第16章 三角形16.1 三角形及其边角关系16.1.1 若三角形的三条边边的长度均为整数，其中两条边长的长度的差是7，且三角形的周长是奇数，则第三边的长度可能是（ ）A ．9B ．8C ．7D ．616.1.2 如图所示，=∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠G F E D C B A （ ）A ．︒100B ．︒120C ．︒150D ．︒18016.1.3 若四边形ABCD 的对角∠BAD 与∠BCD 的角平分线互相平行，则B 与D 的关系为（ ） A ．∠B =∠D B ．∠B 与∠D 互补 C ．D B ∠>∠ D ．D B ∠<∠ 16.1.4 △ABC 的三条外角平分线相交成一个△'''C B A ，则△'''C B A （ ）A ．一定是直角三角形B ．一定是钝角三角形C ．一定不是锐角三角形D ．一定是锐角三角形16.1.5 三角形内角平分线的交点称为三角形的内心，如图所示，D 是△ABC 的内心，E 是△ABD 的内心，F 是△BDE 的内心．若∠BFE 的度数为整数，则∠BFE 至少是多少度？16.1.6 一条线段的长为a ，若要使3a -1，4a +1，12-a 这三条线段组成一个三角形，则a 的取值范围是 ．16.1.7 如图所示，D 、E 、F 分别在△ABC 的BC 、CA 、AB 边上，BAD CAD ∠=∠3，CBE ABE ∠=∠3，ACF BCF ∠=∠3，BE 、CF 交于M ，CF 、AD 交于N ，且满足CND BMF ∠=∠2，那么BAC ∠等于 ．16.1.8 在△ABC 中，︒=∠50A ，H 是△ABC 的垂心，且H 不与B 、C 重合，则∠BHC 的度数是 ． 16.1.9 如图所示，B 、C 分别是∠MAN 的两条边上的点，︒=∠50MAN ．连接BC ，再分别从B 点和C 点各引出一条射线相交于O ，并且使OBC MBO ∠=∠，BCO OCN ∠=∠．那么COB ∠的度数是 ．16.1.10 如图所示，点P 为矩形ABCD 的边AD 上的一点，点O 为△PBC 内的一点．若PBC OBC ∠=∠31，PCB OCB ∠=∠31，且︒=∠140BOC ，则=∠+∠PCD ABP .16.1.11 如图所示，在△ABC 中，点D 在BC 上，且ACB ABC ∠=∠，DAC ADC ∠=∠，︒=∠21DAB ．求ABC ∠的度数，并回答：图中哪些三角形是锐角三角形？16.1.12 已知三角形的两角之和为︒n ，最大角比最小角大︒24，求n 的取值范围16.2全等三角形16.2.1 在△ABC 中，若AB =5，AC =3，则BC 边上的中线AD 的长满足（ ）A ．41<<ADB ．4<ADC ．1>AD D ．82<<AD16.2.2 如果两个三角形的两条边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是（ ）A ．相等B ．不相等C ．互余D ．互补或相等16.2.3 已知正方形ABCD 中，点M 、N 分别在BC 、CD 上，且△MCN 的周长等于正方形ABCD 的周长的一半，则在①︒=∠45MAN ；②AM 为BMN ∠的平分线；③AN 为DNM ∠的平分线这三个结论中（ ）A ．①②③均正确B ．①正确，②③不正确C ．①不正确，②③正确D ．①②③均不正确16.2.4 如图所示，已知AB =AC ，AD =AE ，BE 与CD 相交于F ，则图中全等三角形共有多少对？16.2.5 在△ABC 中，︒=∠90ACB ，AC =BC ，D 是BC 延长线上的一点，BE ⊥AD 于E ，BE 与AC 交于点F ，求证：CD =CF 及DC DE >16.2.6 如图所示，在正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，BD 与CE 交于F 点，AF 与BE 交于G 点，求证：AF ⊥BE16.2.7 如图所示，已知△ABC 中，D 是BC 边上的中点，过点D 的直线交AC 于点E ，交AB 的延长线于点F ．求证：△AEF 的面积>△ABC 的面积16.2.8 如图所示，已知BE 、CF 分别为AC ，AB 边上的高，射线BE 上截取BP =AC ，射线CF 上截取CQ =AB ，求证：△APQ 为等腰直角三角形16.2.9 在△ABC 中，︒=∠60A ，BD 、CE 是角平分线，求证：BC CD BE =+16.2.10 已知A 、B 、C 、D 四个点，线段AC 与BD 相交于E ，线段AE 比AB 短1cm ，且AE =DC ，AD =BE ，DEC ADC ∠=∠，求EC 的长16.2.11 在凸四边形ABCD 内，ADC ∠是锐角，ADC BAC ∠=∠，CK 是△ACD 的内角平分线．证明：如果KD =AB ，那么直线AC 将平分线段KB （注：若一个多边形内部中任意两点的连续线段全部落在此多边形的内部，则称此多边形的凸多边形）16.2.12 在△ABC 的AC 及BC 边上分别取点X 及点Y ，使YAC ABX ∠=∠，BXC AYB ∠=∠， XC =YB ．问：△ABC 的各角是多少度？16.2.13 已知在△ABC 中，︒=∠90A ，CD 平分BCA ∠交AB 于D ，AD =24，BD :DA =7:5，那么点D 到BC 的距离是（ ）A ．14B ．12C ．10D ．816.2.14 下列判断中，（1）每个命题都有逆命题；（2）每个定理都有逆定理；（3）原命题是真命题，逆命题也是真命题；（4）逆命题是假命题，原命题也是假命题．正确的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3★★16.2.15到三角形三边所在直线的距离都相等的点一共有多少个？★★★16.21.16 如图所示，在△ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于D ，∠BCA 的平分线交AD 于F ，交AB 于E ，FC ∥BC ，交AB 于G ．AE =4，AB =14，则BC = .★★★16.2.17 如图所示，在△ABC 中，∠B =100°，∠C 的平分线交AB 边于E ，在AC 边上取点D，使得∠CBD=20°，连结DE，则∠CED的度数是．★16.2.18审查下列各条件：(1)已知两边和夹角；(2)己知两边和其中一边的对角；(3)已知两角和夹边；(4)已知两角和其中一角的对边，其中能做出唯一三角形的是( )．(A) (1)、(2)、(3) (B) (1)、(2)、(4)(C) (1)、(3)、(4) (D) (2)、(3)、(4)★16.2.19 已知线段a、b和角α，且a=4cm，b=3cm，α=40°，以a、b为边，α为角作三角形，若a所对的角是α，则可做出符合条件的三角形多少个？若b所对的角是α，则可做出符合条件的三角形多少个？★★16.2.20 已知AC=b，AB=c，BC边上的中线长为m，求做△ABC.★★16.2.21 已知两角及其中一角对边上的高，求做二角形．16.3 等腰三角形★16.3.1 如图所示，在△ABC中，∠A、∠B的外角平分线AD、BE分别交对边的延长线于点D、E，且AD= AB= BE，则∠A的度数是( )．(A) 10° (B) 11° (C)12° (D)非上述答案★16.3.2 如图所示，在△ABC中，∠A=36°，∠ACB=72°，BD平分∠ABC，交AC于D，CE⊥BD交AB于E，则图中等腰三角形的个数为( ).(A)4个 (B)5个 (C)6个 (D)7个★★16.3.3 在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于D，AC=AB+BD，∠C=30°，则∠B的度数为( )(A) 45°(B) 60°(C) 75°(D) 90°★★16.3.4 在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于O点，作M N∥BC，EF∥AB，GH∥AC，三角形三边的长为BC=a，AC=b，AB=c，则△CMO的周长+△E N O的周长-△FHO的周长= ．★★16.3.5 已知一个六边形的六个内角都是120°，其连续四边的长依次是1cm、9cm、9cm、7cm．那么，这个六边形的周长是 cm.★★16.3.6 已知AD是等腰三角形ABC一腰上的高，且∠DAB=60°，则△ABC的三个内角的度数分别为．★★16.3.7 在△ABC中，高AD和BE交于H点，且BH=AC，则∠ABC= 度．★★16.3.8 如图所示，过△ABC的顶点A，作直线AE与∠B的内角平分线BE垂直相交于E点，且与∠C的内角平分线交于P.(1)直接回答：当∠B与∠C满足什么条件时，点P在△ABC内，在△ABC外，在△ABC的边上？(2)若P在△ABC内，过P作直线与底边BC平行且与AB交于Q，与AC交于R，求证：QR=AQ+CR.★★16.3.9 如图所示，已知△ABC的∠A的平分线为AD，M为BC的中点，AD∥ME．求证：BE=CF=12(AB +AC)．★★16.3.10如图所示，∠B=∠C，∠ADB= 90°-12∠BDC．求证：△ABC是等腰三角形．★★16.3.11如图所示，设P是等边三角形ABC的BC边上任意一点，连结AP，以P为顶点，作∠APQ=60°，PQ交∠C的外角平分线于Q，那么△APQ是什么三角形？试证明其结论．★★16.3.12 如图所示，己知△ABC是等边三角形，延长BC到D，延长BA到F，使AE=BD.连结CE、DE.求证：CE= DE.★★16.3.13 在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°．D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，又AE=12BD，求证：BD是∠ABC的平分线．★★16.3.14 在凸五边形ABCDE中，∠B=∠E，∠C=∠D，BC=DE，M为CD的中点．求证：AM⊥CD.★★★16.3. 15 如图所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=80°，O为△AB C内一点．若∠OAB=10°，∠ABO=30°，求∠ACO的度数．★★★16.3.16 在等腰三角形ABC中，AB=AC，顶角∠A=20°，在边AB上取一点D，使AD=BC.求∠BDC的度数.★16.3.17 平面上两条相交直线所构成的图形，它的对称轴最多可能有( )．(A)1条 (B) 2条 (C)4条 (D)无数条★★16.3.18设O是等边三角形ABC所在平面上一点，它使△ABO、△OBC、△OCA都是等腰三角形，满足条件的O点共有( ).(A)1个 (B)4个 (C)7个 (D) 10个★16.3.19 在平面上绐定等腰三角形ABC，其中AB=AC．试在平面上求出所有符合下述条件的点M，使得△ABM和△ACM都是等腰三角形（只需指明这些点的位置即可，不要求证明）．★★16.3.20 如图所示，D为正三角形ABC内一点，DB=DC. ∠DBC=45°．P点使∠ABD=∠PBD，PB=BC，则∠BDP的度数是 .★★16.3.21 如图所示，∠BAC= 100°，点M在边BC上，△A′BC和△ABC对称于BC，△A′B′C 和△A′BC对称于A′C．△A′B′C′和△A′B′C对称于A′B′．这时点M陆续变成点M′和M″.那么，∠MA′M″的度数是．★★16.3.22如图所示，在△ABC中，∠A=90 °，点A关于BC边的对称点为A′，点B关于AC 边的对称点为B′，点C关于AB边的对称点为C′．若△ABC的面积为1，则△A′B′C′，的面积为．★★16.3.23 已知∠MON=40°，P为∠MON内一定点，A为OM上的点，B为ON上的点。