面角（锐角） ,∵侧面CBB1C1 是正方形 , ∴ C1BC 45 ,故平面C1MB 与平面ABC 所成的二面角（锐角）为45 .【点睛】本题考查由棱柱展开图求距离最小值 ,考查直接法求二面角 ,考查空间想象能力8．某学校共有教职工 900 人,分成三个批次进行继续教育培训，在三个批次中男、女教职工人数如下表所示 . 已知在全体教职工中随机抽取 1 名 ,抽到第二批次中女教职工的概率是 0.16 .（ 1）求的值；（ 2）现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取54 名做培训效果的调查 , 问应在第三批次中抽取教职工多少名？（ 3）已知，求第三批次中女教职工比男教职工多的概率 .4【答案】（ 1）144（2）12（3）9【解析】第一问中利用等概率抽样求解样本容量．可知由,解得54 名做培训效果的调查第二问中，由于用分层抽样的方法在全体教职工中抽取因此先求第三批的人数，然后按比例抽样得到第三批中抽取的人数 第三问中，结合古典概型概率公式求解得到． 解: (1)由,解得. ⋯⋯⋯⋯⋯3分(2) 第三批次的人数为 , 设应在第三批次中抽取 m 名，则 ，解得 m 12. ∴ 应在第三批次中抽取 12 名 .⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分( 3)设第三批次中女教职工比男教职工多的事件为 A ，第三批次女教职工和男教职工数记为数对 (y,z) ，由( 2)知 y z 200,( y,z N,y 96,z 96) ，则基本事件总数有：，共 9 个，而事件 A 包含的基本事件有： (101,99), (102,98),(103,97),(104,96) 共 4 个，4∴ P(A) . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 分129229．已知椭圆 E: x2 y2 1(a b 0)的左右焦点分别为 F 1,F 2，M 是椭圆短轴的一ab个顶点，且 MF 1F 2 是面积为 1的等腰直角三角形 . ( 1)求椭圆 E 的标准方程；2)已知直线 l ：x my t 0与椭圆 E 交于不同的 A ，B 两点，若椭圆 E 上存在点P ，使得四边形 OAPB 恰好为平行四边形， 求直线 l 与坐标轴围成的三角形面积的最小 值.解析】 分析】2xy 211)根据等腰直角三角形可得b c 1,a2 ，然后写出椭圆 E 的标准方程； 答案】 1) 2x 22y 21(2)2)由题意可设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立y 1，根据韦达定理和四边形2x my t1OAPB恰好为平行四边形可得点 P 的坐标，将其代入椭圆方程可得 4t 2m22，再利用面积公式和基本不等式可得最小值 详解】 1)由已知得 F 1( c,0), F 2(c,0) ，设 M(0,b). Q MF 1F2 是面积为 1 的等腰直角三角形， b c 1,a 22∴椭圆 E 的方程为 x 2 y 22）由题意可设 Ax 1,y1 ， B x 2,y2 .2 x2 y 联立 2x my 1整理得 t2mty t2 0，则 t 20.根据韦达定理得 y 1 y2 2mtm 2 2t 22y 1y 2 m 2 2 因为四边形 OAPB恰好为平行四边形，所以 uu ur OP uuu r OAuuurOB . 所以y P y12mty 2 m 2 2 ，x P x 1 x2my 1 t my 2 t m4ty 1 y 2 2tm 2 2 因为点 P 在椭圆 C 上， 16t2所以 4m 2t 2整理得 在直线 224 m 2 2 t 2m 2 2 l ： x my 2 m 221 ，即 4t2 m 2中， 由于直线 令 x 0，得 ym t，令 y 所以三角形面积为 1S 12|t |当且仅当 m 2 2， t 21时，2 21， m 22 l 与坐标轴围成三角形，则 0，得 xt .0， 0.1 m 228 |m|取等号，此时所以直线 l 与坐标轴围成的三角形面积的最小值为1218 |m| |m 2|24 0.22点睛】 本题考查了求椭圆的标准方程， 考查了直线与椭圆的交点问题， 考查了三角形的面积公 式，考查了基本不等式求最小值，考查了运算求解能力，属于中档题110．已知函数 f x 4 log a 1 x , a 0,a 1 的反函数 f 1x 的图象经过点2P 5, 1 ，函数 g(x) b x , b R 为奇函数 .2x 1( 1) 求函数 f x 的解析式； ( 2) 求函数 F x g x 2x2的零点；11( 3) 设 g x 的反函数为 g x ，若关于 x 的不等式 k g x f x 在区间1,0 上恒成立，求正实数 k 的取值范围 .答案】 (1) f x 4 log 2 1 x ；(2) x log 4 3；(3) 0,4 解析】 分析】详解】2(1) 由题意， f x 过点 ( 1,5) ，即 f 1 4 log a 25， 解得 所以 f4 log 2 1 x .(2)Q 为 R 上的奇函数 (1)根据原函数与反函数的关系可知， 函数 f x 过点 1,5，代入求解 a 值，即可 . (2) 由题意可知 g 0 0 ，解得 b 1，从而确定 F x22x 12x1，令 F x 0，即2x 1 2x2，即 4x3 ，解方程，即可 .(3)由题意可知， 1x log 21 x,x 1,1 ，则不等式 k 1x变形为k 4 log 2 2，令 t 1 x,t 0,1 ，则 k 4 1xlog 24 ，令y 4 log 2t 44 ，根据函数的单调性，可知 y tlog 244 t4 ，从而求解正实数 k 的取值范围 .∴g22x 1b 02 b 1 0 ，解得b 1，即g x201gx 2x21F x 0 ，即xx2x1 2x1x22x12x1x 2 x2x1 4x4x3 ，解得x log43.(3) 由(2)可知g x1x log2 11 x22xx,x1x1,1即k 1xgxlog2log 2 11x x1x 21 x 2log21log2 1x令t x,t0,1log2t4t 4t4 log2 t4t令y log2 ，t 0,1Q y log2 在t0,1单调递减∴y log2 log21 414若关于x 的不等式f x 在区间1,0 上恒成立 ,则k又Q k 为正实数∴ k (0,4] . 点睛】本题考查求函数的解析式，函数的零点，以及恒成立问题求参数取值范围，属于较难的题.。