单级倒立摆系统中模糊控制理论的应用1.引言倒立摆系统是研究控制理论的一种典型实验平台，其具有成本低廉，结构简单，物理参数和结构易于调整等优点，是一个高阶次、极不稳定、多变量、非线性和强耦合的不稳定系统。

在对倒立摆系统的控制过程中，它能有效地反映诸如可镇定性、随动性、鲁棒性以及跟踪等许多控制中关键性的问题，是检验各种控制理论的理想模型。

迄今人们已经利用经典控制理论、现代控制理论以及各种智能控制理论实现了对多种倒立摆系统的稳定性的控制。

同时倒立摆系统的动态过程与人类的行走姿态类似，平衡过程与火箭的发射姿态调整类似，因此倒立摆的研究在实现双足机器人直立行走、火箭发射过程的姿态调整以及直升机飞行控制领域中都有着重要的现实意义，有关的科研成果已经应用到航天科技和机器人学等诸多领域当中。

1.1倒立摆简介倒立摆系统按摆杆数量的不同，可分为一级，二级，三级倒立摆等，多级摆的摆杆之间属于自由连接（即无电动机或其他驱动设备）。

现在由中国的师大学洪兴教授领导的“模糊系统与模糊信息研究中心”暨复杂系统智能控制实验室采用变论域自适应模糊控制成功的实现了对四级倒立摆的控制。

使我国称为了世界上第一个成功完成四级倒立摆实验的国家。

按其形式分，倒立摆还分为，悬挂式倒立摆、平行倒立摆、环形倒立摆、平面倒立摆。

按控制电机数量，又可分为单电机倒立摆和多级电机倒立摆等等。

图 1-1 为集中倒立摆系统的，实物照片。

图 1-1各类倒立摆系统照片本文所采用的倒立摆模型，直线单极倒立摆。

1.2倒立摆控制方法简介对倒立摆系统这样一个典型的非线性、强耦合、极不稳定的复杂的被控对象进行研究，无论在理论上还是在方法上都具有其重要的意义，各种控制理论，控制方法都可以在这里得到充分的实践，并且可以促成各种不同方法之间的有机结合。

当前，倒立摆的控制方法大致可以分为线性控制、预测控制和智能控制三大类。

下面本文将对现阶段应用较为广的几种控制方法进行简要介绍。

(1)常规 PID 控制：该方法是最早发展起来的一种控制方法，由于其算法简单、鲁棒性好、速度快、可靠性高等优点，至今仍广泛应用于工业过程控制中 [1] 。

这种方法方法虽然可以用来实现对倒立摆系统的控制但由于其线性的本质，对于一个非线性、绝对不稳定的系统是不能达到满意的控制效果的，振荡会比较厉害。

若结合其它控制算法一起使用可发挥出取长补短的作用。

(2)状态反馈控制：状态反馈的极点配置法便是众多倒立摆控制方法中的一种最基本的策略。

极点配置法就是通过设计状态反馈控制器，然后将多变量系统的闭环系统极点配置在期望的位置之上，从而使系统满足实际应用当中所要求的瞬态和稳态的性能指标[2]。

(3)线性二次型 (LQR)：这种系统的状态方程是线性的，指标函数是状态变量和控制变量的二次型[3]。

这种方法是针对状态方程X Ax Bu 通过去顶最佳控制量u tKx t 中的矩阵K，使得控制性能指标达到极小值[4] ：J1x T Qx u T Ru dt（1-1 ）2 0将LQR控制方法应用于倒立摆系统当中，首先应该考虑的问题便是其平衡问题，因此需引入全状态反馈。

线性二次型 (LQR)最优控制，可以实现对倒立摆系统的平衡控制，而且设计方案很简单、超调量也较小、响应速度较快；但是，LQR控制的抗干扰性能和鲁棒性不强，当存在大扰动时，小车的跟随能力有限，存在滞后[5] ，尤其对多级倒立摆进行稳定控制时，其困难更大。

(4)变结构控制：变结构控制系统的运动可以分为两个阶段，分别为能达阶段和滑动阶段。

其控制也分为两个部分：滑动模态域设计以及变结构控制律设计[6] 。

变结构控制方法对系统参数摄动和对外部扰动具有很强的鲁棒性，但是由于抖振的存在，使得在一定程度上影响了其控制效果。

抖振和鲁棒性是变结构控制方法的两大基本特点，也是变结构控制系统中的一对主要矛盾。

因而在实际应用中必须考虑到如何才能消除抖振带来的负面影响，否则不仅会影响控制效果，而且对仪器设备也会造成一定的破坏。

(5)自适应神经模糊推理系统 (ANFIS) ：这种方法是基于 Sugeno 模糊模型，并采用类似于神经网络的结构，因此该方法既具有模糊控制方法不要求掌握精确的被控对象数学模型的优点，又具有神经网络控制方法可以自学习的特点，而且计算量小、收敛快，比较适合在微控制器的计算能力较差的场合下使用[7]。

将ANFIS控制器应用在倒立摆控制系统当中，在保证摆角较小的情况下 ( 即小于± 10° ) ，可有效地控制倒立摆系统，并且能跟踪目标位置信号、响应速度快、系统超调量较小[8]，但这种方法的鲁棒性较差不如基于遗传算法所设计。

(6)神经网络控制：神经网络控制能够任意充分地逼近各种极其复杂的非线性关系，能够学习并且适应严重不确定性系统的动态特性，因此具有很强的鲁棒性与容错性，也可以将 Q学习算法与 BP神经网络算法有机的结合在一起，可以对实现状态未离散化倒立摆系统的无模型学习控制。

这种控制方法存在的主要问题就是缺乏一种专门的，适合于控制问题的动态的神经网络，而且多层网络层数的确定、隐层神经元的数量、激发函数类型的选择等也缺乏有指导性原则等[9] 。

(7)模糊控制：在倒立摆系统的稳定控制的众多方法中，模糊控制方法无疑是其中一种比较优秀的解决途径，它的鲁棒性较好[10]。

但是一般的模糊控制器的设计方法存在着很大的局限性，首先就建立一组比较完善的多维的模糊控制规则而言，就是一个很难解决的问题，即使凑成了一组不完整并且很粗糙的模糊控制规则，在实际控制过程中其控制效果也难以得到保证。

如果模糊控制方法能有效的结合其它控制方法就很有可能会产生比较理想的控制效果。

例如[11]：师大学已经采用模糊自适应控制理论成功的研制了三级倒立摆装置并对四级倒立摆系统做了仿真实验。

(8)遗传算法：遗传算法是美国密歇根大学 Holland 教授倡导发展起来的，是模拟生物学中的自然遗传和达尔文进化理论而提出的并行随机优化算法。

其基本思想是：随着时间的更替，只有最适合的物种才能得以进化[12]。

对于倒立摆系统，需要找到一个可以使系统稳定，且由噪声产生的输出量最小的非线性控制器，也就是要得到的最优解。

有关研究表明，遗传算法具有较好的抗干扰特性，但是计算量较大，适合于微控制器计算能力较强的场合。

由于本文所采用的倒立摆系统模型为单级倒立摆系统模型，所以通过对上述各种控制方法之间，优缺点的比较，最终本文采用了模糊控制方法。

1.3国外研究现状对倒立摆系统的研究最早开始于二十世纪五十年代，由麻省理工大学的电机工程系设计出了单级倒立摆系统这个实验设备，并投入使用。

在此后的发展过程中，人们又在此基础上进行拓展，创造出了各式各样与众不同的倒立摆实验设备。

自从倒立摆产生以后，国外的专家学者就不断对它进行研究，其研究主要集中在下面两个方面：倒立摆系统的稳定控制的研究和倒立摆系统的自起摆控制研究从目前的研究情况来看，大部分研究成果又都集中在第一方面即倒立摆系统的稳定控制的研究。

早在上个世纪五十年代，国外就开始了倒立摆的研究，我国学者也从 80年代初开始倒立摆系统的研究。

1966年Schaefer 和cannon就应用 bang-bang控制理论，将一个曲轴稳定于倒置位置，实现了单级倒立摆的稳定控制。

在 60年代后期，作为一个典型的不稳定、严重非线性证例，倒立摆的概念被提出，并将其用于检验控制方法对不稳定、非线性和快速性系统的控制能力，受到世界各国许多科学家的重视，并寻找不同的控制方法实现对倒立摆的控制[13]。

2.倒立摆系统特性分析和单级倒立摆数学建模本章分析了倒立摆系的统特性，建立了单级倒立摆系统的数学模型，利用力学分析方法和 Lagrange 方程建立了倒立摆系统的动态方程。

2.1倒立摆系统特性分析倒立摆系统作为一种典型的机械电子系统，无论是那种类型的倒立摆系统它们都具有一下的几种特性。

(1)欠冗余性：一般的说来倒立摆控制系统都采用单电机驱动，因而它与冗余机构有较大的不同之处，比如说冗余机器人。

我们之所以采用欠冗余的设计主要是要在不失去系统可靠性的前提下，节约成本或者节约空间。

研究者常常都是希望通过对倒立摆控制系统的研究从而获得性能较为突出的新型控制器的设计方法，并同时验证其有效性以及控制性能。

(2)仿射非线性系统：倒立摆控制系统作为一种典型的仿射非线性系统，因此我们在对它进行的分析时可以应用微分几何方法进行分析。

(3)不确定性：倒立摆系统的不确定性，主要是指我们建立系统数学模型的时候设置的一些参数上误差，以及量测噪声、机械传动过程中的一些非线性因素导致的难以量化的部分。

(4)耦合特性：倒立摆的摆杆与小车之间，以及在多级倒立摆系统中，上下摆杆之间都是强耦合的。

这就是为什么可以采用单个电机驱动倒立摆系统的原因，也是为什么使得控制系统的设计以及控制器参数调节变得很复杂的原因。

(5)开环不稳定系统：倒立摆系统拥有两个平衡状态，也就是竖直向下和竖直向上两种平衡状态。

竖直向下的平衡状态是系统本身稳定的平衡点，而竖直向上的平衡状态是系统本身不稳定的平衡点，开环的时候即使是微小的扰动都会使得系统离开竖直向上的平衡状态进而转入到竖直向下的平衡状态中去。

针对以上几种倒立摆系统的特性，因此在建模时，为了简单起见，我们一般忽略掉系统中那些次要的往往难以建模的因素，例如：空气阻力、伺服电机因为安装而产生的静摩擦力、倒立摆系统在连接处的松弛程度、摆杆连接处质量的分布不均匀、传动皮带自身的弹性、 传动齿轮的间隙问题等等。

因此我们将小车抽象成一个质点， 摆杆抽象成一个匀质的刚体， 摆杆绕着转轴转动， 这样就可以通过力学原理建立起一个较为精确的数学模型。

为了方便大家对倒立摆系统控制方法的研究， 所以建立一个较为精确的倒立摆系统的 “线性的倒立摆系统模糊控制算法的研究模型” 是必不可少的。

就目前而言，人们对倒立摆系统的建模一般采用以下两种方法 [14] ：牛顿力学分析方法以及欧拉—拉格朗日原理。

应用欧拉—拉格朗目原理[15]可得如下方程：d L L D （ 2-1 ）dtq iq iQ i ， L q,q T q,q V q, qq i其中， L 是拉格朗日算子， q i 是系统的广义坐标， q 是广义变量， Q i 是系统沿该广义坐标方向上的广义外力。

T 就是系统的动能， V 就系统的势能， D 就是系统的耗散能。

在建立系统数学模型时候所定义的坐标系、原点、及方向等，都应与实际当中的物理系统的方向一一对应。

建模中我们发现，单级倒立摆系统拥有四个状态变量，二级倒立摆系统拥有六个状态变量。

一般说来， N 级倒立摆系统就拥有 2 N 1 个状态变量。

因此通过定义状态变量我们可以将所建立起来的数学模型写成， 仿射非线性系统的形式：x f xg i x u i（2-2 ）iyh x其中 xq, q T 是系统的状态变量，一般输出是 y q T ， u i 是系统的控制量。