第七章：空间解析几何与向量微分本章内容简介在平面解析几何中，通过坐标把平面上的点与一对有序实数对应起来，把平面上的图形和方程对应起来，从而可以用代数方法来研究几何问题，空间解析几何也是按照类似的方法建立起来的。
7.1空间直角坐标系一、空间点的直角坐标为了沟通空间图形与数的研究，我们需要建立空间的点与有序数组之间的联系，为此我们通过引进空间直角坐标系来实现。
过定点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且一般具有相同的长度单位.这三条轴分别叫做x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)；统称坐标轴.通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则，即以右手握住z轴，当右手的四指从正向x轴以π/2角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向，这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，点O叫做坐标原点。
（如下图所示）三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称坐标面。
取定了空间直角坐标系后，就可以建立起空间的点与有序数组之间的对应关系。
例：设点M为空间一已知点.我们过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴、z轴，它们与x轴、y轴、z轴的交点依次为P、Q、R，这三点在x轴、y轴、z轴的坐标依次为x、y、z.于是空间的一点M就唯一的确定了一个有序数组x,y,z.这组数x,y,z就叫做点M的坐标，并依次称x,y和z为点M的横坐标，纵坐标和竖坐标。
(如下图所示)坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z).这样，通过空间直角坐标系，我们就建立了空间的点M和有序数组x,y,z之间的一一对应关系。
注意：坐标面上和坐标轴上的点，其坐标各有一定的特征.例：如果点M在yOz平面上，则x=0；同样，zOx面上的点，y=0；如果点M在x轴上，则y=z=0；如果M是原点，则x=y=z=0，等。
二、空间两点间的距离设M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)为空间两点，为了用两点的坐标来表达它们间的距离d我们有公式：例题：证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的三角形△ABC是一等腰三角形.解答：由两点间距离公式得：由于，所以△ABC是一等腰三角形7．2 方向余弦与方向数解析几何中除了两点间的距离外，还有一个最基本的问题就是如何确定有向线段的或有向直线的方向。
方向角与方向余弦设有空间两点，若以P1为始点，另一点P2为终点的线段称为有向线段.记作.通过原点作一与其平行且同向的有向线段.将与Ox,Oy,Oz三个坐标轴正向夹角分别记作α,β,γ.这三个角α,β,γ称为有向线段的方向角.其中0≤α≤π,0≤β≤π,0≤γ≤π.关于方向角的问题若有向线段的方向确定了，则其方向角也是唯一确定的。
方向角的余弦称为有向线段或相应的有向线段的方向余弦。
设有空间两点，则其方向余弦可表示为：从上面的公式我们可以得到方向余弦之间的一个基本关系式：注意：从原点出发的任一单位的有向线段的方向余弦就是其端点坐标。
方向数方向余弦可以用来确定空间有向直线的方向，但是，如果只需要确定一条空间直线的方位(一条直线的两个方向均确定着同一方位)，那末就不一定需要知道方向余弦，而只要知道与方向余弦成比例的三个数就可以了。
这三个与方向余弦成比例且不全为零的数A，B，C称为空间直线的方向数，记作：{A，B，C}.即：据此我们可得到方向余弦与方向数的转换公式：，，其中：根式取正负号分别得到两组方向余弦，它们代表两个相反的方向。
关于方向数的问题空间任意两点坐标之差就是联结此两点直线的一组方向数。
两直线的夹角：设L1与L2是空间的任意两条直线，它们可能相交，也可能不相交.通过原点O作平行与两条直线的线段.则线段的夹角称为此两直线L1与L2的夹角. 若知道L1与L2的方向余弦则有公式为：其中：θ为两直线的夹角。
若知道L1与L2的方向数则有公式为：两直线平行、垂直的条件两直线平行的充分必要条件为：两直线垂直的充分必要条件为：7.3 曲面及其方程7.3.1 曲面方程的概念及一般方程如果曲面S与三元方程F(x, y, z)=0 (1)有下述关系：1.曲面S上任一点的坐标都满足方程(1)；2.不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(1)，那末，方程(1)就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程(1)的图形。
两类常见的曲面1、柱面设有动直线L沿一给定的曲线C移动，移动时始终与给定的直线M平行，这样由动直线L所形成的曲面称为柱面，动直线L称为柱面的母线，定曲线C称为柱面的准线。
2、旋转面设有一条平面曲线C，绕着同一平面内的一条直线L旋转一周，这样由C旋转所形成的曲面称为旋转面，曲线C称为旋转面的母线，直线L称为旋转面的轴。
下面我们再列举出几种常见的二次曲面7.3.2几种特殊的曲面方程1.旋转曲面方程设平面曲线 l : 绕z轴旋转,则旋转曲线方程为2.柱面方程母线平行与坐标轴的柱面方程为不完全的三元方程,如F(y, z)=0就表示母线平行与x轴,准线为的柱面.3.二次曲面方程7.4 空间曲线及其方程7.4.1 空间曲线一般方程空间曲线可以看作两个曲面的交线。
设F(x, y, z)=0 和 G(x, y, z)=0是两个曲面的方程，它们的交线为C[如图]。
因为曲线C上的任何点的坐标应同时满足这两个曲面的方程，所以应满足方程组（1）反过来，如果点M不在曲线C上，那末它不可能同时在两个曲面上，所以它的坐标不满足方程组（1）。
因此，曲线C可以用方程组（1）来表示。
方程组（1）叫做空间曲线C的一般方程。
1.为空间曲线的一般方程，空间曲线的参数方程为t为参数.1.方程组表示怎样的曲线?方程组中第一个方程表示母线平行于z轴的圆柱面,其准线是xOy面上的圆，圆心在原点O，半径为1。
方程组中第二个方程表示一个母线平行于y轴的柱面，由于它的准线是zOx面上的直线，因此它是一个平面。
方程组就表示上述平面与圆柱面的交线，[如图]。
2.方程组表示怎样的曲线？方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O ，半径为a的上半球面。
第二个方程表示母线平行于z 轴的圆柱面，它的准线是xOy面上的圆，这圆的圆心在点（a/2，0），半径为a/2。
方程组就表示上述半球面与圆柱面的交线，[如图]。
7.4.2 空间曲线在坐标上的投影设空间曲线C的一般方程为由上述方程组消去变量z，x，y后所得的方程分别为：H( x , y )=0 R( y , z )=0 T( x , z )=0表示曲线C在xOy面上的投影,表示曲线C在yOz面上的投影,表示曲线C在xOz面上的投影。
例已知两球面的方程为（a）和(b)求它们的交线C在xOy面上的投影方程。
解先求包含交线C而母线平行于z轴的柱面方程。
因此要由方程(a) , (b)消去z，为此可先从（a）式减去(b) 式并化简，得到y + z = 1再以z = 1 –y 代入方程（a）或（b）即得所求的柱面方程为容易看出，这就是交线C关于xOy面的投影柱面方程，于是两球面的交线在xOy面上的投影方程是注：在重积分和曲线积分的计算中，往往需要确定一个立体或曲面在坐标面上的投影，这时要利用投影柱面和投影曲线。
7．5 平面及其方程7.5.1 平面方程的几种形式1．一般形式：Ax+By+Cy+D=0，称为平面方程的一般式。
其中x,y,z的系数A，B，C是平面的法向量 {A，B，C}，。
2．点法式方程：我们把与一平面垂直的任一直线称为此平面的法线。
设给定点为Po(x0,y0,z0),给定法线n的一组方向数为{A,B,C}A2+B2+C2≠0，则过此定点且以n为法线的平面方程可表示为：注意：此种形式的方程称为平面方程的点法式。
例题：设直线L的方向数为{3，-4，8}，求通过点(2,1,-4)且垂直于直线L的平面方程.解答：应用上面的公式得所求的平面方程为：即。
3．截距式方程：。
4．三点式方程：已知平面过空间三点，，，则平面方程为7.5.2 几种特殊位置平面的方程1、通过原点其平面方程的一般形式为：Ax+By+Cz=0.2、平行于坐标轴平行于x轴的平面方程的一般形式为：By+Cz+D=0.平行于y轴的平面方程的一般形式为：Ax+Cz+D=0.平行于z轴的平面方程的一般形式为：Ax+By+D=0.3、通过坐标轴通过x轴的平面方程的一般形式为：By+Cz=0.通过y轴和z轴的平面方程的一般形式为：Ax+Cz=0，Ax+By=0.4、垂直于坐标轴垂直于x、y、z轴的平面方程的一般形式为：Ax+D=0，By+D=0，Cz+D=0.7.6 空间直线及其方程任一给定的直线都有着确定的方位.但是,具有某一确定方位的直线可以有无穷多条,它们相互平行.如果要求直线再通过某一定点,则直线便被唯一确定，因而此直线的方程就可由通过它的方向数和定点的坐标表示出来。
设已知直线L的方向数为{l,m,n}，又知L上一点Po(x0,y0,z0),则直线L的方程可表示为：上式就是直线L的方程，这种方程的形式被称为直线方程的对称式。
直线方程也有一般式，它是有两个平面方程联立得到的，如下：这就是直线方程的一般式。
平面、直线间的平行垂直关系对于一个给定的平面，它的法线也就可以知道了。
因此平面间的平行与垂直关系，也就转化为直线间的平行与垂直关系。
平面与直线间的平行与垂直关系，也就是平面的法线与直线的平行与垂直关系。
总的来说，平面、直线间的垂直与平行关系，最终都转化为直线与直线的平行与垂直关系。
在此我们就不列举例题了。
7.7 二次曲面我们把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面。
为了了解三元方程F (x , y ,z )=0所表示得的曲面的形状，我们通常采用截痕法。
即用坐标面和平行于坐标面的平面与曲线相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌。
同学们可试用截痕法考察下面的二次曲面。
7.7.1 椭球面方程所表示的曲面叫做椭球面，7.7.2 抛物面方程（p 和q 同号）所表示的曲面叫做抛物面，。
7.7.3 双曲抛物面方程（p 和q 同号）所表示的曲面叫做双曲抛物面，7.7.4 双曲面方程所表示的曲面叫做单叶双曲面,方程所表示的曲面叫做双叶双曲面。